1、平面向量的基本定理及坐标表示编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【要点梳理】要点一：平面向量基本定理1平面向量基本定理如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量 ，有且只有2,e a一对实数 ，使 ，称 为 的线性组合.112ae12e12,e其中 叫做表示这一平面内所有向量的基底；2,e平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 的方向分解为两个向量的和，并且这种12,e分解是唯一的.这说明如果 且 ，那么 .1
2、2ae12a12当基底 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量2,基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使
3、其他向量能够用基底来表示选择了不共线的两个向量 、 ，平面上的任何一个向量 都可以用 、 唯一表示为 = +1e2 a1e2a1e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有 、 的代数运算2e要点二：向量的夹角已知两个非零向量 a与 b，在平面上任取一点 O，作 a， b，则AB叫做 a与 b的夹角，记为a，b 当向量 a与 b不共线时，a00(18)AOB与 b的夹角 ；当向量 a与 b共线时，若同向，则 ；若反向，则,0，综上可知向量 a与 b的夹角 0180,18当向量 a与 b的夹角是 ，就说 a与 b垂直，记作 a b90 要点诠释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何
4、向量不能谈夹角问题（2）向量 a b是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直要点三：平面向量的坐标表示1正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解要点诠释：如果基底的两个基向量 e1、e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式2平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、xyi作为基底，对于平面上的一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对j a实数 ，使得 =x +y .这样，平面内的任一向量 都可由 唯一确定，我,xyaij a
5、,xy们把有序数对 叫做向量 的（直角）坐标，记作 = ，x 叫做 在 x轴(,)()a上的坐标，y 叫做 在 y轴上的坐标把 = 叫做向量的坐标表示给出了平面向量的(,)xy直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且 ，其中 2abx12y12(,)(,)axyb（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同比如，若 ， ，则 ；若 ， ，则(,3)A(5,8
6、)B(3,5)A(4,3)C(1,8)D， ，显然 A、B、C、D 四点坐标各不相同(3,5)CD（3） 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个xy向量要点四：平面向量的坐标运算1平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运 算 坐标语言加法与减法 记 =(x1，y 1)， =(x2，y 2)OAB=(x1+x2，y 1+y2)， =(x2-x1，y 2-y1)OABOBA实数与向量的乘积 记 =(x，y)，则 =( x， y)aa2如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算在求一个向量时，
7、可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示1平面向量平行(共线)的坐标表示
8、设非零向量 ，则 (x1，y 1)= (x2，y 2)，即 ，12,abxyab12xy或 x1y2-x2y1=0.要点诠释：若 ，则 不能表示成 因为分母有可能为 0.12,abxyab,21yx2.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知=(x2-x1， y2-y1)， =(x3-x1，y 3-y1)，123(,)(,)(,)AxyBCxyABAC若 则 A，B，C 三点共线.2311)0,【典型例题】类型一：平面向量基本定理【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算 394885 例 1】例 1如图，在 中， ， 是 中点，线段ABC:2O
9、aBbEA又 FOA与 交于点 ，试用基底 表示：OEFG,（1 ） ；（2） ；（3） .【解析】（1） OEB= 13bA= ()= a= 123b（2） =BFO12Aab（3）在 中，取E3MNB/1|2FO同理： /GE|M是 的中点BF1()2O= =ba142b【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合举一反三：【变式 1】ABC 中，BD=DC，AE=2EC，求 .,AGBDE【思路点拨】选取 ， 作为基底，构造 在此基底下的两种不同的表达形式.再ABC根据相同基底的系数对应相等
10、得实数方程组求解.【解析】设 ,GmDE,1()2BDAC又 ()GAG B A CED G()121)AGDABC又 BmEmEG，而 3C2AGA13()Bm比较，由平面向量基本定理得： )1(2)1(3m解得： 或 （舍） ，把 代入 得：32m1()4.,4GEBDA例 2如图，在OAB 中， ， ，AD 与 BC 交于点 M，设 ，4OCA12DOB OAa，试以 a，b 为基底表示 OM【思路点拨】直接利用 、 表示 比较困难，可以先设 ，再根据三abOMOMmanb点共线的知识寻找出 的两个方程，联立方程组，解之即得,mn【解析】设 （m，nR） ，则 O (1)A，1122AD
11、babA、M 、D 三点共线， ，AMD1()2anb ，即 m+2n=1 12mn而 ， ，14CMOmanb14CBObabC 、M、B 三点共线， ，14mn ，即 4m+n=1 14mn由 ，解得 ， 214nm173137OMab【总结升华】 （1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；（2）用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握举一反三：【变式 1】如图所示，在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且 ，BN 与 CM 相12ANC交于点 E，设 ， ，试用基底 a，b 表示向量 ABaCb E【解析】易得 ， ，由
12、N、E、B 三点共线知存在实数 m，满13ANb12MAa足()()EmBm由 C、E、M 三点共线知存在实数 n，满足 1()()2AnACab所以 13ba即 ，解得 ，即 12mn354215AEab类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例 3设 、 、 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点OABPA、 B、P 共线，当且仅当存在实数 m、n 使 m+n=1 且 OPmAnB【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A、B、P 共线 m+n=1，且成立；（2 ）上述条件成立 A、B、P 三点共线mn【证明】 （1）由三点共线 m、n 满足的条件若 A、B、P 三点共线，则 与
13、共线，由向量共线的条件知存在实数 使AP ，即 ， ()OB(1)OB令 ，n= ，则 且 m+n=11mn（2 ）由 m、n 满足 m+n=1 A、B、P 三点共线若 且 m+n=1，则 P (1)m则 ，即 ()OBO 与 共线，A、B 、 P 三点共线由（1） （2 ）可知，原命题是成立的【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一举一反三：【变式 1】设 e1，e 2 是平面内的一组基底，如果 ， ，124ABe12Ce，求证：A，C，D 三点共线269【解析】 因为 ，所以 与121212(4)()3BeeD A共线类型三：平面向量的坐
14、标运算例 4已知 ，且 求 M、N 及 的(2,4)(3,1(,4)ABC3,2,MCAB坐标.【思路点拨】根据题意可设出点 C、D 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.【解析】 (2,4)(3,1(,4)(1,8)(6,3).24(12,6).CABMCNB设 ，则(,)xy(,34xy30,2).42,M同理可求 ，因此(9)N(9,18.0,)M【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.
