1、一元二次方程的根的判别式,温故而知新,X,温故而知新,我们知道,任何一个一元二次方程,a0,4a20,a0 4a20,当 时，,当 时，,当 时，,方程有两个不相等的实数根：,方程有两个相等的实数根：,方程没有实数根。,a0 4a20,反过来，对于一元二次方程：,如果方程有两个不相等的实数根，那么 ；,如果方程有两个相等的实数根，那么 ；,如果方程没有实数根，那么 。,我们把 叫做一元二次方程的根的判别式， 用符号“ ”表示，即,记住了，别搞错!,一元二次方程的根的判别式,(默1),在一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)中，=b2-4ac若0 则方程有两个不相等的实数根若 =0 则方程有两
2、个相等的实数根若0则方程没有实数根（2）这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)中，=b2-4ac若方程有两个不相等的实数根，则0 若方程有两个相等的实数根， 则=0若方程没有实数根， 则0 注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。,若方程有两个实数根，则0,若0时，则方程有两个实数根,(默2),a0是使用根的判别式的前提条件,口答：,例1.不解方程,判别方程 的根的情况_,方程要先化为一般形式再求判别式,按要求完成下列表格：,让我们一起学习例题,0,4,有两个相等的实数根,没有实数根,有两个不相等的实数根,让我们一起学习例题
3、,有两个相等的实数根,没有实数根,有两个不相等的实数根,方程,判别式 与根,不解方程，判别下列方程的根的情况： (1)；(2)；(3),(1)a2，b3，c4， 方程有两个不相等的实数根,(2)a16，b24，c9， 方程有两个相等的实数解,(3)将方程化为一般形式， a4，b7，c5， 49100 510 方程无实数解,抢答：,2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内） （1） （2） （3） （4） （5） （6）,有两个实数根的方程的序号是（ ）没有实数根的方程的序号是（ ）,任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根,a、
4、c异号，一元二次方程有两个不相等的实数根,例2.在一元二次方程,( ),A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法,(默3),A,例：当k取什么值时，已知关于x的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；,解：=,(1).当0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 0 , 即,(2).当 = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即,(3).当 0 ，方程有没有实数根, 8k+9 0 , 即,说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出，再由题目给出的根的情况确定的情况。从而求出待定系数的取值范
5、围,K,B,课堂练习,已知关于x的方程 有两个实数根，求m的取值范围.,(默4),(根的情况已有，写因为）,解：根据题意得,a0是使用根的判别式的 前提条件,4m10，,m的取值范围是 且m0,例3：不解方程，判别关于 的方程的根的情况.,例.设关于x的方程,证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根,所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根,(默5),证明的 题，有一次项就配成完全平方,代数式配成完全平方的步骤; 1.常数项放括号外 2.提出二次项系数 3.在括号里 加一个减一个一次项系数一半的平方,根的情况是要得到的，所以不写，直接写不等式组,，所以,（1）当 ， 即 时
6、，方程有两个不等的实数根；,（2）当 ， 即 时， 方程有两个相等的实数根；,（3）当 ， 即 时，方程没有 实数根.,解：因为,根的情况是要得到的，所以不写，直接写不等式组,解：根据题意得,(默6),(根的情况已有，写因为）,(默7),(k-2)(k-10)=0,例、已知m为非负整数，且关于x的方程 ：有两个实数根，求m的值。,解：方程有两个实数根,m为非负数,m=0或m=1,(根的情况已有，写因为）,求证:无论a为任何实数,关于x的方程 x2(2a1)xa30总有两个不相等的实数根. 证:(2a1)24(a3)4a28a134(a1)29 即0 无论a为任何实数 (a1)20 4(a1)2
7、90 无论a为任何实数,方程x2(2a1)xa30总有两个不等实根. 要说明0常将它配成完全平方式正数.,已知关于,的方程,没有实数根，求证：关于,的方程,一定有两个实数根。,证：,的方程,一定有两个实数根。,此时方程（2）有两个不相等的实数根。,所以关于,(默7),一元二次方程 的主要用途,小结,1、用于判别一元二次方程的根的情况；,2、用于求一元二次方程的某些待定系数的取值或取值范围；,注意：运用根的判别式时，必须将方程首先化为一般形式。,3.用 做题的步骤：,（1）方程化为一般式,（2）写a,b,c,求,（3）求字母范围的，写不等式组,根的情况已有，写因为,根的情况是要得到的，所以不写，
8、直接写不等式组,（4）证明的 题，有一次项就配成完全平方,4应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.,一、复习引入：1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为_ ， 当_时，方程有两个不相等的实数根； 当 _时，方程有两个相等的实数根； 当 _时，方程无实数根。2、一元二次方程3x(x-1)-2=2(x+1)化为 _ ， 此方程的根的情况为（ ）。3、方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，则k=_。4、当m_时，方程 3x2-2(3m+1)x+3m2+1=0 没有实数根。5、若方程ax2+bx+c=0中，a、c异号，则方程的根
9、的情况为 _ _， 若c=0，则此方程必有一根为_。,0,=0,0,有两个不相等的实数根,0或24,有两个不相等的实数根,0,一起回答：,有两个不相等的,有两个相等的,没有,（2）方程 _实数根。,6、填空题：（请填“有两个不相等的”、“有两个相等的” 或“没有”）（1）方程 _实数根。,（3）不论m为何值，方程_实数根。,课时训练,1.(2004年大连)一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况 是 ( )A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根,D,2.(2004年安徽) 方程x2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相
10、等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根,A,3.(2004年长沙)下列一元一次方程中，有实数根的是( )A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0 D.x2+4=0,C,4.(2004年西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )A.m1 B. m1且m0C.m1 D. m1且m0,D,5.(2004年昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ( )A.k1 B.k1 C.k1,A,5.(2003年南通市)若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= .
