1、2016 文科导函数大题1 （2015宿州三模） 已知 f（x）=xlnx，g（x）=x 3+ax2x+2（）如果函数 g（x）的单调递减区间为 ，求函数 g（x）的解析式；（）在（）的条件下，求函数 y=g（x）的图象在点 P（ 1，1）处的切线方程；（）若不等式 2f（x）g（x）+2 恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （I）求出 g（x）的导函数，令导函数小于 0 得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出 a的值（II）求出 g（x）的导数在 x=1 的值即曲线的切线斜
2、率，利用点斜式求出切线的方程（III）求出不等式，分离出参数 A，构造函数 h（x） ，利用导数求出 h（x）的最大值，令 a 大于等于最大值，求出 a的范围【解答】解：（I）g（x）=3x 2+2ax1 由题意 3x2+2ax10 的解集是即 3x2+2ax1=0 的两根分别是 将 x=1 或 代入方程 3x2+2ax1=0 得 a=1g（ x） =x3x2x+2 （4 分）（II）由（）知：g（x）=3x 22x1，g（ 1）=4 ，点 p（ 1，1）处的切线斜率 k=g（1）=4，函数 y=g（x）的图象在点 p（1，1）处的切线方程为：y1=4（ x+1） ，即 4xy+5=0 （ 8
3、 分）（III）2f （x）g（x）+2即：2xlnx3x 2+2ax+1 对 x（0，+）上恒成立可得 对 x（0，+）上恒成立设 ，则jieguomeiwenti令 h（x）=0 ，得 （舍）当 0x1 时，h（x）0；当 x1 时，h（x）0当 x=1 时，h（x）取得最大值 2a2a 的取值范围是2，+） （13 分）【点评】解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围2 （2015北京校级模拟） 已知函数 f（x）=x 2+axlnx，aR （1）若函数 f（x）在1，2上是减函数，求实数 a 的取值范围；（2）令 g（x）=f（x）x
4、2，是否存在实数 a，当 x（0，e （e 是自然常数）时，函数 g（x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由；（3）当 x（0，e 时，证明： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题【分析】 （1）先对函数 f（x）进行求导，根据函数 f（x）在 1，2上是减函数可得到其导函数在1，2上小于等于 0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得 a 的范围（2）先假设存在，然后对函数 g（x）进行求导，再对 a 的值分情况讨论函数 g（x）在（0，e上的单调性和最小值取得，可知当 a=e2 能够保证当 x（0，
5、e时 g（x）有最小值 3（3）令 F（x）=e 2xlnx 结合（ 2）中知 F（x）的最小值为 3，再令 并求导，再由导函数在 0xe 大于等于 0 可判断出函数 （x ）在（0，e 上单调递增，从而可求得最大值也为 3，即有 成立，即成立【解答】解：（1） 在1，2上恒成立，令 h（x）=2x 2+ax1，有 得 ，得（2）假设存在实数 a，使 g（x）=ax lnx（x （0，e ）有最小值 3， =当 a0 时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x） min=g（e）=ae1=3 ， （舍去） ， （大于 0 了）当 时，g（x）在 上单调递减，在 上单调递增（可以由 3 分析 2
6、的范围 ax-1=0 x=1/a x 属于 00 ，所以根就不是 0）b 7，且 b3（14 分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数图象的交点问题，解题的关键是将函数g（x）=bx 的图象与函数 f（x）的图象恰有 3 个交点，转化为方程 x34x23x=bx 恰有 3 个不等实根8 （2015路南区校级模拟）已知函数 f（x）= x3 （2a+1）x 2+（a 2+a）x（）若 f（x）在 x=1 处取得极大值，求实数 a 的值；（）若mR，直线 y=kx+m 都不是曲线 y=f（x）的切线，求 k 的取值范围；（）若 a1，求 f（x）在区间0，1 上的最大值
