高考数学超强排查卷(下)2011届惠州一模.doc

1、 524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝1高考数学超强排查卷(下) 2011 届惠州一模三、解答题(本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，16(本小题满分 12 分)已知函数 .(2sincos2,fxxR(1)求函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合；) x(2)求函数 的单调增区间(fx16.【题型】三角化简求值、三角函数的图象与性质【审题】(1) 为辅助角公式 模型，sin2cosx2sincossin()abab依此化简，并注意到 及点 所在的象限可求得 ，从而得 的最大值与 的集tab(,)fxx合；(2)令 ，参考 的图象观察其单调性质可得 的增区间，再换

2、算为siyt siyt的范围可得 的单调增区间.x()fx【详解】解：(1) 4 分2sincos2xsin(2)4x当 ，即 时， 取得最大值 .24xk()8kZf2因此， 取得最大值的自变量 的集合是 .8 分f x,8xkZ(2) ，2sin()4fx由题意得 ，即 .2()kxkZ3()88kxk因此， 的单调增区间是 . 12 分f 3,8【易错警示】(1)辅助角模型公式不熟练难以找到解题入口， (2)易错求 的值而使全题皆错.【矫正建议】(1)三角公式的选用有很强的模型特征，如 为辅助角公式模型，sincosab、 为两角和与差的正(余) 弦公式模型， 、 为二倍角模型，sin(

3、)cos 2x2、 为诱导公式模型，熟练这些模型是快速找到解题入口的关键，22(2) 中的 极易求错，需认准 在前 在后，且sicsabsin()absincos524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝2前面的系数为 , 前面的系数为 ， 由比值 及点 所在的象限才能唯sinacosbtanb(,)a一确定.【超强排查】1、涉及考点、方法：辅助角公式，函数 的最值、图象、性质，公式法、si()yAxB数形结合.2、相关考点、方法：(1)涉及基本公式的化简求值：参阅第 6 题及其解析，(2)涉及诱导公式的化简求值：如本题中的 换为 ，()fx()2sini(2),fxxR(3)涉及二倍角公式的

4、化简求值：如本题中的 换为 cos1(4)涉及两角和差的正(余)弦公式的化简求值：如本题中的 换为()fx()in()4fx，cos2),4xR(5)涉及平面向量的平行、垂直、数量积的化简求值：如题目换为 (si,co),xa， ，(cs,)xb(21,fxxRab(6)涉及函数图象的平移与伸缩：将函数 的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得 siny ()fx的图象？（向左平移 个单位 ，横坐标缩短到原来的 倍4()4x12 ，sin()yx纵坐标伸长到原来的 倍 ，向上平移 2 个单位 ） ，2sin()yxsin()24yx(7)涉及函数 的对称轴、对称中心：求函数 的对称轴与对称中心，si

5、n()yAxB()fx(8)涉及解三角形问题：在 中， ， ，求角 ，C 53()2f1,2acA()6(9)涉及三角形的面积计算:在 中, , , ,AB ()f 3ABCS求角 ，A()6点评：熟悉三角基本公式、诱导公式、二倍角公式、两角和差的正(余) 弦公式、向量的平行、垂直、数量积、函数图象的平移与伸缩、对称轴、对称中心、单调性、正弦定理、余弦定理、524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝3三角形面积公式、勾股定理及熟记如 、 、 的三角函数值，是解决这类题的根本.30456补 充 粘 贴 17(本小题满分 12 分)已知关 的一元二次函数 ，设集合 , ，分x21fxab123P1

6、,234Q别从集合 和 中随机取一个数 和 得到数对 PQ,(1)列举出所有的数对 并求函数 有零点的概率；,byfx(2)求函数 在区间 上是增函数的概率.yfx117.【题型】古典概率问题【审题】(1)二次函数 有零点(注：隐含了 )，说明该函数的图象与21yfxab0a轴有交点，即 ，而 ， ，x2()40b 24a1,231,234b取定一个，再列另一个，如取 ，有 ，得 ，取 ，有 ，得,8，3,4b取 ，有 ，得 ；(2)由于 图象的开口方向向上， 在a214b(0)yfxayfx区间 上是增函数,说明其对称轴 在 1 的左边,即 ,有 ,再用上2b12bab面的方法列举得满足增函

7、数的种数,而取 ,有 ,取 ,有 ,34234取 ,有 ,共 15 种，于是得所求的概率.3a1,234b【详解】(1) 共有1,2,31,2,12,种情况 4 分,5函数 有零点， ，有 共 6 种情况yfx240ba,4,3,4满足条件 6 分524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝4所以函数 有零点的概率为 8 分yfx6215(2)函数 的对称轴为 在区间 上是增函数则有 ， ,bxa,12ba1,2,2341,3,3,4共 13 种情况满足条件 10 分所以函数 在区间 上是增函数的概率为 12 分yfx1,15【易错警示】(1)函数零点的概念不清，不能得到 ；(2) 对二次函数的

