2001-11兰州大学高等代数考研真题.pdf

1、QQ： 1240673769整理QQ： 1240673769整理 1兰 州 大 学 209年 招 收 攻 读 硕 士 学 位 研 究 生 考 试 试 题注意：答案请一律写在答题纸上，写在试题上无效初试科目代码： 801 初试科目名称：高等代数一、 （ 25分 ） （ 1）设naa,21 为互不相同的整数，证明： ()( )( )( )122221 += naxaxaxxf 在有理数域上不可约。（ 2） 证明 ： 数域 F上的 ()0nn 次多项式 )(xf能被它的微商 )( xf整除的充要条件是 ()()( )Fbabxaxfn = ,.二、 （ 15分）计算下列行列式()xaaa aaxaa

2、 aaxa aaaxDn =1 ； () nDn 333 3333 3323 33312=三、 （ 15分）设 DCBA, 均为 n阶实矩阵，且 CAA=。证明：CBADDCBA = 。四、 （ 20分）证明： n级矩阵 A为幂等阵 ( )AA=2 的充要条件为()( )nAErAr =+ 。五、 （ 15分 ） 设 A是 n级正交矩阵 ， 其特征值均为实数 ， 证明 ： A是对称矩阵。六、 （ 15分 ） BA,都是 n级正交矩阵 ， 证明 ： BAA+,1 是正定矩阵 。七、 （ 20分）设 是 n维线性空间 V上的线性变换， ()V的一组基为s,21 ； i是 i的原象，即 ()( )s

3、iii ,2,1= ，( )nLW ,21= 证明：（ 1） ()01=WV ；QQ： 1240673769整理QQ： 1240673769整理 2（ 2） n=+的零度的秩 。八、 （ 25分）已知矩阵 bBaA 0001000112222221 = 、问 ba,取何值时 A与 B相似，并求可逆矩阵 B使得 BAPP=1 。2011 年兰州大学研究生入学考试高等代数试题 一、 (1) (15 分 )设 ()px 是数域 p 上的次数大于零的多项式 .证明： ()px 是一个不可约多项式的充分必要条件是对任意的 ( ), ( ) f x g x P x ， 由 ( ) | ( ) ( )p x

4、 f x g x一定推出( )| ( )p x f x 或 ( )| ( )p x g x . (2)(10 分 )设 n 是大于等于 2 的正整数 .证明：整系数多项式 2nx 不能分解为两个次数小于 n 的整系数多项式的乘积 . 二 、 (1)(10 分 )设 ijA 是 n 级矩阵 ()ijAa 的元素 ija 的代数余子式 .证明： 11 1 1 2 122 1 2 2 2,11212nn nij i jijn n n n nnaa a xaa a xA z A x ya a a xy y y z . (2)(8 分 )计算 n 级行列式9 5 0 0 04 9 5 0 00 4 9

5、0 00 0 0 9 50 0 0 4 9的值 . 三、 (13 分 )设矩阵 ()ij mnAa ， ()ij nsBb 分别为数域 P 上的 ,m nn s矩阵 .证明： ( ) ( ) ( )ra n k A B ra n k A ra n k B n . 四、 (20 分 )(1)设 A 是 n 级实对称矩阵 .证明： A 是半正定的充分必要条件是对任意的实数 0,k kE A是正定矩阵 . (2)设 A 是 n 级正交矩阵且 1A .证明： 0EA. 五 、 ()fx是数域 P 上的 m 维线性空间 U 到 n 维线性空间 V 的线性映射 (即保持线性运算的映射 ). 证 明： 1(

6、 ) ) ( ( 0 ) )f U m f维 ( 维，其中， ( ) ( ) ,f U f V U 1 ( 0 ) ( ) 0f U f . 六、 (20 分 )设 A 是数域 P 上的 n 级矩阵，其特征多项式 ()f 可分解为一次因式的乘积 1212( ) ( ) ( ) ( ) ssf . 证明： 12n sP V V V ，其中 ( ) 0 , 1 , 2 , ,irniiV P A E i s . 七、 (15 分 )设 12, , , m 是 n 维欧式空间 V 中的一组向量， 1 1 1 2 12 1 2 2 212( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ,

7、 )( , ) ( , ) ( , )mmm m m m 证明 ： 12, , , m 线性无关 当且仅当 0 . 八 、 (25 分 )设 1 是 是对称 矩阵 2 2 22 5 424Aa的二重特征根 .求 a 的值 ，并求 正交矩阵 T 使 得 TTAT 为对角矩阵 . 2011 年兰州大学研究生入学考试高等代数试题 解答 摘 要 ：本文给出了兰州大学 2011 年研究生入学考试高等代数试题的一个参考答案 . 关键词 ：兰州大学；研究生 考试 ；高等代数 白 建 超 2012 年 5 月 28 日星期一 一、 证明 (1)(充分性 )反证法 .如果 ()px 不是一个不可约多项式，那么

8、()px 可分解成次数都低于 ()px 的多项式的乘积： 12( ) ( ) ( )p x h x h x ， ( ( ) ( ( )ih x p x ， 1,2i . (1) 令 12( ) ( ), ( ) ( )f x h x g x h x，则有 ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( )p x f x g x p x f x或 ( )| ( )p x g x ， 这与假设 (1)矛盾 .所以 ()px 是一个不可约多项式 . (必要 性 ) 如果 ( )| ( )p x f x ，那么结论显然成立 . 如果 ( 1,2, , )i in ，那么 ( ( ), ( ) 1p x f

