1、12019届石家庄高三一模数学试题（理科）2345石家庄2019届高中毕业班模拟考试（一）理科数学答案1、选择题1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB二、填空题13. 1 14. 或 12yx12yx15. 16. 102三、解答题17. 解: （1） ABC三内角A、B、C依次成等差数列，B=60设A、B、C所对的边分别为 、 、 ,由 = 可得 .2分abc3S1sin2acB12cABC中，由余弦定理可得 ，b= .22o87即 的长为 6分7（2）BD是AC边上的中线， 8分1()2BDCA = =21()4BDCA2cos)4aB21()4ac，当且仅当 时取“=”
2、10分)9acc ,即BD长的最小值为3. 12分318. 解：（1）证明：在 中， ， ， ，由余弦定理可得PBC60o2BC4P， 23PC， ，2分2B，,ACB又， ， .4分PC又PA又PCAB又（2）法1：在平面 中，过点 作 ，以 所在的直线分别为M,轴建立空间直角坐标系 如图所示：zyx, Cxyz66分(0,)(,23),(0,)(1,3)CPAB(1,03)F，设平面 的一个法向量为Bxyzm则 解得 ， ，1230xyPz13110z即 8分(,)m设平面 的一个法向量为BCF2(,)xyzn则 230xyzn解得 ， ， 即 10分2212(3,1)n205cos, A
3、mn由图可知二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 。12分PBCFPBCF25法2：由（1）可知平面 平面 ，A所以二面角 的余弦值就是二面角 的正弦值，6分作 于点 ，则 平面 ，FMAM作 于点 ，连接 ，则NBFNB为二面角 的平面角；8分C点 为 中点， 点 为 中点，P在 中， ， ，RtF132P210分152N,所以二面角 的余弦值为 。12分5sinFMPBCF2519. 解答：根据题意可得PABCzxyMFPABCFMN71(30)5231()04127355(4)210(36)PPP部分对给2分，全对给4分的分布列如下：30 31 32 33 34 35 36p 1253
4、147251025105分6()301323362.821Ex分（2）当购进32份时，利润为 144804607.5.945.52528分当购进33份时，利润为 91313432483460427.83012.968412.61025510分125.6124.68可见，当购进32份时，利润更高！12分20. 解：（1） 由抛物线定义,得 ，由题意得：02pPFx82分024px解得 021px所以，抛物线的方程为 4分24yx（2）由题意知，过 引圆 的切线斜率存在，设切线 的P223(0)yrPA方程为 ，则圆心 到切线 的距离 ，整理得，1()ykxMPA12kdr.221(4)840rr
5、设切线 的方程为 ,同理可得 .PB2(1)ykx22(4)840rkr所以， 是方程 的两根， .12,k280rr1212,k6分设 ，1(,)Axy2(,)由 得， ，由韦达定理知， ，所以24k211480kyk11842ky，同理可得 . 8分11 2yk214y设点 的横坐标为 ，则D0x0=1+22 =21+228 =(422)2+(412)2810分2112112()()()()3kkkk设 ，则 ，2t 4,tr所以， ，对称轴 ，所以 12分03x2t097x21.解：（1） 21(1)(),axf（ ）9当 时，即 时， ，函数 在 上单调递增，无极小值；10a1a()0
6、fx)(xf0,)2分当 时，即 时， ，函数 在 上单调递(),1fa)(xf0,1)a减；，函数 在 上单调递增()0,fx)(f,)； ()=(1)ln(1)ffaa极 小综上所述，当 时， 无极小值；1ax当 时， 4分()l()f极 小（2）令 1sin2lnsi1()ln ,(0)axxaFxfgx x当 时，要证： ，即证 ,即证 ，1a)(f()0Fli法1：要证 ，即证 .lnsi10xxlsin1xax当 时，0令 ， ，所以 在 单调递增，()sih()cosh()h0,)故 ，即 . 6分xinx7分1sina（ ）令 ， ，()lq()=lq当 ， 在 单调递减； ，
7、 在0,()xx0,1(1,)(0qxx()单调递增，故 ，即 .当且仅当 时取等号(1,)()ln又 ，1alnxax（ ）由 、 可知 （ ） （ ） 1si1x所以当 时， 9分0lsi当 时，即证 . 令 ， ， 在=anx()=lnm()l1x()m上单调递减，在 上单调递增， ，故1(0,)e1(,)eixelnx10.10分当 时，10a当 时， ，由知 ，而 ，,x（ sin1x1()lnmxe故 ； lsin1a11分当 时， ，由知 ，1,x（ ） si0x()ln(1)0x故 ；lnsi1a所以，当 时， .0,（ ） 综上可知，当 时， . 1)(xgf12分法2： 当
8、 时，下证 ，即证 . alnsi10alnsi1xax5分 当 时，易知 ， ，故 ； 1xl0xixlsi06分当 时， 显然成立，故 ； 0sin1an1ax7分当 时， ，故 ，xxsiisx令 ， ，所以 在 单调递增，()sinh()co0h()h0,)故 ，即 .，故 ； 0sinsia9分只需证 ， ，当 ， 在 单调()l10qxx()=lqx(0,1)xqx()0,1递减，故 ，故 ； (lnsia11分综上可知，当 时， . 12分1)(xgf法3：易知sin()lfxgxa要证 ，即证 filx6分令 ，则 ，故 8分1()lnx 21()xmin()(1)x11令 ，
9、 ，故 在 上递减()sinhx()cos10hx()hx0+（ ， ）由 ，从而当 时 ，故 10分00insin1由 ，故 11分1asi1x综上，当 时， 12分()fg22.（）曲线C的普通方程为： , 2分(2)2+2=2令 ， 3分=,=化简得 ； 5分24+42=0（）解法1：把 6分=3代入曲 线 的极坐 标 方程中，得 22+42=0令 ， 7分=44(42)0 30 1|+1|=11+12=1+212 = 2428分， 30 30,20 1|+1|=11+12=1+212 = 2428分， 324 042110分 1|+1|(2,+)23.（）不等式可化为1分31+3112或 2分31131或 3分1131解得 32的解集为 5分()1 32（）6分方法1： |1|+3|1+3|=4， =4 +2=4 (+2)+2=62+2+1=16（ 2+2+1）（+2+2）=16(4+4+2+2 )8分16(4+2 4+2+2 )=43当且仅当 时，即 时，取“=”， +2=2=3 =1=32的最小值为 10分2+1 43方法2： 6分|1|+3|1+3|=4， =4 +2=4 =42 (0,2)2+2+1= 262+1=2+62(62) = 332= 3(32)2+948分当 时， 取得最小值为 10分(0,2)， =32 2+2+1 43
