1、第 1 页绝密启用前 试题类型：A2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2|430Ax， |230Bx，则 AB（ ）（A）(3,)（B）(,)（C）(1,)（D）3(,)2（2）设 1iixy，其中 x，y 是实数，则 i=xy（ ）（A）1 （B） 2（C） 3（D）2（3）已知等差数列 na前 9 项的和为 27， 108a，则 10（ ）（A）100 （B） 99 （C）98 （D）97（4）某公司的班车在 7:00， 8:00，8:30 发车，小明在 7:50
2、 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）13 12 23 34（5）已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ ）x2m2+n y2m2 n（A）(1,3) （B） (1, ) （C）(0,3) （D）(0, )3 3（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ，283则它的表面积是（ ）（A）17 （B） 18 （C）20 （D）28（7）函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为（ ）（A） （B）
3、（C） （D ）第 2 页（8）若 10abc， ，则（ ）（A） c（B） cab（C） loglbaac（D） loglabc（9）执行右面的程序图，如果输入的 01xyn， ， ，则输出 x，y 的值满足（ ）（A） 2（B） 3yx（C） 4（D） 5yx（10）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的标准线于 D、E 两点.已知|AB|= 42，|DE|=2，则 C 的焦点到准线的距离为（ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)8（11）平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A，a/平面 CB1D1， a平面 ABCD=m， a平面ABA1B
4、1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（ ）(A) 32(B) 2(C) 3(D) 13（12）已知函数 ()sin)(0),24fx+x， 为 ()fx的零点, 4为 ()yfx图像的对称轴,且 ()fx在 51836， 单调，则 的最大值为（ ）（A）11 （B） 9 （C）7 （D）5二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）设向量 a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b| 2=|a|2+|b|2，则 m=_.（14） 5(2)x的展开式中，x 3的系数是_.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足 a1+a3=10，a 2+a4=5，则 a1a2an的最大值为_.（16）
5、某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，第 3 页乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg，乙材料90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元_.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本题满分为 12 分）ABC的内角 A，B ，C 的对边分别别为 a，b，c，已知 2cos(co
6、s).Ca+bA（I）求 C；（II）若 7,c的面积为 32，求 AB的周长（18） （本题满分为 12 分）如图，在已 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD， 90AFD，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60（I）证明平面 ABEF 平面 EFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值第 4 页（19） （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决
7、策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.（I）求 X的分布列；（II）若要求 ()0.5P，确定 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19n与 20之中选其一，应选用哪个？第 5 页（20） （本小题满分 12 分）设圆 2150xy的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交圆
8、A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明 AB为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M, N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P, Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .（21） （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.（I）求 a 的取值范围；（II）设 x1，x 2是的两个零点，证明：x 1+x21 的解集。第 7 页参考版解析1 243013Axx， 32302Bxx故 2B故选 D2 由 1ixyi可知： 1xiyi，故