7、【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；导数的概念及应用【分析】 （）求导数，确定函数的单调性，利用 f（x）在 x=1 处取得极大值，可求实数 a 的值；（II）求导数，根据 mR，直线 y=kx+m 都不是曲线 y=f（x）的切线，可得 对xR 成立，即使 f（x）的最小值大于 k；（III）分类讨论，确定函数在区间0，1上的单调性，从而可求函数的最大值【解答】解：（）因为 f（x）=x 2（2a+1）x+（a 2+a） =（x a）x （a+1）（2 分）令 f（x）=0，得 x1=（a+1） ，x
8、 2=a所以 f（x） ，f（x）随 x 的变化情况如下表：x （，a ） a （a，a+1） a+1 （a+1，+ ）f（ x） + 0 0 +f（x） 极大值 极小值（4 分）因为 f（x）在 x=1 处取得极大值，所以 a=1（5 分）（II）求导数可得 （6 分）因为mR ，直线 y=kx+m 都不是曲线 y=f（x）的切线，所以 对 xR 成立 （7分）所以只要 f（x）的最小值大于 k，所以 （8 分）（III）因为 a1，所以 a+10，当 a1 时，f（x）0 对 x0，1成立，所以当 x=1 时，f（x）取得最大值 （9 分）当 0a1 时，在 x（0，a）时，f（x）0，f
9、（x）单调递增，在 x（a，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，所以当 x=a 时，f（x）取得最大值 （ 10 分）当 a=0 时，在 x（0，1）时，f（x）0，f （x）单调递减，所以当 x=0 时，f（x）取得最大值 f（0）=0（11 分）当1 a0 时，在 x（0，a+1）时，f（x）0，f（x）单调递减，在 x（a+1，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，又 ，当 时，f（x）在 x=1 取得最大值当 时，f（x）在 x=0 取得最大值 f（0）=0当 时，f（x）在 x=0，x=1 处都取得最大值 0（14 分）综上所述，当 a1 或 时，f（x）取得最大值 ；当 0a1
10、时，f（x）取得最大值；当 时，f（x）在 x=0，x=1 处都取得最大值 0；当 时，f（x）在 x=0 取得最大值 f（0）=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题9 （2014河西区一模） 已知函数 g（x）= ，f（x）=g（x）ax（1）求函数 g（x）的单调区间；（2）若函数 f（x）在（1，+）上是减函数，求实数 a 的最小值；（3）若存在 x1，x 2e，e 2，使 f（x 1）f（x 2）+a，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有【专题】
11、压轴题；导数的综合应用【分析】 （1）根据解析式求出 g（x）的定义域和 g（x） ，再求出临界点，求出 g（x）0 和 g（x）0 对应的解集，再表示成区间的形式，即所求的单调区间；（2）先求出 f（x）的定义域和 f（x） ，把条件转化为 f（x）0 在（1，+）上恒成立，再对 f（x）进行配方，求出在 x（1，+）的最大值，再令 f（x） max0 求解；（3）先把条件等价于“当 xe，e 2时，有 f（x） minf（x） max+a”，由（2）得 f（x） max，并把它代入进行整理，再求 f（x）在e，e 2上的最小值，结合（2）求出的 a 的范围对 a 进行讨论： 和 ，分别求出
12、 f（x）在e，e 2上的单调性，再求出最小值或值域，代入不等式再与 a 的范围进行比较【解答】 （1）解：由 得，x0 且 x1，则函数 g（x）的定义域为（0，1）（1，+ ） ，且 g（x）= ，令 g（x）=0，即 lnx1=0，解得 x=e，当 0xe 且 x1 时，g（x）0；当 xe 时，g（x） 0，函数 g（x）的减区间是（0，1） ， （1，e） ，增区间是（e，+） ，（2）由题意得函数 f（x）= 在（1，+）上是减函数，f（x）= a0 在（1，+）上恒成立，即当 x（1，+）时，f（x） max0 即可，又 f（x）= a= = ，当 时，即 x=e2 时， ，得
