1、1概率统计主要参考书1、2014 年全国硕士研究生入学统一考试，数学考试大纲。2、概率论与数理统计 （浙江大学或经济数学编写组）3、2014 年考研数学标准全书 （理工类）对外经贸大学出版社4、2014 年考研数学标准全书 （经济类）对外经贸大学出版社5、2014 年考研数学理念真题解析（数一，二，三，四） 对外经贸大学出版社6、考研数学知识点必备手册 对外经贸大学出版社7、2014 年硕士研究生入学考试数学（一）/（二）/ （三） /（四）8 卷模拟试卷 对外经贸大学出版社第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解： 样本空间的概念理解： 随机事件，概率，条件概率，事件独立性
2、，独立重复试验掌握： 事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯） ，独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。21 随机事件与样本空间一、随机试验： E（1）可重复 （2）知道所有可能结果 （3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果样本点 所有样本点全体样本空间 三、随机事件样本空间的子集随机事件 ABC样本点基本事件， 随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件 出现 发生， 出现如果组成事件 的基本事件出现 发生， 出现A必然事件 不可能事件2 事件间的关系与运算一事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二事件间的
3、运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图 三事件的文字叙述与符号表示例 2 从一批产品中每次一件抽取三次，用 表示事件：(1,23)iA“第二次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：（1） ； （2） ；231A1233（3） ； （4） ；123A123123123AA再用 表示下列事件：123,(5)都取到正品； (6)至少有一件次品；(7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一公理化定义 ,AP(1) ()0P(2) 1(3) 1212()()()n nAPAPA ,ijij二性质(1) ()
4、0P（2） 1212)()()n n ,ijij(3) ()()A(4) ,BP(5)0()1三条件概率与事件独立性(1) 事件 发生条件下事件 发生的条件概率；()(),(),PABPAB(2) 事件 独立，,B,独立 独立 独立 独立；,:,AB:,:时, 独立 ；()0PA()(P(3) 1212 12,)k kiiiii kiin 称 相互独立,( 个等式),n 3nnC4相互独立 两两独立。:四五大公式(1)加法公式： ()()()PABPAB( ()()()CCPCAPBC12.)n(2)减法公式： PABAB(3)乘法公式： ()0,()()P时，12(.n1212131212.
5、 ()(.)n nnAPA(4)全概率公式： 是完全事件组，且 ，1,B0iB,i1()()niiiPAPA(5)贝叶斯公式： 是完全事件组，2,.n()0,(),1,iPAn1()()jjjniiiBPA ,2.j4 古典型概率和伯努利概率一古典型概率 ()AnP所 包 含 的 样 本 点 数样 本 点 总 数二几何型概率 ()AL的 几 何 度 量的 几 何 度 量三独立重复试验独立各试验间事件独立，重复同一事件在各试验中概率不变5四伯努利试验试验只有两个结果 伯努利试验A和重伯努利试验n二项概率公式 (1)knknCP0,1.n()PAp5 典型例题分析例 1.设 为两事件，且满足条件
6、，则 _ .,ABAB()PAB例 2. 为任意两事件，则事件 等于事件, ()()CACBA()BD()例 3随机事件 ，满足 和 则有,A1()2PB()1PABBC()1D()0例 4设 且 则必有()0PAB()()1PBA()()PABC()()D(例 5(06)设 、 为随机事件，且 ， ，则必有AB()0PB()1A6A()(PBAB()(PABCD例 6试证对任意两个事件 与 ，如果 ，则有AB()0PA）(|)1()P例 7有两个盒子，第一盒中装有 2 个红球，1 个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：（1） 这个球是红球的概率
7、；（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例 8假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：（1）先取出的零件是一等品的概率 ；p（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率.q例 9袋中装有 个白球和 个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：（1） 从袋中取出的第 个球是白球k(1)k（2） 从袋中取出 个球中，恰含 个白球和 个黑球abab(,)ab7例 10随机地向半圆 （其
