1、九年级奥数练习题答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A D B B D D B C B B C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分13 或 ； 14 ； 15 ；13x22abc62516 ； 17 ； 18 72 ；0, 168三、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19.（本题满分 10 分）已知 ， ，求证：1xy1xyxy证明：原不等式等价于 0xy20.（本题满分 14 分）如图，已知双曲线 ，抛物线 和直线1:Cx22:
2、1Cyx.设直线 与双曲线 的两个交点为 ，与抛物线 的两个交点为:lykxml1AB、.CD、（）若线段 与线段 的中点重合，求证： ；ABD2mk（）是否存在直线 ，使得 为线段 的三等分点？lB、 C若存在，求出直线 的解析式，若不存在，请说明理由。解：（）设 ，显然1234(,)(,)(,)(,)AxyBxy、 、 、 0k联立 ，得 ，kmx2101212,k O联立 ，得 ，21ykxm210kx3434,12xkxm若线段 与 的中点重合, 则 ，即ABCDmk2（）若 为线段 的三等分点，则线段 与 的中点重合，且 ，、 ABCD|3|CDAB从而 ，即 ，mk2k且 ，即 ，
3、3412|xx224489mk将 代入上式并化简得 ，2k30k解得 或 ，对应的 或 ，经检验均符合题意，11732直线 的解析式为 或 或 .lyx1x1372yx21.（本题满分 18 分）如图， 为半圆 的直径， 为半圆内的一点，直线 交半ABOMAM圆 于点 ，直线 交半圆 于点 ，直线 与直线 交于点 ， 为直径OCMDCABPN上的一点，且满足 ，求证：AB2PN N证明：连接 D,由 22可证得 ONP从而 C所以 四点共圆；CD,故 DBA2所以 平分角B又因为 AON所以 平分角A所以 为 的内心MC所以 CD21所以 四点共圆,所以 ，证毕90AN22.（本题满分 18
4、分）在一个无限大的方格棋盘上有若干枚棋子，规定一次操作如下：将某枚棋子 跳过邻格（有公共边）中的棋子 而进入随后的空格 中，同时将被其跳过的abc棋子 从棋盘上拿走（图 1）.b（I）当棋盘上最初只有摆放成“7”字型（如图 2）的 4 枚棋子时，经过若干次操作，最终最少能剩下几枚棋子？（II）当棋盘上最初仅 20122012 方格中放置有棋子时（如图 3） ，经过若干次操作，最终最少能剩下几枚棋子？解：（1）如下图 1 所示，当棋盘上只有“7”字型的 A,B,C,D 4 枚棋子时，经过 3 次操作，最终至少能剩下 1 枚棋子。即通过若干次操作将排成一排的三个棋子拿走，并使 A 棋子回到原位。图 1（2）由（1）知，如图 2 所示，对于任意 矩阵，可以通过操作，将其变为mn矩阵。3mnODCABODCAOAO11111110O图 2图 1abc a共 2012 行，2012 列有棋子图 3图 2 图 3故可对 20122012 棋子矩阵进行操作，将其变为 22012 矩阵。对图 3 所示 24 矩阵，可进行如下操作； ； ； ； ； 。1ab3ac1db31cbd使得图 3 经过操作后剩下位于 两枚棋子。故可对 22012 矩阵进行上述操作，将其,2变为 22 的矩阵。显然，最终最少可以只剩一枚棋子。21dcba11
