1、1四、保角变换及应用四、保角变换及应用定义：平面 上给出某个流动其复势是 ，引入新复变函数z xiy= + ()Fzwuiv= +两者间关系：()z zw=或则()wwz=实部和虚部关系：() ( ) (,) (,)z w zu iv xuv iyuv= += +(,), (,)x xuv y yuv= =() ( ) (, ) (, )w wz wx iy uxy ivxy= =+= +(, ), (, )u uxy v vxy= =同理：.(1).(2)2（ 1）和（ 2）确定了平面 和 上点、线的对应关系如下： z ww判断条件一个点单值多个点多值一条线单值一条线多条线多值一个点z()z
2、 zw=()z zw=()z zw=()z zw=根据以上对应关系，有以下逻辑判断成立：如果单值 在一个平面上完成确定的流动网络（流场图） 流线和等势线对应于另一个平面流动网络。此时 ，值本身是相同的 单值对应 保角变换及应用保角变换及应用3设解析函数把把平面上一点平面上一点变换到变换到平面平面内的一点内的一点。用。用和和分别代表函数分别代表函数在在点的点的导数的模与幅角，则有：导数的模与幅角，则有：()wwz=zz xiy= +wwuiv=+MwzzidwM edz=idw Me dz=说明：说明：时，变换时，变换使使点处很短的线段点处很短的线段伸长伸长或缩短了或缩短了倍，并旋转了一个角度倍
3、，并旋转了一个角度。0dwdz()wwz=zdzM保角变换及应用保角变换及应用4证明保角性：证明保角性：导数定义：00,0lim limwuuzxiywuv += +与趋于 0的方式无关，即的方式无关，即和和平面上对应点引出的对应平面上对应点引出的对应无限小线段无限小线段，的比值为常数，而过每一点均可以引出的比值为常数，而过每一点均可以引出无限多个无限小线段无限多个无限小线段w z wdzdw12 1 2, ,dz dz dw dwnullnull12 1112 22dz dz dz dwdw dw dz dw=null12 1 2Argdz Argdz Argdw Argdw =平面上线段平
4、面上线段间的夹角间的夹角= 平面上平面上间的夹角。间的夹角。变换变换或或是保角的。是保角的。z12,dz dzw12,dw dw()z w()wz保角变换及应用保角变换及应用5井径无穷小线段：wwwwdz dwrrdw dz=假设： 平面上绕井封闭曲线；Lzz 平面上 L的法线及切线单元；,dn dL 平面对应封闭的曲线。 w,dv d 平面上 的法线及切线单元；wQ 平面上井产量；zdQdLdn=nulldzdn dvdw=ndvdn= 法线渗流速度；保角变换及应用保角变换及应用6zdddzddL d ddzdn dw dvdvdw = nullnull null例一：例一： 平面上单向流。
5、dzdL ddw=()F zAz=() ( )F zixiyA = +=+Ax =1x C=等势线Ay =2yC=等势线xVAx= =0yVy= =,xVV A= =zixiy xiywe e e ee+= = =变换：和保角变换及应用保角变换及应用7xe =y =模幅角所以：平面等势线w1x C=平面等势线z2yC=平面等势线zw平面流线2C =2C =圆射线保角变换及应用保角变换及应用8例二：例二：直线供给边缘附近一口井。保角变换及应用保角变换及应用寻求一个适当变换，把较复杂物平面问题变换为像平面问题，而像平面复势，产量容易求出。待求出像平面产量公式后，再变换到物平面上。9取变换：ezia
6、wzia=+z ia=平面井心z0w= w平面原点平面 点 z上总有：x 0y =22222aiarctgaxiarctgxee eaiarctgxxia x aewexiaxae += =+ew =实轴（ 轴） x平面圆周we上半平面z ia=平面原点w22()() 2() (2) 2ewwe we wwziadw z ia z ia iaR RRRdz z ia ia a =+= = =+平面：w2( ) 2( )2lnlnew ewewwqaR =保角变换及应用保角变换及应用10例三：例三： 圆形地层一口偏心井。0z处，模等于偏心距0zd()020eeRzzwRzz=，0z的共轭复数。为
