1、机械 工程测 试技术 基础习 题解答教 材 ： 机械 工 程 测 试 技术 基 础 ， 熊 诗波 黄 长 艺 主编 ， 机 械 工 业出 版 社 ， 2006年 9月 第 3版第二 次印刷 。 绪 论0-1叙述 我国法 定计量 单位的 基本内 容。解答 ：教材 P45，二 、法定 计量单 位。0-2如何 保证量 值的准 确和一 致？解答 ： （参 考教材 P46，二 、法定 计量单 位 五、 量值的 传递和 计量器 具检定 ）1、对 计量单 位做出 严格的 定义；2、有 保存、 复现和 传递单 位的一 整套制 度和设 备；3、必 须保存 有基准 计量器 具，包 括国家 基准、 副基准 、工作
2、基准等 。3、 必 须按 检定 规程 对计 量器 具实 施检 定或 校准 ， 将 国家 级准 所复 现的 计量 单位 量值 经过各级 计算标 准传递 到工作 计量器 具。 0-3何谓 测量误 差？通 常测量 误差是 如何分 类表示 的？解答 ： （教 材 P810，八 、测量 误差）0-4请将 下列诸 测量结 果中的 绝对误 差改写 为相对 误差。 1.0182544V 7.8 V (25.04894 0.00003)g (5.482 0.026)g/cm2解答 ： -6 67.8 10/1.0182544 7.6601682/10 60.00003/25.04894 1.197655/10
3、0.026/5.4824.743 0-5 何 谓 测 量不 确 定 度 ？ 国际 计 量 局 于 1980年 提 出 的建 议 实 验 不确 定 度 的 规 定建 议书 INC-1(1980)的 要点是 什么？解答 ： (1)测 量不 确定 度是 表征 被测 量值 的真 值在 所处 量值 范围 的一 个估 计 ， 亦 即由 于测 量误 差的存 在而对 被测量 值不能 肯定的 程度。 (2)要点 ：见教 材 P11。0-6为 什么 选用 电表 时 ， 不 但要 考虑 它的 准确 度 ， 而 且要 考虑 它的 量程 ？为 什么 是用 电表时 应 尽 可 能 地 在 电 表 量 程 上 限 的 三
4、分 之 二 以 上 使 用 ？ 用 量 程 为 150V的 0.5级 电 压 表 和 量 程为 30V的 1.5级电 压表分 别测量 25V电压 ，请问 哪一个 测量准 确度高 ？解答 ：(1)因 为多 数的 电工 仪表 、热 工仪 表和 部分 无线 电测 量仪 器是 按引 用误 差分 级的 （例 如 ，精度 等级为 0.2级的 电表， 其引用 误差为 0.2%） ，而引用 误差 =绝对 误差 /引用 值其 中的 引用 值一 般是 仪表 的满 度值 (或 量程 )，所 以 用电 表测 量的 结果 的绝 对误 差大 小与 量程有 关。 量程 越大 ，引 起的 绝对 误差 越大 ，所 以在 选用
5、电表 时， 不但 要考 虑它 的准 确度 ，而 且要考 虑它的 量程。(2)从 (1)中 可知 ， 电 表测 量 所带 来 的绝 对 误差 =精 度等 级 量 程 /100， 即 电表 所 带来 的 绝对 误差 是一 定的 ， 这 样 ， 当 被测 量值 越大 ， 测 量结 果的 相对 误差 就越 小 ， 测 量准 确度 就越 高 ，所以 用电表 时应尽 可能地 在电表 量程上 限的三 分之二 以上使 用。 (3)150V的 0.5级 电 压 表 所 带 来 的 绝 对 误 差 =0.5 150/100=0.75V； 30V的 1.5级 电 压 表所带 来的绝 对误差 =1.5 30/100=
6、0.45V。所 以 30V的 1.5级电 压表测 量精度 高。0-7如 何表 达 测量 结 果？ 对 某量 进 行 8次 测量 ， 测 得值 分 别为 ： 802.40， 802.50， 802.38，802.48， 802.42， 802.46， 802.45， 802.43。求 其测量 结果。解答 ： (1)测量 结果 =样本 平均值 不确 定度或 x sX x x n= + = +(2) 81 802.448ii xx = =8 21 ( ) 0.0403568 1ii x xs = = = 0.0142688x s = =所以 测量 结果 =802.44+0.0142680-8用 米尺