9、 1xy，解得： 1xy所以， 2i故选 B3 由等差数列性质可知： 1959297aaS，故 53a，而 108a，因此公差 05d 98故选 C4 如图所示，画出时间轴： 8:208:107:507:40 8:308:07:30 BACD小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB中，而当他的到达时间落在线段 AC或 DB时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟根据几何概型，所求概率 1042P故选 B52213xymn表示双曲线，则 2230mn 22由双曲线性质知： 2224cn，其中 c是半焦距第 8 页焦距 24cm，解得 1 13n故选 A6 原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角
10、的 18后的三视图表面积是 78的球面面积和三个扇形面积之和 221=4+3=7S故选 A7 228.80fe，排除 A.71f，排除 B0x时， 2xfe4xfe，当 10,4时， 014fxe因此 f在 1,4单调递减，排除 C故选 D8 对 A： 由于 01c，函数 cyx在 R上单调递增，因此 1cab，A 错误对 B： 由于 ，函数 1c在 ,上单调递减， 1ccabbab，B 错误对 C： 要比较 log和 l，只需比较 ln和 lca，只需比较 lncb和 la，只需 lnb和 la构造函数 ln1fx，则 l10fx， fx在 1,上单调递增，因此0ll0lnlfafbabab
11、又由 1c得 ln， oglllabcc，C 正确对 D： 要比较 loga和 lb，只需比较 ln和 lb第 9 页而函数 lnyx在 1,上单调递增，故 11ln0lnababab又由 0c得 l0， lnloglabcc，D 错误故选 C9 如下表：循环节运行次数12nxyn判断236xy是否输出1n运行前 0 1 / / 1第一次 否 否 2第二次 122否 否 3第三次 36是 是输出 32x， 6y，满足 4yx故选 C10 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为 2ypx0，设圆的方程为 22xyr，题目条件翻译如图：设 0,2Ax， ,52pD，点 0,在抛物线
12、yx上， 082px点 ,52p在圆 22r上， 25rF第 10 页点 0,2Ax在圆 22xyr上， 2208xr联立解得： 4p，焦点到准线的距离为 4p故选 B11 如图所示： AA1BB1DCC1D1 1C 平 面 ，若设平面 1D平面 1ABCm，则 1又平面 D平面 1AC，结合平面 1平面 1DB 1Bm ，故 同理可得： 1n故 、 的所成角的大小与 1BD、 1C所成角的大小相等，即 1CDB的大小而 11BCD（均为面对交线） ，因此 13B，即 3sin2故选 A12 由题意知： 12+ 4 k则 k，其中 kZ()fx在 5,1836单调， 5,123618T接下来用
13、排除法若 1,4，此时 ()sin14fx， ()fx在 3,184递增，在 35,46递减，不满足 ()fx在第 11 页5,1836单调若 9,4，此时 ()sin94fx，满足 ()fx在 5,1836单调递减故选 B13 由已知得： 1,3abm 222221，解得 2m14 设展开式的第 1k项为 1kT， 0,234,5 551C2CkkTxx当 53时， 4，即4453210Tx故答案为 1015由于 na是等比数列，设 1naq，其中 1a是首项， q是公比21313240055，解得：82故na， 2117493.472121. nnnna 当 3n或 4时， 749取到最小
14、值 6，此时21749n取到最大值 62所以 12.na的最大值为 6416 设生产 A 产品 x件，B 产品 y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为第 12 页目标函数 2109zxy作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 (60,1)(,20,)(9,在 (60,1)处取得最大值， 2109z17 2coscosCaBbA由正弦定理得： 2incsincosinBAC2cosinsC AB， 0A、 、 ， sinsin 2co1C， c2 0， 3 由余弦定理得： 22coscabC217ab3713sin242SabCab 6 21875ab ABC
15、 周长为 57abc第 13 页18 ABEF为正方形 90D AF =E 面 CAF面 B平面 E平面 FD 由知： 60C ABEF平面 D平面 AB 平面 C平面面 D面 EF AB C四边形 EF为等腰梯形以 为原点，如图建立坐标系，设 FDa002Ba， ， ， ，30202CAa， ， ， ，E， ， a， ， B， ，设面 BC法向量为 mxyz， ， .0mE，即1120302axyaz1113xyz， ， m， ，第 14 页设面 ABC法向量为 22nxyz， ，=0n.即 22300aax22234xyz， ， 34n， ，设二面角 EBCA的大小为 . 219cos31