7、0z保角变换及应用保角变换及应用1100 0 0,oz xiyzxiy= +=z平面上0z z=点平面上w0w=（原点）z平面半径 圆周平面上w （单位圆）eR1R =平面圆周上任一点zz( )020eeRz zwRzz=()()()()222ez zxiy xiy x y R =+ = + =( ) ( )()00eeRz z Rz zwz zzz zzz = 0011eeeRzz Rwzzz R= =保角变换及应用保角变换及应用12w平面：( )21lnewwq =()()02002 22220021eeew www wzz eeeeRR zzRR Rdwdz R ddRzzRR= = =
8、 ( )222ln 1eweweqR dRR =( )222ln 1eweweKh p pQR dRR= 保角变换及应用保角变换及应用13例四：例四： 圆形地层中环形井排变换。eR1Rmwrwe半径 圆形地层中，半径圆周 口井；半径 井壁势，供给边界势 。mwz=极坐标表示时： ,iiz re w e = =,mrm =z平面上平面上w （圆周角）z平面半径扇形 平面上圆w2m =2m = =2m =z平面每一口井径 平面位置均在实轴上，且与圆形w相距为：1mR=且011mwwwzzdwrmRrdz=保角变换及应用保角变换及应用14mwz=将z平面上对称布置m口井映射到w平面上一口偏心井平面偏
9、心井产量：w( ) ( )22121122ln 1 ln 1ew ewm meemmwe weQR RmR r R = 1,5eRRm时211meRR令 :cos sinxiy a ib + =+因此，有z平面与w平面的对应关系：cossinxayb=19222222cos sin 1xyab+ =+=上式是长轴为 ，短轴为 b的椭圆方程，给定一个 值，z平面上给定一条等势线（圆）。因此，上式为z平面等势线方程。另外，由于 ，故Z平面上所有等式椭圆共焦，焦距为 c。222222 22 21cos sinxyabcc c =W平面上给定一 v值，相当于给定一流线，故上式为Z平面的流线方程。例六、
10、共焦点椭圆之间的流动a22 2ab c=20特殊流线：=0或2， x轴正方向， y=0=， x轴负方向， y=0=/2， y轴正方向， x=0=3/2， y轴负方向， x=0x =0,2 y =3/2 = =/2 W平面单位圆1w = =因此：cos0xcy=例六、共焦点椭圆之间的流动iiwee = =()1cos22iicczw eec xiyw= += + = =+21的椭圆。w平面 z平面1 w=1, =0 x=c, y=0 12 w=1, =/2 x=0, y=0 23 w=1, = x= -c, y=0 34 w=1, =3/2 x=0, y=0 45 w=1, =2 x=c, y=
11、0 5从上面对于关系可以看出，w 平面上半径为1 的单位圆，对应z平面上长度为2c的裂缝井。再看w平面上任一圆（等势线） =R，对应Z平面长轴为12caRR=+短轴为 ：12cbRR=例六、共焦点椭圆之间的流动( ) ( )22lnlnew ewWZeewQQ =在 w平面上，油井产量为：22例七、二分支裂缝井流动问题如上图所示，长度为 2L的裂缝井，设地层厚度为h ,渗透率为 K，流体粘度，地层压力为 p，裂缝井底压力为，求裂缝井产量Q ？23例七、二分支裂缝井流动问题取变换函数：取变换函数：z Lchw=其中其中iyxz +=wuiv= +)sincos()( vishuvchuLivuL
12、chiyx +=+=+代入代入对应关系为：对应关系为：vLchux cos=vLshuy sin=w平面 z平面24例七、二分支裂缝井流动问题即通过变换函数，把Z平面上半平面地层变换为w平面带宽为的x轴右边的半无限大地层(x轴右边)，长度为2L的裂缝井变为宽度为的排液坑道。同理可以得到把Z平面下半平面地层变换为w平面带宽为的x轴左边的半无限大地层(x轴左边) 。即Z平面裂缝井流动变换为w平面单向流动。1sincos22222222=+=+ vvushLyuchLx此长轴为 ，短轴为 的椭圆方程。在w平面给定一个值即给定一条等势线，故上式为 z平面的等势线方程。当值较大时，即远离排液坑道， ,z