15、举一反三：【变式 1】 已知点 以及 求点 C，D 的坐标和)8,2(,1BA11,33ACBDA的坐标.CD【解析】设点 C、D 的坐标分别为 ，12(,),xy由题意得 1 2(,2),3,6(1,),(3,6).AxyABDxyBA因为 ，3B所以有 和 ，解得 和1,2xy21,xy10,4xy2,所以点 C、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而 (,4).CD类型四：平面向量平行的坐标表示例 5. 平面内给定三个向量 (3,2)(1,)(,)abc(1)若 求实数 k；()/(2),akcb(2)设 满足 且 求 .,dxy/()dc|,dc【思路点拨】(1)由两向量平行的
16、条件得出关于 k的方程，从而求出实数 k的值；(2)由两向量平行及得出关于 x，y 的两个方程，解方程即可得出 x，y 的值，从而求出 .d【解析】(1)()/(2),akcba(34,2),(5,2)2)5(016.akckba又(2) (4,1)(2,4)dcxyab又 且()/ab|dc224()0,()155,4,5252(4,)4,xyxyyd解 得 或 或 （ ） .【总结升华】(1)与平行有关的问题，一般可以考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解；(2)向量共线定理的坐标表示提供了代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.举一反三：【变
17、式 1】向量 ， ， ，当 k 为何值时，A、B、C(,12)PAk(4,5)B(10,)PC三点共线？【解析】 ，(,),(,7)Bk(,12)012CkA、B、C 三点共线， ，即(k4)(12 k)(k10)7=0 /AC整理，得 k29k22=0解得 k1=2 或 k2=11当 k=2 或 11 时，A、B、C 三点共线【总结升华】以上方法是用了 A、B、C 三点共线即公共点的两个向量 ， 共线，BAC本题还可以利用 A、B 、C 三点共线 或 ，即得6(1)1Pk 2k=2 或 11 时，A 、B、C 三点共线【变式 2】已知向量 a=（1，2） ，b= （1，0） ，c= （3，4
18、 ） 若 为实数， （a+ b）c，则 =（ ）A B C1 D2142【答案】B【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算 394885 例 4】例 6如图，已知点 A（4 ，0 ） ，B（4，4） ，C（2 ，6） ，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标【解析】方法一：由 O、P 、B 三点共线，可设 ，(4,)OPB则 (4,)AP，26C由 与 共线得(4 4)64 (2)=0，解得 ， 34所以 所以 P 点坐标为（3，3 ） 3(,)4OPB方法二：设 P（ x，y） ，则 ，(,)Oxy因为 ，且 与 共线，所以 ，即 x=y(,) 4y又 ， ，且 与 共线，则得(x4)6y (
19、2)=0，4,Axy(2,6)ACAPC解得 x=y=3，所以 P 点坐标为（ 3，3） 【总结升华】 （1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算（2 ）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等举一反三：【变式 1】如图，已知 A（4，5） ，B（1，2 ） ，C（12 ，1 ） ，D（11，6） ，求 AC 与 BD 的交点 P 的坐标【解析】设 (1,62)(10,4)BPD ，(1,)CB (01,4)P又 ，而 与 共线，(8,4)APCA4(10 11)+8(4 +1)=0，解之，得 设点 P 的坐标为（ xP，y P） ，12 ，(5,),2)BPxy ，即 12Pxy64P故点 P 的坐标为（ 6，4） 【总结升华】利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法：（1 ）设线段 AC、BD 交于点 P（x，y ） ，并以 AC、BD 为对角线作四边形 ABCD；（2 ）在四边形中寻找向量的相等或共线关系；（3 ）利用向量的坐标表示这些关系，将问题转化为方程（组）问题；（4 ）解这个方程（组） ，可得到问题的答案
