1、1目录摘要 .2ABSTRACT 3引言 .4第一章 解方程中产生增根的几种方程 .51.1 分式方程的增根 .51.2 无理方程的增根 .51.3 三角方程的增根 .61.4 对数函数的增根 .61.5 产生增根的原因 .71.6 增根的应用 7第二章 解方程中产生失根的几种方程 .82.1 整式方程的失根 .82.2 三角方程的失根 .82.3 对数方程的失根 .92.4 产生失根的原因 .9小结 .10参考文献 .10致谢 .112代数方程的变形导致增根失根的原因郭厚龙摘要从初等代数到高等代数的研究过程中，方程是研究 问题的基 础。如分式方程、无理方程、三角方程、整式方程、对数方程等等。
2、而解方程的过程就是对代数的研究过程，尤其是代数方程，而代数方程在中学数学中的重要性不言而喻。解代数方程的过程中，由于定义域的范围可能改 变， 导致其所得的根可能不在其定 义域的范围内，而不在其定义域内的根就是我们所说的增根。反之，在定义域内有解，但没有解出来的根就是失根。然而，增根与失根的问题却使老师和同学们在解方程的过程中患得患失，力不从心。那么，什么是增根与失根？产出增根与失根的原因是什么？本文将从解分式方程、无理方程、三角方程、整式方程、对数方程等方程的 过程中产生增根与失根的现象出发，来分析代数方程 变形导致增根与失根的原因。关键词：代数方程; 增根; 失根3THE REASON FO
3、R THAT THE CHANGE OF THE ALGEBRAIC EQUATION LEADS TO INCREASING ROOT AND LOSING ROOTABSTRACTFrom elementary algebra to high algebra,the question of equation is the bases.Such as fractional equation、irrational equation、trigonometric equation、ntegral expression、logarithmic equationAnd the process of r
4、esolving equation is the process of researching algebraic equation ,especial algebraic equation.As we all know,the algebraic equation is very important.In the process of resolving algebraic equation,it is possible that the scope of domain of definition change,which leads to root is not the scope of
5、domain of definition, the root is called increasing root, oppositely we call it losing root.However,the question of increasing root and losing root often make teachers and students feel it difficult,then,what is increasing root and losing root?Why produce increasing root and losing root?We will anal
6、yse the reason that the change of the algebraic equation leads to increasing root and losing root from resolving fractional equation、irrational equation、trigonometric equation、ntegral expression、logarithmic equation.Keyword: algebraic equation, increasing root, losing root4引言从小学到大学，每个学习阶段都有解方程的题。特别是
7、在中学数学中，解方程几乎贯穿了整个中学数学的始终。无论是平时的月考、期末考，还是在中考、高考中，解方程已成为一种常考的题型和解决其它问题的工具。足可见出解方程在数学学习中的重要地位。然而，常常由于在解方程过程中产生增根与失根，让我们在面对这样的题时不能完全做对。本文将从分式方程的增根、无理方程的增根、三角方程的增根、对数方程的增根，整式方程的失根、三角方程的失根、对数方程的失根出发，分析道出解方程过程中产生增根与失根的原因。5第一章 解方程中产生增根的几种方程1.1 分式方程的增根对分式方程的解，我们一般是通过在方程的两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程进行求解，在这过程中，看似每步
8、都有理有据，但常常与答案稍有偏差，这究竟是答案有误？还是我们的求解欠佳？下面我们通过一个例子来回答这个问题1例 1：解方程 2312xx解：方程两边同时乘以 得4化简得； 3x解 得： 1上面的解法有理有据，然而， 真的是原方程的根吗？把根1x代入原方程，我们看到，分母 ，因此， 不是原方1x 01x程的根，其实，在我们刚才的求解过程中，忽视了一个问题：方程两边同时乘以的式子不能为 0，即本题中的 即 ，)2(x，所以，解出得 不是方程的根，我们称其为原方程的增根.2x1x1.2 无理方程的增根对无理方程的求解，我们常通过两边平方去根号来解方程，与分式方程中分母不为 0 的限制一样，无理方程也
9、有一个限制：根号下的式子必须大于或等于 0，那么，在解方程过程中，是否也会像分式方程一样，可能会产生增根呢？我们也通过一个例子来检验一下：2例 2：解方程 xx62解:两边平方得 22移项整理得 0解 得 或 3x我们同样把 、 分别代入原方程知，当 时，方程变为 ，3x22x21 周志刚 时代数学学习2006（3）2 周志刚 .时代数学学习.2006（11）6这显然不对，即 不是原方程的根，这是为什么呢？在原方程中，左2x边含根号，故右边的 x 应大于或等于 0，故 只是原方程的增根。2x1.3 三角方程的增根另一种在解方程过程中较易产生增根的方程是三角方程，下面我们也通过一个例子来说明和分