8、单调性也用导数求，24ba加大运算量而致错；(3)对 的列举存在重复或遗漏而致错 .(,)ab【矫正建议】(1)函数的零点即为函数 的图象与 交点的横坐标，如函数 的零()yfx 1yx点是 (而不是 )；(2)对于二次函数的单调性建议从函数图象的开口方向与对称轴的位置1x,0直接而得，别用导数计算；(3)当列举的情况较为复杂时，必需固定一个元素，再列举另一个元素，防止重复与遗漏.【超强排查】1、涉及考点、方法：二次函数的零点、二次函数的单调性、古典概率的计算，列举法、数形结合法.2、相关考点、方法：(1)函数的零点：函数 在 上连续，且 ， 在 上至少存在()fx,ab()0fab()fx,

9、ab1 个零点(若 在 为单调函数，则 在 上存在唯一 1 个零点)，如函数, x,的零点所在的区间是( )B.)lnfxA B C D(0,41,)21(,)2(,2)(2)二次函数 的图象与性质：)0fxabc开口方向向上型 ：对称轴为 ， 在 上递减，在 上(bxa()fx,)2ba(,)2ba递增，开口方向向下型 ：对称轴为 ， 在 上递增，在 上(0)a2()f,)(,)递减，二次函数 在 上为增函数，则实数 的取值范围是 .21yx,)a12(3)古典概率的求法，列举法524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝5CC1设全部事件的总数为 ，事件 发生的种数为 ，则事件 发生的概率

10、.mAnA()nPm(4)几何概率的求法，长度法、面积法、体积法与长度有关的几何概型概率： ,如，A、B 两盏路灯之间长度是 30 米，由于光线较()lP总暗，想在其间再随意安装两盏路灯 C、D，问 A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米的概率是. 13与面积有关的几何概型概率： ,如，在长为 1 的线段上任()ASP总取两点，则这两点之间的距离小于 的概率为 (提示：在线段上1234任取两点 A、B，对应的数为 ，则 ，满足题设的条件为 ，,xy01xy12xy即 ，如图， )， 123()4SPA阴总与体积有关的几何概型概率： ,如，如图，圆柱 内有AV总 1O一个三棱柱 ，

11、三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，1ABCAB 是圆 的直径，且 ，在圆柱 内随机选取一点，记该O11点取自于三棱柱 内的概率为 .当点 C 的在圆周上运动时，求 的最大值；pp1（将点 C 放于 的中点，求体积比）AB补 充 粘 贴 18(本小题满分 14 分)524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝6A BCDEFPG如图，在四棱锥 中，底面PABCDAB是边长为 的正方形， 、 分别为 、aEFP的中点，侧面 ，BD底 面且 .2PA(1)求证： 平面 ；EFPAD(2)求三棱锥 的体积.CB18.【题型】立几平行与垂直的证明、体积与面积的计算【审题】(1)底面 是边长为 的正方形，

12、F 是 BD 的中点，说明 ，且 F 是 ACaACBD的中点，E 是 PC 的中点，知 EF 是 的中位线，于是 ，证得 平面 ，PAC/EFPEPA也可以取 CD 的中点 G，通过证明平面 平面 来证明，更可以取 PD 的中点 M，AD 的/EGD中点 N，通过证明四边形 EFNM 为平行四边形来证明；(2)由 ，知2a为等腰三角形，取 AD 的中点 N，则有 ，又侧面 ，PADPAPABCD底 面且侧面，从而 ，说明 PN 可作为三棱锥 的高，又可BC底 面 BCD底 面 求得高 PN 与 ，进而得三棱锥 的体积.DS【详解】(1)证法 1(中位线法)：连结 ，则 是 的中点， 为 的中

13、点AFEPC故在 中， ， 3 分(一平行)PA/EF且 平面 PAD， 平面 PAD， (一内一外) 平面 PAD 6 分/证法 2(面/面法)：取 CD 的中点 G，由 E 为 PC 的中点，得 ，而 平面 PAD， 平面 PAD，/EGPDPD 平面 PAD，2 分又 F 是 BD 的中点，得 ，/FBC底面 ABCD 为正方形，有 ，得 ，A/FG平面 PAD， 平面 PAD，GD 平面 PAD，5 分/A BCDEFP524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝7A BCDEFPMN由 ，得平面 平面 ，而 平面 ，EGF/EFGPADEFG 平面 PAD；6 分/证法 3(平行四边形