11、,2,6.(2004年上海市)关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。,解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=(m-1)2, (m-1)2=1,即 m12，m20(二次项系数不为0，舍去)。,当m=2时，原方程变为2x2-5x+30， x3/2或x=1.,若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （ ） A ）m 0 B ） m 0 C m 0 且m1 D m 0且m1,解：由题意，得m-10 =（2m)2-4（m-1）m0 解之得，m
12、0且m1，故应选D,D,练习1 选择题 1 不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（ ） A )有两个不相等的实数根 B) 有两个相等的实数根 C) 没有实数根 D)无法确定 2 . 若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根，则k的取值范围是（ ） A)k 1.5 B)k 1.5 C) k 1.5 且k1 D)k1.5,A,C,练一练,3、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根， 则k的取值范围是（ ） ）k ）k ）k且k0 ）k且k04、若关于y的方程ay-4y+0有实数根，则a的最 大整数值为（ ） A）0 B） 4 C）0或4 D）3
13、,D,B,典型问题,类型一：概念类问题,D,2.关于x的方程（m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m= .,3,解：由题意得：|m|-1=2且m+30,解得 m=3,A,反馈练习,1.下列方程是一元二次方程的是（ ）,2.若关于x的方程 是一元二次方程，则a= 。,点拨：由题意知a2-2=2且a-20. 解得：a=-2,-2,3.把方程x2+3mx=8的左边配成一个完全平方式,在方程的两边需同时加上的式子是 A. 9m2 B. 9m2x2 C. D.,4.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是 A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2,c,A,巩固提
14、高： 1、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二次方程则m 。 2、已知关于x的方程（m-1）x+（m-1）x-2m+1=0，当m 时是一元二次方程，当m= 时是一元一次方程， 当m= 时，x=0。,1, 2,-1,回顾反思,问题精选1：,若关于,的方程,有实数根，求,的取值范围。,方程有实数根。,解：,X的一元二次方程,解：,方程有实数根。,例4已知等腰三角形的三条边为,，且,，,是方程,的两个根，求,的值。,反思提高：,解:,例 已知关于x的一元二次方程x2+2x+2-m=0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围？ （2）请你利用（1）所得的结论，任
15、取m的一个数值代入方程，并用配方法求出方程的两个实数根？,分析：一元二次方程根与判别式的关系0 方程有两个不相等的实数根，于是有：22-4(2-m)0,解之得m的取值范围；(2)中要求m任取一个值，故同学们可在m允许的范围内取一个即可，但尽量取的m的值使解方程容易些。而且解方程要求用配方法，这就更体现了m取值的重要性，否则配方法较为困难。,解（1）方程有两个不相等的实数根0，即4-4（2-m)0 m1 （2）不妨取 m=2代入方程中得：x2+2x=0 配方得： x2 +2x+12=12 即（x+1)2=1 x+1=1 解之得：x1=0 x2=2,例，已知：a、b、c是ABC的三边， 求证：方程
16、bx2-(b2+c2-a2)x+c2=0没有实数根。,证明：,.已知a,b,c分别是三角形的三边，则方程（a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是（ ）,A.没有实数根 B. 有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根,分析：利用根的判别式判断根的情况。,解： (2c)2-4(a+b)2=(2c)2-2(a+b)2=2(c+a+b)2(c-a-b)=4(a+b+c)(c-a-b),a,b,c分别是三角形的三边 a+b+c0; c-a-b0 4(a+b+c)(c-a-b) 0,故选A,评：本题主要考查根的判别式的应用，同时又考查了学生对三角形三边关系和平方差公式的灵活运用。,中考链接,