10、析一下：3例 3： 解方程 0tan12cosx解：由 得41k2x)(在上面的解方程过程中，似乎也毫无破绽，但我们应该注意到，在正切函数中 ，同时，因分母不为 0，所以 ，故所得k 4kx的解 是原方程的增根42x1.4 对数函数的增根在解对数方程过程中，因对数函数是单调函数，故对形如的方程我们用 来求解方程，然而，)1,0(logl)( axaxfa )(xgf在解方程过程中，我们常忽 本身作为真数应大于 0 这个限制而)(,xgf导致所解方程出现增根。4例 4：解方程 。)42()65(ll2xx解：根据同底数的两个对数式相等，其真数相等得： 2即032x解得 或12与前面一样，我们吧所
11、得的根代入原方程，则当 时，真数2x3 朱伟卫 数理天地2008（11）4 戴远伟 数学学习与研究2010（15）7，这显然违反了对数的真数大于 0 的前提条件，故 不是原042x 2x方程的根，而是其增根。1.5 产生增根的原因现在我们根据上面的内容来分析在解方程过程中产生增根的原因：在例 1 中，对原方程，因分母不为 0，故其未知数的取值范围为、 ，而变形成整式方程后，未知数的取值范围扩大为全体实数x2R，从而导致所得的根 是其增根。在例 2 中，对原方程，因根号下的1x式子大于或等于 0，故其未知数的取值范围为 ，两边平方变形后未知x数的取值范围扩大为全体实数 R，从而导致所得的根 是原
12、方程的增2根。在例 3 中，原方程的取值范围为 且 ，变形后kx24x未知数的取值范围扩大为全体实数 R，从而导致所得的根 是原2k方程的增根；在例 4 中，因为对数的真数大于 0，故其未知数的取值范围为 ，而根据对数的单调性去掉对数符号后，未知的取值范围扩大为2x全体实数 R，从而导致所得的根 是原方程的增根。2x从上面的分析中，我们不难发现代数方程变形导致增根的原因是：变形后未知数的取值范围扩大了。1.6 增根的应用我们解代数方程时，在变形过程中可能会因未知数的范围扩大而产生增根，然而，我们常常只去担心增根会导致方程不能完全解对，殊不知，增根却有着其极大的潜在作用：当我们已知方程的增根时，
13、常可通过增根反解出原方程中的未知数字母的值。5例 5 若关于 x 的方程 有增根 ,求 a 的值。1323xa1x5 李小福 时代数学学习2004（4）8解：去分母整理得： 034)2(xa因为原方程有增根 ，1把 代入方程得，1x)(解得 a=3方程的增根虽然不适合原方程，但却适合变形后的整式方程，这也是求字母系数的方法。第二章 解方程中产生失根的几种方程2.1 整式方程的失根我们在解整式方程时，常会通过在方程的两边同时除以一个相同的代数式来化简方程，然而，在这过程中，很容易会失去原方程的根。6例 6 解方程 )1(32)(1xx解：方程两边同时除以 得解得 x这个题简单易解，解题过程似乎也
14、没有不对之处，可是，如果我们仔细观察一下原方程，就会发现 也是原方程的根，即我们在解方程过1x程中失去了根 。1x2.2 三角方程的失根在第二节中，我们知道，在解三角方程时，会因为变形中未知数的范围扩大而产生增根。其实，在解三角方程时，也很容易会使原方程失根。7例 7：解方程 1cosinx解：用代换 ， 。2tasix2tan2x6 陆秀朋 数学大世界（初中生数学辅导版） ，2000（1）7 邓念祖 数学教学1956（2）9方程可化为 02tan12x解得： kx)(k方程解到这里，似乎也该结束了，可是，我们把 代入也满kx足原方程，即我们在解方程过程中失去了原方程的根 。)(2.3 对数方
15、程的失根对于含形如的 对数方程，我们常把 的指数 n 提到对数nxfa)(log)(xf符号前面化简方程进行求解，在此过程中，是否会因为我们的考虑不周而失根呢？我们同样通过一个例子来验证一下。8例 8：解方程 2lx原方程变形为 g即1lx解得 0到此，我们的方程解完了吗？如果我们把 代入原方程，会发现10x也适合原方程，我们解方程过程中丢失了根 。10x2.4 产生失根的原因现在我们也通过上面的内容来分析解方程过程中导致失根的原因：在例 2 中，原方程的取值范围是全体实数 R，代换变形后在正切函数中， ，即 ，缩小了未知数 x 的取值范围，从而导致kxkx2原方程的根 丢失了。在例 3 中，
16、原方程的未知数的取值范围为，变形后，未知数的取值范围缩小为 ，从而导致原方程的根0x 0x丢失了。然而，在例 1 中，变形前后未知数的取值范围均为全体实1数，并未发生变化，只是在原方程的两边同时除以一个相同的含未知数的式子，同样也使原方程的根丢失了。从上面的分析中，我们看到，代数方程变形导致失根的原因有两种：8 数学学习与研究2010（15）10第一、方程两边同时除以一个相同的含未知数的式子而导致失根。第二、变形后未知数的取值范围缩小而导致失根。小结本文通过解各种形式的方程导致增根与失根的现象出发分析出代数方程变形导致增根与失根的原因。变形导致增根的原因是：变形后未知数的取值范围扩大了（不在定
17、义域范围内或在定义域内而没有解出根） ；变形导致失根的原因有两种：第一、方程两边同时除以一个含未知数的式子而导致失根。第二、变形后未知数的取值范围缩小而导致失根。参考文献1 周志刚时代数学学习2006（3）2 周志刚.时代数学学习.2006（11）3 朱伟卫数理天地2008（11）4 戴远伟数学学习与研究2010（15）5 李小福时代数学学习2004（4）6 陆秀朋数学大世界（初中生数学辅导版） ，2000（1）7 邓念祖数学教学1956（2）8 数学学习与研究2010（15）附：数学通报1989（11）数学通报1956（04）数学教学通报2002（S8）数学教学通迅1983（06）数学教学通迅1998（01） ；湖州师范学院学报1981（S1）;中学数学教学1992（05） ；中学生数学2002（10）11致谢在写作本文时，得到了辛斌老师的大力支持和帮助，使本文的内容得到充实，完善，也使文章的逻辑性增强，使本文在写作过程中能够顺利进行，在此，真心的感谢辛斌老师。同时也感谢四年来培育我的母校贵州师范大学。
