1、高中数学压轴题系列导数专题函数零点或交点问题头条号：延龙高中数学 微信：gyl_math123 1已知函数 f（x）=ln（x +a）x 2x（a R）在 x=0 处取得极值（1）求实数 a 的值；（2）证明：ln（x+1）x 2+x；（3）若关于 x 的方程 f（x ）= x+b 在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围【解答】 （1）解：f （x）= ，在 x=0 处取得极值，f （0）=0， 1=0，解得 a=1经过验证 a=1 时，符合题意（2）证明：当 a=1 时，f （x）=ln（x +1）x 2x，其定义域为x |x1f（x）= = ，令 f（x）=0，解得 x
2、=0当 x0 时，令 f（x）0，f（x ）单调递减；当 1x0 时，令 f（x ）0，f（x）单调递增f（0）为函数 f（x）在（1，+）上的极大值即最大值f（x）f（0）=0，ln（x+1）x 2+x，当且仅当 x=0 时取等号（3）解：f（x）= x+b 即 ln（x+1）x 2+ xb=0，令 g（x）=ln（x+1）x 2+ xb，x （1，+） 关于 x 的方程 f（x）= x+b 在区间0，2上恰有两个不同的实数根 g（x）=0 在区间0，2上恰有两个不同的实数根g（ x）= 2x+ = ，当 x（ 0，1）时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递增当 x（ 1，2）时，g（
3、x）0，g（x）在（0，1）上单调递减 ， 2已知函数 f（x）= （x R） ，当 x=2 时 f（x）取得极值（1）求 a 的值；（2）求 f（x ）的单调区间；（3）若关于 x 的方程 f（x ） 2m+1=0 在 x2，1时有解，求实数 m 的取值范围解：（1） 当 x=2 时 f（x）取得极值，f（2）=0 ，a=2；（2） ，由 f（x ）0 得 1x2；由 f（x ）0 得 x1 或 x2，所以函数 f（x）的增区间是（1，2） ，减区间是（ ，1） ， （2，+）（3）由（2）知函数 f（x）在2，1）单减，在（1，1单增当 x2，1时，f min（x）= 1， ，依题意 ，所
4、以3 （2018南平一模）已知函数 f（x）=lnx （a+1）x，g（x）= ax+a，其中 aR（1）试讨论函数 f（x）的单调性及最值；（2）若函数 F（x）=f（x ）g（x）不存在零点，求实数 a 的取值范围解：（1）f（x）=lnx（a+1）x ，函数的定义域是（ 0，+） ，f （x）= （a +1）= ，a+10 即 a1 时，1（a+1 ）x0，故 f（x）0，f（x）递增，无最值，a+10 即 a1 时，令 f（x）0，解得：x ，令 f（x）0，解得：x ，故 f（x）在（ 0， ）递增，在（ ，+）递减；故 f（x） min=f（ ）=ln（a+1） 1；（2）F（x）
5、 =lnx（a +1）x +axa=lnxx a，F（x）= 1+ = ，令 F（x）0，解得：x2，令 F（x）0，解得：x2，故 F（x）在（0 ，2）递增，在（2，+）递减，故 F（x） max=F（2）=ln22 1a=ln23a，若 F（x）不存在零点，则 ln23a0，解得：a ln234 （2018榆林三模）设函数 f（x）=ax 3+bx2x（x R，a ，b 是常数，a0） ，且当 x=1 和 x=2 时，函数 f（x）取得极值（1）求 f（x ）的解析式；（2）若曲线 y=f（x）与 g（x ）=3x m（2x0）有两个不同的交点，求实数 m 的取值范围解：（1）f（x）=
6、3ax 2+2bx1， （2 分）依题意 f（1）=f（2）=0 ，即 ，解得 a= ，b= （4 分）f（x）= x3+ x2x（5 分）（2）由（1）知，曲线 y=f（x ）与 g（x ）=3x m（2x0）有两个不同的交点，即 x3 x22xm=0 在2，0上有两个不同的实数解 （6 分）设 （x）= x3 x22xm，则 （x）= x2 x2， （8 分）由 （x）=0 的 x=4 或 x=1当 x（ 2，1）时 （x）0，于是 （x）在2 ， 1上递增；当 x（ 1，0）时 （x）0，于是 （x）在 1，0上递减（10 分）依题意有 0m ，实数 m 的取值范围是 0m （13 分）