14、法)：取 PD 的中点 M，AD 的中点 N，由 E 是 PC 的中点，得 ，12C A又 F 是 BD 的中点，得 ，NFB 底面 ABCD 为正方形，有 ，于是 ，4 分D AENF A四边形 MEFN 为平行四边形，于是 ，/M平面 PAD， 平面 PAD，MNEF 平面 PAD；6 分/(2)取 的中点 N,连结 , , 8 分ADPNADPNA又平面 平面 ，平面 平面 = ,BCBC, 10 分PN平 面14 分31133212CBDPCBDaVSN【易错警示】基本定理、方法总结不到位，产生思路不清晰，表达混乱的毛病.【矫正建议】理清线、面间平行与垂直证明的原理，以垂直为核心，多书

15、写，并与答案进行对比，找出不足并加以矫正.【超强排查】1、涉及考点、方法：“线 面” 、 “线 面”的证明，体积的计算，数形结合，推理论证./2、相关考点、方法：(1)“线 线”的证明方法：中位线法，线段成比例法，构造平行四边形法，线 面法，/ /(2)“线 面”的证明方法：线 线法，面 面法，/ /(3)“面 面”的证明方法：两次线 面法，两面垂直于同一直线(或两条平行直线)法，(4)“线 线”的证明方法：勾股定理逆定理法(用计算来证明)，线 面法，如本题，证明 ，CDPA(5)“线 面”的证明方法：两次线 线法，面 面，线 交线法，如本题，证明平面 ，(6)“面 面”的证明方法：线 面，线

16、在另一面上法，如本题，设 是 上的任一点，证 KPB524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝8明平面 平面 ，CDKPA(7)体积的求法：以寻高为核心，先证明线 面，说明高，再求高与底面积，有时需要变换底面.补 充 粘 贴 19(本小题满分 14 分)已知函数 32().fxaxR(1)若 ，点 P 为曲线 上的一个动点，求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的1ayf切线方程；(2)若函数 上为单调增函数，试求满足条件的最大整数 a()0,)yfx在19.【题型】函数与不等式综合题【审题】(1) ， 确定为 ，切线的斜率 为二次函数，1a()fx32()fxx()kfx用配方法得 的最小值

17、，也得到了切点 P 的坐标，由点斜式求得了切线方程；(2)函数k上为单调增函数 在 上恒成立，分离系数得 或()0,)yfx在 ()0f(,)()ag，再求 或 即得 的取值范围.agmin(ax()g【详解】(1)设切线的斜率为 k，则 2 分22()43(1)fxx又 ，所以所求切线的方程为： 5 分5(1)3f513y即 6 分20.xy(2)方法 1(变量分离法): ，要使 为单调增函数，必须满足2()4fxax()yfx(fx即对任意的 8 分0,)()0fx恒 有2()43fxax 11 分524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝9xyO 图 1xyO图 2而 ，当且仅当 时，等

18、号成立，所以3624x62x62a所求满足条件的 a 值为 1 14 分方法 2(数形结合法)： ，要使 为单调增函数，必须满足2()43fa()yfx(0fx即对任意的 8 分,)()0fx恒 有即 ，令 ，在 上，恒有 ，得2()43fxax243gax(0,)()0gx(图 1)或 (图 2)，12 分20()0a0) 或 ，即 ，13 分6a62满足条件的最大整数 a 为 1.14 分【易错警示】同学们对函数解答题有一种恐惧心理，认为一定是解决不了的，万没想到解决这类问题也有很强的规律性，它只是将一些常用的方法综合在一起罢了，只要顺着题意走，就能解决问题.【矫正建议】要解开心结，得从认

19、识上解放出来，从一开始就认定问题是可以解决的，只是时间的问题.【超强排查】1、涉及考点、方法：导数的几何意义、导数与函数的单调性、基本不等式，数形结合法、变量分离法.2、相关考点、方法：(1)曲线切线的求法与应用：一抓切点(未知时需要设为 )；二抓斜率 ，0(,Pxy0()kfx三用点斜式求切线方程，如，已点 在直线 上，点 在曲线 上，则1yQlny的最小值为 ，(提示：将直线 平移到与曲线 相切，求得切点PQ2xlx，再求切点到直线 的距离即可)，(1,0)1yx(2)导数与函数的单调性：函数单调区间的求法：(i)求 ，(ii)令 解得 的增区间(注：若有多个增区f()0fx)fx间，需用