8、中 ，是常数）内掷一点，则2(,)0xyax0a原点和该点的连线与 轴的夹角小于 的概率为_ 。4例 11在伯努利试验中，每次试验成功的概率为 ，求在第 次成功之前恰失败了pn次的概率。m例 12四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为_。例 13已知 三事件中 相互独立， ，则 三事件,ABCAB与 ()0PC,AB相互独立 两两独立，但不一定相互独立不一定两两独立 一定不两两独立D例 1410 台洗衣机中有 3 台二等品，现已售出 1 台，在余下的 9 台中任取 2 台发现均为一等品，则原先售出 1 台为二等品的概率为A10B28C2
9、0D38例 15甲袋中有 2 个白球 3 个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取 2 球，从乙袋中任取 1 球混合后，从中任取 1 球为白球的概率A5B25C35D458例 1610 件产品中含有 4 件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。例 17两盒火柴各 根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有 根的N R概率。 ()R例 18 （05）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 ，再从 1，2， 中任取一个XX数记为 ，则 _。Y()P第二讲随机变量及其概率分布考试要求：理解： 离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度掌握： 分布函数性
10、质：0-1 分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布及它们的应用会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件1 随机变量及其分布函数一随机变量样本空间 上的实值函数 ， 。常用 表示()X,XYZ二随机变量的分布函数9对于任意实数 ，记函数 ，x()FxPXx称 为随机变量 的分布函数；()FxX的值等于随机变量 在 内取值的概率。,x三分布函数的性质（1） ，记为 ；lim()0x()0F，记为 。1 1（2） 是单调非减，即 时，()Fx2x2()xF（3）
11、是右连续，即 (0)F（4）对任意 ，有12x1221()PxXx（5）对任意 ， ()(性质（1）（3）是 成为分布函数的充要条件。Fx例 设随机变量 的分布函数为 ，X,0()1Ax其中 是常数，求常数 及 。AA(12)P2 离散型随机变量和连续型随机变量一离散型随机变量随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。二离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 的可能取值是X12,.,.nx称 为 的概率分布或分布律(),.kPxpkX分布律性质：（1） 0,.k10（2） 1kp分布律也可表示为 21kXxxPp 三离散型随机变量分布函数，()()k kxxF()(0)PXaFa例 1 求
12、2316XP()Fx四连续型随机变量及其概率密度设 的分布函数 ，如存在非负可积函数 ，有X()Fx()fx， ()ftd称 为连续型随机变量， 为概率密度。()x概率密度性质：（1） ；()0fx（2） ；1td（3） ， ；12x21()()xPxXftd（4） 的连续点处有 。()f(F例 已知 和 均为概率密度，则 必满足x1()fx1fA1,()0dfB1(),()xdfxC1()0fxxD10)ff113 常用分布一 （01）分布 0101XpPp二二项分布 . ， (),knCq,kn01pqp,XB:三超几何分布 ， ，()knMNP12,.l,H:四泊松分布 ，()!kPXe
13、0,12.0:例 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为 ，1e则这段时间内至少有两辆车通过的概率为_。五均匀分布 1()0axbfxb其 他,XU:例 设随机变量 在 上服从均匀分布，则方程(1,6) 210x有实根的概率是_。六指数分布 ，0()0xef12()XE:七正态分布 ，2()1xfxex，2(,)XN:0标准正态分布1， ，2()xxe21()txed如果 ，则2,XN:(0,1)XN:（1） ()x（2） 1()（3） (0)2（4） ，()PXa(0,1)XN:例 ，且 ，则 _。2(,N:3.9873)P4 随机变量 的函数 的分布X()Y
14、g一离散型随机变量的函数分布设 的分布律 ，X()kPxp1,2.则 的分布律 ，)Yg()kYg,.（如果 相同值，取相应概率之和为 取该值概率）(kxY二连续型随机变量的函数分布131公式法： 的密度 单调，导数不为零可导，X(),()Xfxyg是其反函数，则 的密度为()hyY()()0XYhyfyf 其 他其中 是函数 在 可能取值的区间上值域。(,)()gx2定义法： 先求 ()()()Y XgxyFyPXfd然后 。Yfy5 典型例题分析例 1设随机变量的分布函数 20(1)()baxFxC求 的值。,abc例 2设随机变量 的分布律为X(),1,2.!kPXC0试确定常数 的值。