13、平面等势椭圆变为等势圆。Lchua =Lshub =ba 25x轴正方向，轴正方向，y轴正方向，轴正方向，x轴负方向，轴负方向，y轴负方向，轴负方向，0=v2/例七、二分支裂缝井流动问题=v 0=x=v0=y2/3=v 0=x0=y由上式还可以得到：由上式还可以得到：1sincos222222222=LbavLyvLx在在w平面给定一个平面给定一个值即给定一条流线，故上述双曲线值即给定一条流线，故上述双曲线方程为方程为z平面的流线方程。平面的流线方程。v同理上述方程有特殊流线：同理上述方程有特殊流线：26例七、二分支裂缝井流动问题下面求裂缝井产量：当 较大时（对应Z平面半径为 的圆）等势线方程
14、：所以：0ueR02100ueshuchu 102220222=+ushLyuchLx22222)21(0ueeLRyx =+LRue2ln0=在在w平面上平面上02ewzppQuK h=2( )2lnewzeKhp pQRL=27四分枝裂缝井渗流问题四分枝裂缝井渗流问题如图所示，长度为如图所示，长度为4L的裂缝井，设地层厚度为的裂缝井，设地层厚度为h，渗透率为渗透率为K，流体粘度为，流体粘度为，地层压力为，地层压力为p裂缝井井底裂缝井井底压力为压力为pw，求裂缝井产量，求裂缝井产量Q=？例八、四分枝裂缝井渗流问题例八、四分枝裂缝井渗流问题28取变换函数：取变换函数：其中其中iyxz +=)s
15、incos(2222vishuvchuLxyiyx +=+代入代入对应关系为：对应关系为：=vshuLxyvchuLyxsin2cos2222w平面 z平面1 u=0, =0 x= L, y=0 1 12 u=0, = x=0, y=0 2 223 u=0 , = x=0, y= L 3 34 u=u0, = 0 x= , y=0 4 45 u=u0, = x=y= 5 56 u=u0, = x=0, y= 6 60chuL20shuL0chuL22z Lchw=wuiv= +例八、四分枝裂缝井渗流问题例八、四分枝裂缝井渗流问题29即通过变换函数即通过变换函数，把，把Z平面上的第平面上的第象限
16、象限和第和第象限地层变换为象限地层变换为w平面带宽为平面带宽为的半无限大地层的半无限大地层（x轴右边）长度为轴右边）长度为4L的裂缝井变为宽度为的裂缝井变为宽度为的排液坑的排液坑道。道。同理可以得到同理可以得到z平面第平面第象限和第象限和第象限地层变换为象限地层变换为w平面带宽为平面带宽为的半无限大地层（的半无限大地层（x轴左边）。轴左边）。即即z平面裂缝井的流动变换为平面裂缝井的流动变换为w平面上的单向流。平面上的单向流。由上式可得：由上式可得：（A）（B）在在 z平面上给定一平面上给定一 值相当于给定一流线，故（值相当于给定一流线，故（ A）为）为 w平面流线方程；平面流线方程；在在 z平
17、面上给定一平面上给定一 u值相当于给定一等势线，故（值相当于给定一等势线，故（ B）为）为 w平面平面 等势线方程。等势线方程。22z Lchw=2222222()()cossin1cos sinxy xyvvLv Lv =+=2222222()() 1 1xy xych u sh uL chu L shu+ =例八、四分枝裂缝井渗流问题例八、四分枝裂缝井渗流问题302，方程（方程（A）中，当）中，当=0，表示特殊流线：表示特殊流线：，z的的x轴正方向，轴正方向，; , z的的y轴正方向，轴正方向，;, z的的x轴负方向，轴负方向，; , z的的y轴负方向，轴负方向，.0=v0=y2/=v 0=x=v0=y232/3=v0=x当当较大时，远离排液坑道，此时，较大时，远离排液坑道，此时，p为地层压力为地层压力ou00012uchu shu e代入代入 (B)022lneRuL=w平面上排液坑道产量：平面上排液坑道产量：04QPePwukh=( )2ln 2ekh Pe PwQRL=()022222 2 2 2 201()()2uexy Lchu Le R+ =例八、四分枝裂缝井渗流问题例八、四分枝裂缝井渗流问题