20、“， ”隔开，减区间的同样)，令 解得 的减区间，含有参数的，需要分类讨论(二次函数的用数形结合或变量分离法)，如求函数 的增区间(答案：)ayxR524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝10时， ； 时， )，0aR0a(,)(,a知单调区间求参数取值范围：(i) 在区间 上单调递增 在区间 上恒成立，fxU()0fxU且 不恒成立，(ii) 在区间 上单调递减 在区间 上恒成立，且0fx()f ()f不恒成立，()(3)导数与函数的极值：(i)由 求可能的极值点，(ii)由 与 考虑0fx()0fx()fx的单调性(注：有时可以直接给出，如 )，(iii)由单调性判断并计算出fx 321

21、yx极值 、 (注：若求的是极值点，则只需求出 )，1)2()fx 12,x(4)导数与函数的最值：(i)用(3)中的方法求出所有的极值，(ii)求端点值，(iii)比较极值与端点值得最值，(5)参数问题范围的常用求法：变量分离法：本题的解法 1，数形结合法：本题的解法 2，反客为主法：如已知函数 ，当 时， 恒成交，求 的取2()fxa1,()0fxx值范围，(答案 ，提示：将 变形为 ，令15(,)()f 21)fa，变成了关于 的一次函数，分类讨论，当 时，2),gaxaax成立，当 时， ， 成立，当(101x02min()(1)0g时， ， ，解得 或 ，x2min()()0gax5

22、x152x又，有 或 ，要使在 上的任意 ， 成立，152152xx1,a()0fx必须 或 )，x分类讨论法：如上面的求 的范围时就用到了分类讨论法，x524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝11判别式“ ”法：如函数 在 上 恒成立，求实数 的取值范围，(答案2yxaR0ya，提示：由 得)，0,4240a换元法：如已知函数 在 上 恒成立，求 的取值范围，2(sinifxx()fx(答案 ，提示：令 ，有 ，数形结合，,)t2(),1,gtat由 或 或 得)，min12()()0agt2140amin()(0tg基本不等式法：本题解法 1.补 充 粘 贴 20. (本小题满分 14

23、分)在直角坐标系中，以 为圆心的圆与直线 相切(1,0)M30xy(1)求圆 的方程；(2)已知 、 ，圆内动点 满足 ，求 的取值范(,0)A(2,)BP2|ABPOAB围20.【题型】直线、圆、圆锥曲线问题【审题】(1)圆 M 的圆已知，只求得半径即可，而由圆与直线 知圆心 M 到该直线30xy的距离 ，得到 ，(2)由于 A、B、O 均为定点，而点 P 为动点，若设02AxByCdr524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝12，(,)Pxy代入 整理可得点 P 满足的条件，在此条件下再求 的范围即可.2|ABPO PAB【详解】(1)依题意，圆 的半径等于圆心 到直线 的距离，M(1,

24、0)30xy即 4 分|13|2r圆 的方程为 6 分2()4xy(2)设 ，由 ，()Py， 2|APBO得 ，即 9 分22()xxyx2xy点 P 的范围是位于圆 M 内的一段双曲线，由 解得 或 (舍去)，2(1)4yx12x12x 的取值范围是 ，(,11 分2222)4()46PABxyxyxxA， ，由 ，得 ， ，(1,x2,36, 的取值范围为 14 分4)【易错警示】若不注意数形结合，第(2)问易出现如下两种错解：错解 1：由点 P 在圆 M 内，得 ，有 ，2(1)4xy22(1)4xy ，即 ，得 ， 2x309，222()(2)()6AByxyxxA， ，又得 ，26

25、,1x 的取值范围为 ，P6,)错解 2： ，22(2()4(1)ABxyyxyA， ，点在圆 内， ，M21)403的取值范围为 ,6524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝13【矫正建议】解答圆锥曲线问题建议尽可能地画出其图形，做到以图代算、对称而算，从而达到降低运算量、提高解题效率的效果.【超强排查】1、涉及考点、方法：直线与圆的位置关系，圆与圆锥曲线的位置关系，方程(组) 法，2、相关考点、方法：(1)直线方程的求法：知点 与斜率 用点斜式： ，0(,)Pxyk00()ykx知两点 用点斜式： ，12,(,)AB211(yx知斜率 与 轴上的截距 用斜截式： ，kybykxb知在 轴