7、 逐 段丈 量 一段 10m的 距离 ， 设 丈量 1m距 离的 标 准差 为 0.2mm。 如 何表 示 此项间接 测量的 函数式 ？求测 此 10m距离 的标准 差。解答 ： (1) 101 iiL L=(2) 210 21 0.6m miL Li iL L= = = 0-9直圆 柱体的 直径及 高的相 对标准 差均为 0.5%，求 其体积 的相对 标准差 为多少 ？解答 ：设直 径的平 均值为 d，高 的平均 值为 h，体 积的平 均值为 V，则24dhV=( ) ( )22 2 2 22 2 2 22 22 22 42V d h d hd hV V dh d d h V Vd h =
8、+ = + = + 所以 2 2 2 24 4(0.5%) (0.5%) 1.1%V d h V d h = + = + = 第一 章 信号 的分类 与描述1-1求 周期 方 波（ 见图 1-4） 的傅 里叶 级 数（ 复 指数 函 数形 式 ） ， 划出 |cn| 和 n 图， 并与表 1-1对比 。图 1-4 周期方波 信号波形图0 tx(t)T02T020T A-A T0解答 ：在一 个周期 的表达 式为00( 0)2( )(0 )2TA txtTA t 的频 谱。解答 ：( 2 )2 2 0 2 20 ( 2 )( ) ( ) ( 2 ) 2 (2 )a j f tj f t at j
9、 f t e A Aa j fXf xt e dt Ae e dtA a j f a j f a f + = = = = = + + + 2 2( ) (2 )kXf a f= +Im ( ) 2( ) arctan arctanRe ( )Xf ff Xf a= = 单边指数 衰减信号频谱图 f|X(f)| A/a0(f)f0/2-/21-4求符 号函数 (见图 1-25a)和单 位阶跃 函数 (见图 1-25b)的频 谱。tsgn(t)01-1 tu(t)01图 1-25题 1-4图a)符号函数 b)阶跃函数a)符号 函数的 频谱1 0( ) sgn( ) 1 0txt t t+ = =
10、= = 1( ) sgn( )atx t e t= 符号函数tx1(t)01-1符号函数 频谱f(f)0/20 f|X(f)|-/2b)阶跃 函数频 谱 1 0( ) 0 0tut t = = = 的频 谱密度 函数为1 1 2 20 1( ) ( ) j t at j t a jX f xt e dt e e dt a j a = = = =+ + 根据 频移特 性和叠 加性得 ： 0 01 0 1 0 2 2 2 20 02 2 20 0 02 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( )1 1( ) ( ) ( )2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) (
11、) a j a jX X Xj j a aa aja a a a += + = + + + = + + + + + + 00X()-()指数衰减 信号的频谱图1-7设 有一 时 间函 数 f(t)及 其频 谱 如图 1-27所 示。 现 乘以 余 弦型 振 荡0 0cos ( )mt 。在 这个 关系 中 ， 函 数 f(t)叫 做调 制信 号 ， 余 弦振 荡0cost 叫 做载 波 。 试 求调 幅信 号 0( )cosf t t的傅 里变换 ，示意 画出调 幅信号 及其频 谱。又 问：若0 m = 解： 这是一 种能量 有限的 确定性 信号， 所以( )0 1( ) ( ) ( ) 2a
12、t at ahR ht ht dt e e dt ea + = + = = 5-2假定 有一个 信号 x(t)， 它由 两个频 率 、 相角 均不相 等的余 弦函数 叠加而 成 ， 其数 学表达式为 x(t)=A1cos(1t+1)+A2cos(2t+2)求该 信号的 自相关 函数。 解： 设 x1(t)=A1cos(1t+1)； x2(t)=A2cos(2t+2)，则1 1 2 2 1 21 2 1 21 1 1 22 1 2 21( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )21 1lim ( ) ( ) lim ( ) ( )2 21 1lim ( ) ( ) lim ( ) ( )2