7、5 （2018广元模拟）已知函数 f（x）=2lnx x2+ax（ aR） （）当 a=2 时，求 f（x）的图象在 x=1 处的切线方程；（）若函数 f（x）与 g（x）=ax m 图象在 上有两个不同的交点，求实数 m 的取值范围解：（）当 a=2 时，f（ x）=2lnx x2+2x，f（x）= 2x+2，切点坐标为（1，1） ，切线的斜率 k=f（1）=2，则切线方程为 y1=2（x1） ，即 y=2x1（）由题意可得：2lnx x2+m=0，令 h（x ）=2lnxx 2+m，则 h（x）= 2x= ，x ，e，故 h（x）=0 时，x=1 当 x1 时，h（x）0；当 1xe 时，
8、h（x）0故 h（x）在 x=1 处取得极大值 h（1）=m 1又 =m2 ，h （e）=m+2e 2，h（e） =4e2+ 0，则 h（e） ，h（x）在 上的最小值为 h（e） h（x）在 上有两个零点的条件是 ，解得：1m2+ ，实数 m 的取值范围是1，2+ 6 （2018广西二模）已知函数 f（x）=ln（x +a）x（a R） ，直线 l： 是曲线 y=f（x ）的一条切线（1）求 a 的值；（2）设函数 g（x ）=xe x2xf（x a）a +2，证明：函数 g（x）无零点解：（1）函数 f（x）=ln（x +a）x （aR）的导数为 f（x）= 1，设切点为（m，n ） ，直
9、线 l： 是曲线 y=f（x ）的一条切线，可得 1= ，ln（m+a）m= m+ln3 ，解得 m=2，a=1；（2）证明：函数 g（x）=xe x2xf（xa ）a+2=xe x2xf（x 1）2+2=xe xxlnx，x0，g（ x）= （x+1）e x1 =（x+1） （e x ） ，可设 ex =0 的根为 m，即有 em= ，即有 m=lnm，当 xm 时，g （x）递增，0x m 时，g（x ）递减，可得 x=m 时，g（x）取得极小值，且为最小值，则 g（x）g（m）=me mmlnm=1m+m=1，可得 g（x）0 恒成立，则函数 g（x）无零点7 （2018全国二模）已知函
10、数（）当 a=1 时，求 f（x）的单调区间及极值；（）若 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围解：（）当 a=1 时， ，x 0. ，x01 分当 0x1 时，f （x）0；当 x1 时，f（x ）03 分所以 f（x）的单调减区间为（0，1） ；单调增区间为（1，+） f（x）的极小值为 ；无极大值5 分（）= 7 分x0，a 0，x 2+x+a0，当 xa 时，f （x）0；当 0xa 时，f（x）0f（x）在（0，a ）上单调递减；在（a，+）上单调递增8 分所以若 f（x）有两个零点，必有 ，得 a310 分又，综上所述，当 a3 时 f（ x）有两个零点，所以符合题意的 a
11、的取值范围为（3，+） 12 分8已知函数 f（x）=lnx ax（aR） ，在 x=1 时取得极值（）求 f（x）的单调区间；（）若方程 f（x）= x+b 在区间1，3上有两个不等实数根，求实数 b 取值范围（）若函数 h（x）=f （x ）x 2，利用 h（x）的图象性质，证明：3（1 2+22+n2）ln（1 222n2）（nN *） 解：（）函数 f（x）=lnx ax 的导数为 f（x）= xa，由在 x=1 时取得极值，则 f（1）=0，即 11a=0，解得 a=0，即有 f（x）=lnx 的导数为 f（x ）= x， （x0） ，令 f（x）0 可得 0x1，令 f（x）0 可
12、得 x1，则 f（x）的增区间为（ 0，1） ，减区间为（1，+） ；（）若方程 f（x）= x+b 在区间1，3上有两个不等实数根，即为 b=lnx x2+ x 在区间1，3上有两个不等实数根令 g（x）=lnx x2+ x，g（x）= x+ = ，当 1x2 时，g（x） 0，g （x ）递增；当 x2 时，g（x）0，g（x）递减即有 x=2 处 g（x）取得极大值，也为最大值，且为 ln2+1，x=1 时，g （x）=1，x=3 时，g（x ）=ln3 则当 ln3b ln2+1 时，方程在区间1，3上有两个不等实数根；（）证明：函数 h（x）=f（x ）x 2=lnx x2，h（ x）= 3x= ， （x0） ，当 0x 时，h（x） 0，h （x ）递增；当 x 时，h （x ）0，h（x）递减即有 x1 时，h（x）递减，即 h（x ）h（1）=ln1 0，则 lnx x2，即为 3x2lnx 2则有 ln1231 2，ln2 232 2，ln3 233 2，lnn 23n 2则 ln12+ln22+lnn23 （1 2+22+n2） ，故有 3（1 2+22+n2）ln （1 222n2） （nN *）