15、C例 3汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以 表示汽车所遇红灯个数，求 的分布及分布函数。XX14例 4 （04）设随机变量 服从正态分布 ，对给定的 数 满足X(0,1)N(01)u，若 ，则 等于()PXu()PxA2B12uC12uD1例 5在区间 上任意投掷一点， 为这点坐标，设该点落在 中任意小区间的,abX,ab概率与这小区间长度成正比，求 的概率密度。例 6 ，对 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率。2,5XU:X例 7 （06）设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布X21(,)NY2(,)N且 ，则必有12PPYA2
16、B12C1 D例 8 的密度 ，试求常数 。X2()()xfAexA15例 9设 服从参数为 2 的指数分布，证明：随机变量 服从 。X 21XYe(0,1)U例 10已知 的密度为 ， ，X1()2xfe()求 的概率密度。2Y例 11设随机变量 的密度 满足 ， 是 的分布函数，X()x()x()FX则对任意实数 有aA0()1()FdB01()()2axdCDa例 12设随机变量 的分布函数为 ，引入函数 ，X()Fx1()Fxa， 和 ，则可以确定也是分布22()Fx3()14函数为A12(), B23(),xC34xD4F例 13设 且 ，则 _。2(,)XN:(4)0.3Px(0)
17、PX16例 14设 ，则随 的增大，概率2(,)XN:()PX单调增大 单调减小AB保持不变 非单调变化CD例 15证明 具有相同密度，则其分布函数 一定满足 。X与 ()Fx()1xF例 16 ， 且 ， ，(,)XUab:0)1(3)4PX1()2P求：（1） 的概率密度； （2） 。(5第三讲 多维随机变量及其概率分布考试要求理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量1 二维随机变量及其联合分布函数一二维随机变量设 是定义在样本空间 上的两个随机
18、变量，(),()XY则称向量 为二维随机变量或随机向量。17二二维随机变量的联合分布函数定义： ，(,)(,)FxyPXxYyxy性质：（1） ；0)1（2） ， ；(,(,(,)0yxF(,)1F（3） 关于 和关于 单调不减；)Fy（4） 关于 和关于 右连续。(,xy例 1设二维随机变量 的分布函数为 ，则随机变量 的分布函,)XY(,)Fxy(,)YX数 =_.(,)Fxy三二维随机变量的边缘分布函数 ()(,)(,)XxPxXxYFxYFyy例 2设二维随机变量 的分布函数为(,)2(1)0,0xyexyxy其 他试求 (),XYF2 二维离散型随机变量一联合概率分布 (,),12,
19、ijijPXxYypij181212212 ijiiiijXYyyxpp 性质：（1） （2）0ijpijp例 设随机变量 在 1，2， 3 三个数字中等可能取值，随机变量 在 中等可XY1X:能的取一整数值，求 的概率分布。(,)Y二边缘概率分布，()(,)ii ijijjpPXxxYyp: 1,2.，jj ijijiYy三条件概率分布， ()0,jPy(,)()ijijijPXxYypXxYy:1,2.i， ，()ix(,)()ijijjiPxp:,.j例 设分布律为 ，已知 ，01.5XYabc1(0)2PYX，求1(0)3PXY,abc3 二维连续型随机变量一概率密度19概率密度(,)
20、(,)xyFfud(,)fxy性质：（1） 0（2） (,)1fxy例 ， 则 _。2(,)0kefxy其 他 k二边缘密度，()(,)Xfxfyd()(,)Yfyfxyd三条件概率密度1条件分布 0()lim()YXFxPXyxyY2条件概率密度(,)()YXXffx (,)()XYYfxyf0f0f4 随机变量的独立性定义：对任意 ,xy(,)()()PXxYyPXxYyF离散型 ijijp:连续型 (,)()XYfxyfy例 1设随机变量 相互独立，下表列出了二维随机变量 的联合概率分布及和 (,)XY关于 的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处XY和201231286ijX
21、Yyypxp:例 2判断 是否独立XY与（1） （2） 13026139 2(1)0,(,)0xyexFxy其 他5 二维均匀分布和二维正态分布一二维均匀分布， 的面积1(,)(,)0xyGfxyA其 他 A是例 设二维随机变量 在 平面上由曲线 所围成的区域上服(,)XYO2yx和从均匀分布，则概率 _。1,0)2PY二二维正态分布， ，21(,;)N12,122222 111 ()()()(,)exp()2xxyfxy 21性质：（1） ，21(,)XN:2(,)Y:（2） 相互独立的充分必要条件是与 0（3） 221112(, )ababab6 两个随机变量函数的分布一二维离散型随机变量
22、的函数的概率分布求法与一维类似。二二维连续型随机变量的函数 的分布求法，可用公式(,)ZgXY(,)() ,Z gxyzFzPzfdxy当 时，XY(zxZdf(,)zyd或 (),ZFzfx()zy特别，当 相互独立时，,XY()()ZXYfzfxzdx(yf三简单函数通常包括线形函数，初等函数，最大值，最小值，绝对值等。例 设 相互独立，分布函数为 ，试求,XY(),XYFxy（1） 的分布函数 ；max(,)MMz（2） 得分布函数 。inN()N227 典型例题分析例 1从 1，2，3 三个数字中一次任取两数，第一个数为 ，第二个数为 ，XY记 ，试求 和 的分布律及其边缘分布。max