13、2( ) ( ) ( ) ( )Tx TTT TT TT TT TT TT Tx xx xx xR x t x t x t x t dtT x t x t dt x t x t dtT Tx t x t dt x t x t dtT TR R R R = + + + += + + + + + += + + + 因为 12，所 以 1 2 ( ) 0xxR = ， 2 1 ( ) 0xxR = 。又因 为 x1(t)和 x2(t)为周 期信号 ，所以 ( )11 11 111 1 1 1 1 10121 1 1 1 1 1 1 1 10121 1 1 1 10 01 2 21 11 1101(
14、) cos( ) cos ( ) cos ( ) cos ( )2cos 2 2 cos( )20 cos( ) cos( )2 2TxTT TTR A t A t dtTAt t t t dtTAt dt dtTA AtT = + + += + + + + + + = + + + = + = 同理 可求得 1 22 2( ) cos( )2x AR =所以 1 2 2 21 21 2( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )2 2x x x A AR R R = + = +5-3求方 波和正 弦波（ 见图 5-24）的 互相关 函数。ty(t)tx(t)1-11T-1图 5-24题
15、5-3图sin(t)00解法 1：按 方波分 段积分 直接计 算。0 0 34 4 30 441 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( 1)sin( ) 1sin( ) ( 1)sin( )2sin( )T TxyT T TTTR xt yt dt xt yt dtT Tt dt t dt t dtT = + = = + + = i解 法 2： 将 方 波 y(t)展 开 成 三 角 级 数 ， 其 基 波 与 x(t)同 频 相 关 ， 而 三 次 以 上 谐 波 与 x(t)不同频 不相关 ，不必 计算， 所以只 需计算 y(t)的基 波与 x(t)的互 相关函 数即可 。4 1
16、1( ) cos cos3 cos53 5yt t t t = + 所以 0 000 01 1 4( ) ( ) ( ) sin( ) cos( )4 1sin( ) sin( )22 sin(2 ) sin( )2 20 sin( ) sin( )T TxyTT TR xt yt dt t t dtT Tt t t t dtT t dt dtTTT = + = + = + + + = + = = 解法 3：直 接按 Rxy()定义 式计算 (参看 下图 )。0 34 4 30 441( ) ( ) ( )1( 1)sin( ) 1sin( ) ( 1)sin( )2sin( )TxyT T
17、TTTR xt yt dtT t dt t dt t dtT = + = + + = ity(t)tx(t)1-11T-1sin(t)00ty(t+)1-104T 34T TT34T 4T 参考 上图可 以算出 图中方 波 y(t)的自 相关函 数41 024( ) 3 2( ) 0, 1, 2,y yTT TR TTR nT n = + = Ry()0方波的自 相关函数图TT/25-4某一 系统的 输人信 号为 x(t)（见 图 5-25） ，若 输出 y(t)与输 入 x(t)相同 ，输入 的自相关函 数 Rx()和输 入 输出 的互相 关函数 Rx()之间 的关系 为 Rx()=Rxy(