13、，故 a 的最小值为 （3）命题“若存在 x1，x 2e，e 2，使 f（x 1）f（x 2）+a 成立”等价于“当 xe，e 2时，有 f（x） minf（x） max+a”，由（2）得，当 xe，e 2时， ，则 ，故问题等价于：“当 xe，e 2时，有 ”，当 时，由（2）得，f（ x）在e ，e 2上为减函数，则 ，故 ，当 时，由于 f（x）= 在e，e 2上为增函数，(对称轴为根号 e)故 f（x）的值域为 f（e） ，f （e 2） ，即a ， （i）若a0，即 a0，f（x）0 在e，e 2恒成立，故 f（ x）在e，e 2上为增函数，于是， ，不合题意（ii）若a0，即 0
14、，由 f（x）的单调性和值域知，存在唯一 x0（e ，e 2） ，使 f（x 0）=0 ，且满足：当 x（e，x 0）时， f（x） 0，f（x）为减函数；当 x（x 0，e 2）时，f（x）0，f（x）为增函数；所以，f（x） min=f（x 0）= ，x （e，e 2） ，所以，a ，与 0 矛盾，不合题意综上，得 【点评】本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等知识，考查了分类讨论思想和转化思想，计算能力和分析问题的能力10 （2014吉林三模） 已知函数 f（x）=lnx ，g（x）=f （x）+ax 6lnx，其中 aR（1）当 a=1 时，判断 f（x）的单调性
15、；（2）若 g（x）在其定义域内为增函数，求正实数 a 的取值范围；（3）设函数 h（x）=x 2mx+4，当 a=2 时，若x 1（0，1） ，x 21，2 ，总有 g（x 1） h（x 2）成立，求实数 m 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用【分析】 （1）当 a=1 时，f（ x）=lnx ，f（x）= + = ，由此能推导出 f（x）在（0，+ ）上是增函数（2）将函数为增函数，转化为导函数大于等于 0 恒成立，分离出参数 a，求出 a 的范围（3）对 h（x）进行配方，讨论其最值问题，根据题意x 1（0，1）
16、 ， x21，2，总有 g（x 1）h（x 2）成立，只要要求 g（x） maxh（x） max，即可，从而求出 m 的范围【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=lnx ，f（x）= + = ，x0x 0， f（x ）0，f（ x）在（0，+ ）上是增函数（2）f （x）=lnx ，g（x）=f（x）+ax6lnx ，a0g（ x） =ax 5lnx，x0g（x）=a+ = ，若 g（x）0，可得 ax25x+a0，在 x0 上成立，a = ， = （x=1 时等号成立） ，a （3）当 a=2 时，g（x）=2x 5lnx，h（x）=x 2mx+4=（x ） 2+4 ，x1（0，1）
17、，x 21，2 ，总有 g（x 1） h（x 2）成立，要求 g（x）的最大值，大于 h（x）的最大值即可，g（x）= = ，令 g（x）=0，解得 x1= ，x 2=2，当 0x ，或 x2 时，g（x）0，g（x）为增函数；当 x2 时，g（x）0，g（x）为减函数；x 1（0，1） ，g（ x）在 x= 处取得极大值，也是最大值， g（x） max=g（ ）=14+5ln2=5ln2 3，h（ x） =x2mx+4=（x ） 2+4 ，若 m2，h max（x）=h （2）=4 2m+4=82m，5ln2382m， m ， 2，故 m 不存在；若 m4 时，h max（x）=h（1）=5
18、m ，5ln235m，m 85ln2，实数 m 的取值范围：m85ln2；【点评】本题考查函数单调性与导数的关系，和分类讨论思想，及二次函数的知识，是导数中常见的恒成立问题，属难题11 （2014蓟县校级一模） 已知函数 f（x）=x 3+ax24（1） 若 f（x）在 处取得极值，求实数 a 的值；（2） 在（）的条件下，若关于 x 的方程 f（x）=m 在1，1上恰有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围；（3） 若存在 x0（0，+） ，使得不等式 f（x 0）0 成立，求实数 a 的取值范围【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】计算题；综合题
