1、高中数学浅谈圆锥曲线中的张角问题沈春祥圆锥曲线中的张角问题（特别是与焦半径相关的问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下面从几个方面谈一谈与焦半径相关的张角问题的解题策略。一、曲线定义法我们可以利用椭圆的定义（ ）或双曲线的定义|PFa12解 求得所需结果。(|)PFa12 12例 1. 椭圆 上一点 P 与两个焦点 的张角 ，xyb20()F12， FP12求证：F 1PF2的面积为 。2tan图 1证明：|cos|PFaPFF121212 式平方与式作差得：|csb122所以 SFP 1212|inb2icostan二、特征图象法利用椭圆或双曲线中 a、b、c 构成的特征三角形解决
2、问题，有时学生感到比较直观、好用。1. 如图 2，椭圆中，特征OF 2B2，其三边长分别为a、b、c， （e (0，1)）。ecos图 22. 如图 3，双曲线中，特征 ，其三边长分别为 a、b、c， （e OAB1 eca1os）。利用这种方法我们可以解决下面这类问题。()1，图 3例 2. 已知双曲线的离心率是 2，求它的两条渐近线的夹角。解： ，cos1e所以 600，所以夹角为 。86三、正弦定理法如果 中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。 PF12例 3. 已知椭圆 上一点 P 及两焦点 ，若 ，xayb210()F12、 PF12，试求椭圆的离心率。 21图 4解：由正弦定理有 ，
3、|sin|i|sin()PFF121280即 |sin|()12所以 eacPF|12si()n四、余弦定理法如果在 中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。 PF12例 4. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， 分别为左、右焦点，双曲F12、线的右支上有一点 P， ，且 的面积为 ，双曲线的离心率为 2，123P123求该双曲线的方程。图 5解：设双曲线的方程为 ， ，xaybb210()， Fc120()()， ， ，。在PF 1F2中，由余弦定理，得Pxy()0，|cosPPF12 123，()12即 42ca|又因为 SPF 123所以 |sin所以 128所以 4
4、2ca即 b又因为 e所以 a23所以所求双曲线方程为 。21xy五、到角公式法有时角不是特殊角，用余弦定理比较复杂，可以考虑利用直线 的角的公式来解。l12到例 5. 若椭圆 上有一点 Q，到长轴两端点 A、B 所成的张角xayb210()AQB120，试求离心率 e 的取值范围。图 6解：因为椭圆是关于 x 轴对称的图形，所以不妨设点 Q 在 x 轴上方，即 Qxy()00， 则 ，ab21kxkyxaAQBQ00，所以 tan AQ1yxayxa000022所以 31320bybc()因为 a02， 所 以所以 。ee2361， 所 以六、曲线交轨法通过几何图形，找出适合题意的途径解决问
5、题。例 6. 椭圆 的焦点为 ，点 P 为其上一个动点，当F 1PF2为钝角时，xy2941F12、求点 P 的横坐标的取值范围。解：以 为直径的圆上的点为 Q 时， ，于是 P 在以 为直径的圆F12 12F12的内部，同时 P 在椭圆上。易知以 为直径的圆的方程为 。12xy25由xy25941解得xy2951635， 即点 Q 横坐标为 。5所以点 P 横坐标取值范围是 。35x七、平面向量法利用以下结论，在 中 F12图 71. F 1PF2为锐角 ；cos FPPF1212002. F 1PF2为直角 ；3. F 1PF2为钝角 。 1212有关角的问题可以用向量形式表示，再来求解。
6、例 7. 已知曲线 C 的方程为 ，A（1，0），B（1，0），过点 B 的直线 lxy243与曲线 C 交于 M，N 两点，若MAN 为钝角，求直线 l 的倾斜角为 的取值范围。解：（1）若 lx 轴，则 l 的方程为，x3212()()， ， ，（不合题意）。 A490arctn（2）若 l 与 x 轴重合，则MAN（不合题意）。（3）若 l 与 x 轴、y 轴不垂直，设 ，代入曲线 C 的方程得lykx： ()10()()4812343212212kkMNxx设 ， ， ，所以 A()()yxkxkk12122121279342k因为MAN 为钝角，所以 AMN0所以 ，09722kk， 所 以所以 。373或所以倾斜角 的范围是：(arctn)(arctn)077， ，