16、6mn二面角 EBA的余弦值为 1919 每台机器更换的易损零件数为 8，9，10，11记事件 i为第一台机器 3 年内换掉 7i个零件 1,234i记事件 iB为第二台机器 3 年内换掉 个零件由题知 141340.PAPABPB， 220.4PAB设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X，则 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22160.2.4X1702.40.216PAPB132318 .02.40.2PAB 432419 4.X P 0.24.243420204.20.PAPB310. 8x 40.2X16 17 18 19 20 21 22P.4.160.4
17、.20.80.4 要令 0.5Pxn ， 5， .16.25则 的最小值为 19 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用第 15 页当 19n时，费用的期望为 19205.210.8150.40当 20时，费用的期望为所以应选用20 圆 A 整理为 216xy，A 坐标 1,0，如图，BEC，则 EBD ，由 ,则 ，D ，则 4AEBA所以 E 的轨迹为一个椭圆，方程为213xy，( 0)；21:43xyC；设 :1lxmy，因为 PQl ，设 ，联立 1lC与 椭 圆2143xmy得 24690y；则 222223641|1|13MN
18、mmNy；圆心 A到 PQ距离 22|d，所以 222434| 161m， 222 21 1| 41,8323433MPNQ mS 21 由已知得： 1212x xfxeaea 若 0a，那么 00xf， f只有唯一的零点 2x，不合题意； 若 ，那么 2xxea，所以当 1时， f， f单调递增543211234y1412108642 24xEDABC543211234y12108642 24xQPNMAB第 16 页当 1x时， 0fx， fx单调递减即： x,1,f 0fx 极小值 故 f在 1,上至多一个零点，在 ,1上至多一个零点由于 20fa， 0fe，则 20f，根据零点存在性定
19、理， fx在 1,上有且仅有一个零点而当 1x时， xe， 20，故 22211faexaxe则 0fx的两根214t，224eat， 12t，因为 0a，故当1t或 2t时， 210axe因此，当 x且 1t时， f又 10fe，根据零点存在性定理， fx在 ,1有且只有一个零点此时， fx在 R上有且只有两个零点，满足题意 若 02ea，则 ln2l1ae，当 lx时， l0x， ln20axe，即 12fea， f单调递增；当 ln2ax时， 0， ln20axe，即 120xfxea， fx单调递减；当 1x时， ， ln2axe，即 fx， fx单调递增即： x,ln2alln2,1
20、a1,第 17 页fx+ 0 - 0 +f 极大值 极小值 而极大值 22ln2ln2ln1ln10faaaa故当 1x 时， fx在 l处取到最大值 lf，那么 ln20fxa 恒成立，即 0f无解而当 1x时， fx单调递增，至多一个零点此时 f在 R上至多一个零点，不合题意 若 2ea，那么 ln21a当 1lx时， 0x， ln20axe，即 0fx，f单调递增当 1ln2xa时， 10x， ln20axe，即 0fx，f单调递增又 fx在 1处有意义，故 fx在 R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意 若 2ea，则 lna当 1x时， 0， ln2120axee，即 0fx，f单
21、调递增当 1ln2xa时， 10x， ln20axe，即 0fx，f单调递减当 ln2xa时， 1ln210xa， ln20axe，即 0fx，f单调递增即： x,11,ln2aln2aln2,a第 18 页fx+ 0 - 0 +f 极大值 极小值 故当 ln2xa 时， fx在 1处取到最大值 1fe，那么 0fxe 恒成立，即0f无解当 ln2xa时， fx单调递增，至多一个零点此时 f在 R上至多一个零点，不合题意综上所述，当且仅当 0a时符合题意，即 a的取值范围为 0, 由已知得： 120fxf，不难发现 1x， 2，故可整理得： 122xeea设 21xgx，则 12gx那么 3
22、xe，当 时， 0g， x单调递减；当 1x时， 0gx， x单调递增设 0m，构造代数式：11122221 1mmmgeee设 2mh， 0则 21e，故 h单调递增，有 0hm因此，对于任意的 0m， 1g由 12gx可知 1x、 2不可能在 x的同一个单调区间上，不妨设 12x，则必有 12x令 0，则有 1112gggxg第 19 页而 12x， 2， gx在 1,上单调递增，因此： 1212gxx整理得： 22 设圆的半径为 r，作 OKAB于 120OAB， 3sin302OAKr， ， 与 相切 方法一：假设 CD与 AB不平行与 交于 F2K ABCD、 、 、 四点共圆 FF
23、KAB K 2CDK 由可知矛盾 AB方法二：因为 ,ABCD四 点 共 圆 ， 不 妨 设 圆 心 为 T，因为 ,OABT， 所以 ,OT为 AB的中垂线上，同理OT，所以 OTCD为 的中垂线，所以 CD 第 20 页23 cos1inxaty（ t均为参数） 22 1C为以 0， 为圆心， a为半径的圆方程为 2210xya 22sinxy， 2si10a即为 1C的极坐标方程 24coC：两边同乘 得 222cscosxyx，24xy即 23C：化为普通方程为 yx由题意： 1和 2的公共方程所在直线即为 3C得： 240xya，即为 210a24 如图所示： 41332xfx， ， 1fx当 ， 4，解得 5x或 3 当 312x， 1，解得 x或 13第 21 页13x 或 2x当 2 ， 4，解得 5或 3xx 或 5综上， 13或 x或 fx，解集为 135， ， ，
