1、第三节 函数的单调性与最值知识能否忆起一、函数的单调性1单调函数的定义增函数 减函数设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x 2定义当 x1f(x2) ，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降2单调区间的定义若函数 yf(x) 在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 yf(x)在这一区间上具有( 严格的) 单调性，区间 D 叫做 yf (x)的单调区间二、函数的最值前提 设函数 yf(x )的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件对于任意 xI ，都有 f(x)M ；存在
2、x0I ，使得 f(x0)M对于任意 xI，都有 f(x) M；存在 x0I，使得 f(x0) M结论 M 为最大值 M 为最小值小题能否全取1(2012陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )Ayx1 By x 3Cy Dyx|x |1x解析：选 D 由函数的奇偶性排除 A，由函数的单调性排除 B、C，由 yx|x| 的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选 D.2函数 y(2 k1)xb 在( ，) 上是减函数，则( )Ak Bk Dkf(n)；1，即 |x| ( 1,0)(0,1)1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，
3、是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间注意 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用 “或”联结函数单调性的判断典题导入例 1 证明函数 f(x)2x 在(，0)上是增函数1x自主解答 设 x1，x2
4、 是区间(，0)上的任意两个自变量的值，且 x10，1x1x2因此 f(x1)f(x 2)0，因此 g(x1)g(x 2) ，得10.m1 或 m0，x0)，若 f(x)在 上的值域为 ，则 a_.1a 1x 12，2 12，2解析：(1)f(x) 0，x0)在 上单调递增，1a 1x 12，2所以Error!即Error!解得 a .25答案：(1) 1 (2)12 251(2012广东高考)下列函数中，在区间 (0，)上为增函数的是( )Ayln( x2) By x 1Cy x Dyx(12) 1x解析：选 A 选项 A 的函数 yln(x2)的增区间为( 2，)，所以在(0 ，)上一定是
5、增函数2若函数 f(x)4x 2mx5 在2，) 上递增，在(，2上递减，则 f(1)( )A7 B1C17 D25解析：选 D 依题意，知函数图象的对称轴为 x 2，即 m16，从 m8 m8而 f(x)4x 216 x5，f(1) 416525.3(2013佛山月考)若函数 yax 与 y 在(0，) 上都是减函数，则 yax 2bxbx在(0， ) 上是 ( )A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析：选 B yax 与 y 在(0 ，)上都是减函数， a0，则一定正确的是( )Af(4)f( 6) Bf (4)f(6) Df(4)0 知 f(x)在(0 ，)上递增，所以 f(4)f
6、(6)6定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x) f (y)，当 x0，则函数 f(x)在a，b上有( )A最小值 f(a) B最大值 f(b)C最小值 f(b) D最大值 f(a b2 )解析：选 C f(x)是定义在 R 上的函数，且f(x y) f(x)f(y )，f(0)0，令 yx，则有 f(x)f (x) f (0)0.f( x)f(x)f(x )是 R 上的奇函数 设 x10.f(x)在 R 上是减函数f(x)在a，b有最小值 f(b)7函数 y( x3)|x |的递增区间是 _解析：y(x3)|x |Error!作出该函数的图象，观察图象知 递增区间为 .0，32
7、答案： 0，328(2012台州模拟)若函数 y|2 x1|，在(，m 上单调递减，则 m 的取值范围是_解析：画出图象易知 y|2 x1| 的递减区间是( ， 0，依题意应有 m0.答案：(，09若 f(x) 在区间( 2，) 上是增函数，则 a 的取值范围是_ax 1x 2解析：设 x1x22，则 f(x1)f(x2)，而 f(x1)f(x 2) ax1 1x1 2 ax2 1x2 22ax1 x2 2ax2 x1x1 2x2 2 0，则 2a10.x1 x22a 1x1 2x2 2得 a .12答案： (12， )10求下列函数的单调区间：(1)yx 22|x| 1；(2)ya12xx
8、2(a0 且 a1) 解：(1)由于 yError!即 yError!画出函数图象如图所示，单调递 增区间为(，1 和0,1，单调递减区间为1,0和1 ， )(2)令 g(x)12x x 2( x1) 22，所以 g(x)在(，1)上单调递增，在( 1，) 上单调递减当 a1 时，函数 ya12xx 2 的增区间是(，1)，减区间是(1，)；当 00 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围解：(1)证明：设 x10 ，x1x 20，x2x 10，要使 f(x1)f(x 2)0，只需(x 1a)(x 2a)0 恒成立，a 1.综上所述，a 的取值范围为(0,112(2011上海高考
9、)已知函数 f(x)a2 xb3 x，其中常数 a，b 满足 ab0.(1)若 ab0，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 abf(x) 时 x 的取值范围解：(1)当 a0，b0 时，任意 x1，x2R，x10a(2x 12x 2)0b(3x 13x 2)0，当 a0 时， x ，(32) a2b则 xlog1.5 ；( a2b)同理，当 a0，b0，y0 都有 f f(x )f(y)，当 x1 时，(xy)有 f(x)0.(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性并加以证明；(3)若 f(4)2，求 f(x)在1,16上的值域解：(1)当 x0，y0 时，f f(x)f (y)
10、，(xy)令 xy0，则 f(1)f(x) f (x)0.(2)设 x1，x2(0， )，且 x1x10. 1，f 0.x2x1 (x2x1)f(x2)f(x1)，即 f(x)在(0， )上是增函数(3)由(2)知 f(x)在1,16上是增函数f(x)minf(1)0，f(x) maxf(16)，f(4)2，由 f f(x )f(y) ，(xy)知 f f(16)f(4)，(164)f(16)2f(4) 4，f(x)在1,16上的值域为0,41求函数 f(x) 的单调区间x2 x 6解：设 ux 2x 6，y .u由 x2x60，得 x3 或 x2.结合二次函数的图象可知，函数 ux 2x6
11、在(，3上是递减的，在2，)上是递增的又 函数 y 是递增的，函数 f(x) 在(，3上是递减的，在2，)u x2 x 6上是递增的2定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 m，n，总有 f(mn)f(m) f(n)，且当 x0时，0f(1)，B(x，y)|f (axy )1，aR，若 AB，2试确定 a 的取值范围解：(1)在 f(m n)f(m) f(n)中，令 m1，n0，得 f(1)f(1)f(0) 因为 f(1)0，所以 f(0)1.(2)任取 x1，x2R，且 x10，所以 00 时，010.1f x又 f(0)1，所以 综上可知，对于任意的 x1R，均有 f(x1)0.所以 f(x2)f(x 1)f(x 1)f(x2x 1)1 f(1)，即 x2y 21.f(axy )1f(0)，即 axy 0.2 2由 AB，得直 线 axy 0 与圆面 x2y 21 无公共点，所以 1，解得22a2 11a1.