19、；压轴题；数形结合；转化思想【分析】 （1）首先利用函数的导数与极值的关系求出 a 的值， （2）在（）的条件下，若关于 x 的方程 f（x）=m 在1， 1上恰有两个不同的实数根，即函数 f（x）的图象与直线 y=m 有两个交点，利用导数即求函数 f（x）在区间1， 1上的最值；（3）解法一：存在 x0（0，+） ，使 f（x 0）0 即寻找 f（x） max0 是变量 a 的范围；解法二：存在 x0（0，+） ，使得不等式 f（x 0）0 成立，即即x 3+ax240 在（0，+）上有解，分离参数，即求ag（x） min，转化为求函数的最小值【解答】 （1）f（x）= 3x2+2ax，由题
20、意得 ，解得 a=2，经检验满足条件（2）由（1）知 f（x）= x3+2x24，f（x）=3x 2+4x，令 f（x）=0，则 x1=0， （舍去） f（x） ，f （x）的变化情况如下表：x 1 （1 ，0 ） 0 （0，1） 1f（ x） 0 +f（x） 1 4 3f（ x）在（1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，f（ x） 极小值 =f（0）= 4，如图构造 f（x）在1，1上的图象又关于 x 的方程 f（x）=m 在1，1上恰有两个不同的实数根，则4 m 3，即 m 的取值范围是（4， 3（3）解法一：因存在 x0（ 0，+） ，使得不等式 f（x 0）0 成立，故只需要 f
21、（x）的最大值 f（x） max0 即可，f（ x）=x 3+ax24， 若 a0，则当 x0 时，f（x）0，f （x）在（0，+）单调递减f（ 0）=40，当 x0 时， f（x）40，当 a0 时，不存在 x0（0，+） ，使得不等式 f（x 0）0 成立当 a0 时 f（x） ，f（x）随 x 的变化情况如下表：xf（ x） + 0 f（x） 当 x（0，+）时， ，由 得 a3应该是 4a3综上得 a3，即 a 的取值范围是（3，+） 12 （2014泉州模拟） 已知函数 f（x）=ae x+ （）当 a=1 时，求 f（x）在点（ 1，f （1） ）处的切线方程；（）若对于任意的
22、x（0， +） ，恒有 f（x）0 成立，求 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】 （）当 a=1 时求出 f（x） ，求导 f（x） ，切线斜率 k=f（1） ，f（1）=e2，利用点斜式即可求得切线方程；（）对于任意的 x（0，+） ，恒有 f（x）0 成立，等价于 f（x） min0，利用导数判断函数 f（x）的单调性、极值，从而确定其最小值，其中为判定导数符号需要构造函数【解答】 （）当 a=1 时，f（ x）=e x+ 4，f （x）=e x ，f （1）=e2，f（ 1）=e2， f（x）在点（1，f（1） ）处的切
23、线方程为：（e 2）xy=0 （）f （x）=a ex+ f（x）= ，令 g（x）=ax 2ex（a+1） ，则 g（x）=ax（2+x ）e x0，g（ x）在（ 0，+ ）上单调递增， g（0）= （a+1）0，当 x+时，g（x）0，存在 x0（0， +） ，使 g（x 0）=0，且 f（x）在（0，x 0）上单调递减，f （x）在（x 0，+ ）上单调递增，g（ x0） = （a+1）=0， =a+1，即 = ，对于任意的 x（0，+ ） ，恒有 f（x）0 成立，f（ x） min=f（x 0）= + 2（a+1）0， 2（a+1）0， ， 0，解得 x01， =a+1， = 1， （1+1/a1 ）令 h（x 0）= ，而 h（0）=0，当 x0+时，h（x 0）+，(大于 0 时，增乘以增)存在 m（0，+ ） ，使 h（m ）=1，h（ x0） = 在（0，+）上，x 0m ，mx 01，h（ x0） = 在（m，1上h（m）h（x 0）h（1） ，1 e，a 【点评】本题考查曲线上某点处切线方程的求解及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，正确理解导数的几何意义是关键，至于恒成立问题常常转化为函数最值处理，本题综合性强，难度大