18、+T)， 试说 明该系 统起什么 作用？Rx()0 TRxy()0系 统x(t) y(t)图 5-25题 5-4图解： 因为 Rx()=Rxy(+T)所以0 01 1lim ( ) ( ) lim ( ) ( )T TT Txt xt dt xt yt TdtT T + = + + 所以 x(t+)=y(t+T)令 t1 =t+T，代 入上式 得x(t1 -T)=y(t1)，即 y(t)=x(t-T)结果 说明了 该系统 将输入 信号不 失真地 延迟了 T时间 。5-5试根 据一个 信号的 自相关 函数图 形，讨 论如何 确定该 信号中 的常值 分量和 周期成 分。解： 设信号 x(t)的均
19、值为 x， x1(t)是 x(t)减去 均值后 的分量 ，则x(t)=x +x1(t) 11 10 02 1 1 1 102 1 1 1 10 0 0 021 1( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )1lim ( ) ( ) ( ) ( )1lim ( ) ( ) ( ) ( )0 0 ( )T Tx x xT TT x x xTT T T Tx x xTx x xR xt xt dt x t x t dtT Tt t x t x t dtT dt t dt t dt x t x t dtTR = + = + + + = + + + + + = + + + + + = + +
20、+ = 12 ( )xR+如 果 x1(t)不 含周 期 分量 ， 则 1lim ( ) 0xR = ， 所 以此 时 2lim ( )x xR = ； 如 果 x(t)含 周期 分 量 ，则 Rx()中 必含 有 同频 率 的周 期 分量 ； 如 果 x(t)含 幅值 为 x0的 简谐 周 期分 量 ， 则 Rx()中 必含有同 频率的 简谐周 期分量 ，且该 简谐周 期分量 的幅值 为 x02/2；根 据 以 上分 析 结 论 ， 便可 由 自 相 关 函数 图 中 确 定 均值 （ 即 常 值 分量 ） 和 周 期 分量 的 周 期及幅 值，参 见下面 的图。 例如： 如果 lim (
21、)xR C = ，则 x C= 。自相关函 数的性质图示Rx()0 x2x2+x2x2-x20Rx()202x含有简谐 周期分量的自相 关函数的图5-6已知 信号的 自相关 函数为 Acos，请 确定该 信号的 均方值 x2和均 方根值 xrms。解： Rx()=Acosx2=Rx(0)=A2rm s xx A= =5-7应用 巴塞伐 尔定理 求2sinc( )dt t 积分 值。解： 令 x(t)=sinc(t)，其 傅里叶 变换为1 1( ) 2 20 fXf = 其 他根据 巴塞伐 尔定理 得122 2 2 22121 1sinc( )d ( )d ( ) d d 2 2t t x t
22、t Xf f f = = = = + = 5-8对 三 个 正 弦 信 号 x1(t)=cos2t、 x2(t)=cos6t、 x3(t)=cos10t进 行 采 样 ， 采 样 频 率fs=4Hz， 求 三 个采 样 输 出 序 列， 比 较 这 三 个结 果 ， 画 出 x1(t)、 x2(t)、 x3(t)的 波 形 及采 样 点位置 ，并解 释频率 混叠现 象。 解： 采样序 列 x(n)( )1 1 11 10 0 0( ) ( ) ( ) cos2 ( ) cos ( )2 4N N Ns s sn n n n nx n x t t nT nT t nT t = = = = = =
23、 采样 输出序 列为： 1， 0， -1， 0， 1， 0， -1， 0， 1203( ) cos ( )2 4Nnn nx n t = = 采样 输出序 列为： 1， 0， -1， 0， 1， 0， -1， 0， 1205( ) cos ( )2 4Nnn nx n t= = 采样 输出序 列为： 1， 0， -1， 0， 1， 0， -1， 0， x1(t)x2(t)x3(t)ttt从 计 算 结果 和 波 形 图 上的 采 样 点 可 以看 出 ， 虽 然 三个 信 号 频 率 不同 ， 但 采 样 后输 出 的 三个 脉冲 序列 却是 相同 的， 这三 个脉 冲序 列反 映不 出三 个信 号的 频率 区别 ，造 成了 频率 混叠 。原因 就是对 x2(t)、 x3(t)来说 ，采样 频率不 满足采 样定理 。