9、 x ，而 ( ) | ( ) ( )p x f x g x，所以 ( )| ( )p x g x . (2)令 ( ) 2nf x x，只需要证明 ()fx在有理数域上不可约即可 .因为 ()fx的首项系数为 1，常数项为 2，所 有 可能的有理根为 1, 2.又 (1 ) 3 0 , ( 1 ) ( 1 ) 2 0nff , ( 2 ) 2 2 0 , ( 2 ) ( 2 ) 2 0 ( 2 )nnf f n , 证得 ()fx无有理根，即在有理数域上不可约，所以在整数域上 也 不可约 .故整系数多项式 2nx 不能分解为两个次数小于 n 的整系数多项式的乘积 . 二、 (1)证明 记所给

10、的行列式为 D ，对 D 按最后一行展开得 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 12 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 22 2 212 3 1 2 1( 1 ) ( 1 )nnnnnn n n n n n n n n na a a x a a a xa a a x a a a xD A z y ya a a x a a a x 1 1 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 1 2 1 212 1 1nnnn n n n n n n nx a a a a xx a a a a xA z y yx a a a a x 1111111,1()nni i n i ini

11、ini i in ninij i jijA z y x A y x AA z x A y A yA z A x y (2)解 记所给的行列式为 nD ，则 129 20n n nD D D.作特征方程 2 9 20xx，得特征根为 124, 5xx，故可设 1145nnnD a b( ,ab为待定系数 ). 分别令 1n 和 2n 得 9 1 64 5 6 1 2 5a b aa b b , 所以 1154nnnD . 三、 证明 可以参考文献 1.这里给出一种简便的证法 . 因为 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )0( ) ( ) ( )n n nnnA A B A Br A

12、r B r r rE B E B Er A B r E r A B n , 故证 ( ) ( ) ( )r AB r A r B n . 四、 证明 (1)可以参考文献 2.下面给出简要赘述 . A 是是对称矩阵，则 正交矩阵 T ，使得 121nT A T， ( 1,2, , )i in 为 A 的全部特征根 . (必要性 )若 A 半正定，则 0i .对 0k，记 B kE A，则有 12nkkB T TkB 的全部特征根为 0ik .又 ()kE A kE A 为实对称矩阵，故证 kE A 为正定矩阵 (充分性 )反证法 .若 A 不是半正定的，则 0l ，令 02lk .所以 122l

13、nkkk E A T Tk 即 kE A 有一个特征根为 02l ，这与 kE A 为正定矩阵矛盾，故证 A 半正定 . (2)由题意 E A A A A A A E E A 0EA 0EA 证毕 . 五、 证明 不妨设 12, , , p 是 1(0)f 的一组基 ,则有 12( ) ( ) ( ) 0pf f f . 将 12, , , p 扩充为 U 的一组基 1 2 1, , , , , ,p p m . 第一，先 证 12( ), ( ) , ( )p p mf f f 为 ()fU 的一组基 .设 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0p p p p m mk f k f k f

14、 则 1 1 2 2( ) 0p p p p m mf k k k ，所以 11 1 2 2 ( 0 )p p p p m mk k k f 即 12, , , pk k k ， 1 1 2 2 1 1 2 2p p p p m m p pk k k k k k 又 因为 1 2 1, , , , , ,p p m 是 U 的一组基 ， 1 2 1, , , , , ,p p m 线性无关， 所以 12 0mk k k 第二，又因为 12( ) ( ) ( ) 0pf f f ，所以 ()fU 12( ( ) , ( ) , ( ) )p p mL f f f ,由维数定理有 1( ) ( (

15、 0 )f U f m维 ( 维 ，即 1( ) ( ( 0 )f U m f 维 ( 维 六、 证明 参见文献 3，这里不再赘述 . 七、 证明 由于这道题在研究生课本矩阵理论也有出现，这里简要证明 . (必要性 )设 1 1 2 2 mmx x x ，则 1212( , ) ( , , , ) 0mmxxx x xx ， 故证 实正定矩阵， 0 ,所以 0 . (充分性 )反证法，若 0 ，可设1 0miii x ，则有 11( , ) ( , ) 0 , 1 , 2 , ,mmi i j i i jiix x j m . 即 12 0mxxx. 由于 0 ，此方程只有零解，即 12 0m

16、x x x .故 12, , , m 线性无关 . 八、 解 经计算特征 多项式 23 ( 7 ) ( 7 1 4 ) 2 0 6E A a a a 由题意 1 是其二重根，用综合除法得 5a ，且另一特征根为 10 . 对 1 ，解齐次线性方程组 ( ) 0E A X得特征向量为 12( 1,1, 0 ), (1, 0 ,1) 对 10 ，解齐次线性方程组 (10 ) 0E A X得特征向量为 3 (1,2, 2) 将 1 2 3, 正交化得正交向量组为 11212 2 1113 1 3 23 3 1 21 1 2 2( , ) 11( , ,1 )( , ) 2 2( , ) ( , ) 5 ( 1 ,1 , 1 )( , ) ( , ) 3 再将 1 2 3, 标准化的 11121231311( , , 0 )221 1 2( , , )6661 1 1( , , )3 3 3 令 1 2 3( , , )T ，则 T 为正交矩阵，且有 1 0 00 1 00 0 10T AT为 对角矩阵 .