26、上的截距 与 轴上的截距 用截距： ，xa1ya知与 轴或 轴垂直的直线数形结合直接写出： 或 ，yx(2)两直线 、 平行与垂直：11:lkxb22:lykxb ，且 (注： 时， 与 重合，若要求平行，需排除) ，22/l11l2 (注：若知两直线互相垂直，及 ，可据此求 )，11kAk2k(3)与距离相关的公式：两点 间的距离： ，12(,)(,)xyB2211()()dxy点 到直线 的距离： ，0, 0AyC02ABC两平行直线 、 间的距离： ，11:lxB22:lxy21dAB(4)直线与圆的位置关系：相离： ，考虑圆周上一点到直线的最大距离( )与最小距离( )，drdrr相切

27、： ，(i)求切线方程， (ii)求圆的方程，相交： ，(i)求弦方程， (ii)求弦长 ，r2ABr(5)直线与圆锥曲线的位置关系：没有交点：方程组 没有实根(消去 或 后， )；lCxy0524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝14只有一个交点：方程组 有相等实根(消去 或 后， )；lCxy0只两个交点：方程组 有不相等实根(消去 或 后， )；l (6)圆与圆锥曲线的位置关系：没有交点：方程组 没有实根(消去 或 后， )；lCxy0只有一个交点：方程组 有相等实根(消去 或 后， )；l 有两个或两个以上交点：方程组 有不相等实根(消去 或 后， )；lCxy0点评：数形结合与方程

28、(组)法是解决这类问题的核心方法.补 充 粘 贴 21(本小题满分 14 分)已知 ( 为常数， 且 )，设 是首logmfx01m12(),()nfafaN项为 4，公差为 2 的等差数列.(1)求证：数列 是等比数列；na(2)若 ，记数列 的前 n 项和为 ，当 时，求 ；()nbfbnS2nS(3)若 ，问是否存在实数 ，使得 中每一项恒小于它后面的项？lgncmc若存在，求出实数 的取值范围.21.【题型】函数、数列与不等式问题524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝15【审题】(1)由题意可先求得 ，再转换为 ，然后用定义证明 是等比数列；()nfana na(2)由于 与 均求

29、得，于是 求得，将 代入，观察其模型，采用相应的求和方法na()nfb2m求 ；(3)由 代入可求得 ，要使 中每一项恒小于它后面的项，需考虑 ，分离Sncn 1nc变量后转化为恒成立问题解答.【详解】(1)由题意 即 2()42(1)2,nfalog2,mna2nam分 ， 且 ， 为非零常数，2(1)21nnam02数列a n是以 为首项， 为公比的等比数列 4 分42(2)由题意 ，22()log()nnnmbaf当 12()nm时 ， 6 分34522nnS式乘以 2，得 7 分62334(1)nnnS并整理，得 534232()nn3 31()nn3312()nn 10 分32n(3

30、)由题意 ，要使 对一切 成立，2lg()lgnnncam1nc2n即 对一切 成立，2lg(1)m当 时，有 ，则 成立； 12 分l02(1)对当 时，有 ，则 ，0gnm 对一切 成立，只需 ，21mn2n21524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝16解得 ，考虑到 ， . 63m01m603综上，当 或 时，数列 中每一项恒小于它后面的项14 分0nc【易错警示】(1)由于计算失误，易算错 ；(2) 对于 不能用分类讨论进nS2lg(1)lgmn行有效的处理而致错.【矫正建议】数列求和的方法具有很强的模型(错位相减型、裂项相消型、倒序相加型) ，建议熟练掌握，将恒成立问题转化为最值

31、是常用的方法，需要注意.【超强排查】1、涉及考点、方法：对数运算、等比数列的证明、错位相减求和法、分类讨论法，2、相关考点、方法：(1)基本数列(等差数列、等比数列)通项的求法：公式法，(2)递推数列通项的求法： 与 法：当 时， ，当 时， ，naS11aS 2n1nnaS在数列 中， ，则 ，n11,2n2,3nnA累加法：出现 型可用，如在数列 中， ， ，1()nafna11na则 ，()2n累积法：出现 型可用，如在数列 中， ， ，1()nnaf na11(2)na则 ，n差消法：如 ，则 ，2113()3naaN 3n转化为基本数列法：(i)作差转化法：如在数列 中， ，则 ，n(,0nnSa)21n(ii)作商转化法：如在数列 中， ， ，则 ，a112A(iii)待定系数转化法：如在数列 中， ， ，则 ，n 1nn(iv)按提示转化法：如在数列 中， ， ，设 ，求证数列1143anba是等比数列，并求 ，( )，nbnn524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝17(3)数列求和法：分组求和法：如在数列 中， ，则 ，na2n12nS裂项相消法：(i) ， (ii) ，1()1()kk(iii) ， (iv) ，2()2nn 11nn(v) ，1)kk错位相减型，如本题第(2)问.补 充 粘 贴