23、(,)XY(,)(,)例 2设随机变量 ， ，且 ，1042iixXp:1,i12(0)PX则 _。12()P例 3设某班车起点站上车人数 服从参数 的泊松分布，每位乘客在中途下X(0)车的概率为 ，且他们在中途下车与否是相互独立的，用 表示在中(01)p Y途下车的人数，求：（1） 在发车时有 个乘客的条件下，中途有 人下车的概率；nm（2） 二维随机向量 的概率分布。(,)XY例 4设随机变量 的密度为 ，(,)XY2;0,1(,)Axyyf其 他23求（1）常数 ； （2）边缘密度； （3） 是否独立。A,XY例 5设随机变量 相互独立，均服从分布 ，(1,234)iX1(,)2B求行列
24、式 的概率分布。34例 6设相互独立随机变量 分别服从 和 ，则XY与 (0,1)N(,)A1(0)2PB12PXYCD()例 7设 ，则 _。2(,)(,;0)XYN:()PXY例 8设两随机变量 相互独立且同分布， ，则成立与 1(1)()2PA1()2PXYBXY24C1(0)4PXYD1()4PXY例 9 （06）设两个随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则0,3。max(,)1PXY例 10设 ，0(,)0yexfx其 他试求（1） ， 是否独立；()XYff和 ,（2） 和 。xyXx例 11 相互独立，服从参数为 的泊松分布，证明 服从参数为 的,XYZXY2泊松
25、分布。例 12 （04）设随机变量 在区间（0，1）上服从均匀分布，在X的条件下，随机变量 在区间 上服从均匀分布，()xY(0,)x求：（I）随机变量 的联合概率密度；Y和（II） 的概率密度；25（III）概率 。(1)PXY例 13 （05）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY1,0,2(,)xyxfxy其 他求（I） 的边缘概率密度 ；, ,XYf（II） 的概率密度 ；2Z()Zz（III） 。1()PY第四讲 随机变量的数字特征考试要求：数学一，数学三，数学四，要求一致理解：随机变量数字特征：数学期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数。掌握：常用分布的数字特征会计算：用数字特征
26、的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。1 随机变量的数学期望一定义261离散型： ()kPXxp1,2.当 绝对收敛1kp1()kEXxp2连续型： 当 绝对收敛()fxfxd()EX二性质（1） ()C（2） ()（3） (EXYEY（4） 相互独立，则和 ()()XY例 将一均匀骰子独立抛掷三次，求掷得三数之和 的数学期望。三随机变量 的函数 的数学期望X()Yg（1）离散型 ，(kPxp1,2.当 绝对收敛，1)kg1()()()kEYgXxp（2）连续型 ，当 绝对收敛(fxgxfd)()()EYXfx四随机变量 的函数 的数学期望(,X
27、,ZY（1）离散型 ，,)ijijPxyp1,2.27当 绝对收敛1(,)ijiijgxyp1()(,)(,)ijiijEZXYgxyp（2）连续型 ，当 绝对收敛,fxy,fdxy()(,)(),ZEgYgf例 1商店经销某种商品，每周进货的数量 与顾客对该种商店的需求量 是相互独立XY的随机变量，且都在区间 上服从均匀分布。商店每售出一单位商品可得利10,2润 1000 元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。2 随机变量的方差一定义： 方差()DXE标准差，均方差(二计算方差的公式：，22()(2
28、2()XE三性质：（1） ，反之 不能得出 为常数；()0DC()0（2） ；2aXb（3） 相互独立 。,Y()YDX28例 随机变量 的概率密度为 ，X24,0()0xef则 _。(21)D3 常用随机变量的数学期望和方差一 （01）分布 ,EXpDq二二项分布 n三泊松分布 ,四均匀分布 2(),2abaEXD五指数分布 21,六正态分布 ， ，()N:EX221,;)XY， ， ，E221D2Y例 已知随机变量 ，试证(,)Bnp:()Xnpq例 设随机变量 ，试证()XP()E4 矩29原点矩 ，()EX2)中心矩 混合矩 ()Y混合中心矩 ()EXE5 协方差和相关系数一协方差定义
29、： cov(,)()()()XYEXYEXYE公式： 2cov,DD性质：（1） ；c(,)(,)（2） ；ovcaXbYXY（3） 1212c(,)ov(,)c(,)二相关系数定义： ov(,)XYDY不相关： 相互独立 不相关0, ,XY性质：（1） ；1XY（2） ；(1)Pab0ab（3）设 ，21(,),;N:则 ，且 相互独立 不相关 。XY:,XY:0例 对随机变量 ，证明下列关系是等价的,30（1） cov(,)0XY（2） 不相关与（3） ()()E（4） (DXYDY6 典型例题分析例 1设随机变量 服从 分布，且已知 ，()P(1)2EX则 _。例 2已知 件产品中含有 件次品，从中任意取出 件 ，设这 件产品中的NMn()Nn次品件数为 ，试求 。X()E例 3 （04）设随机变量 服从参数为 的指数分布，则X_。PXD例 4设随机变量 的概率密度函数为X
