1、 1 / 72017 年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1） 姓名_1、填空题1、已知函数 ，则 _.1)(ln)2axxf )0()1(ln)(laff2、A,B 两点分别在抛物线 和 上，则 的取值范围是xy621)2(:yCAB_.3、若 ，则 的最大值为_.20tan3t 4、已知ABC 等腰直角三角形，其中C 为直角，AC =BC=1，过点 B 作平面 ABC 的垂线DB，使得 DB=1，在 DA、DC 上分别取点 E、F，则BEF 周长的最小值为_.5、已知函数 ，对任意的 ， 恒成立，则xf3)(2,m0)2(8(xff正实数 x 的取值范围为_.2 / 76、已知向量 满足 ，且 ，
2、若 为 的c,ba)(3:2|:| *Nkc)(2bcac,a夹角，则 的值为_.os7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为_.8、将 10 个小球（5 个黑球和 5 个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为_.2、解答题9.(本小题满分 14 分)在ABC 中，内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c，向量，向量 ，且满足 .BCAsin,sip )(abcqqp()求ABC 的内角 C 的值；()若 c=2，2sin2A +sin(2B+C)=sinC，求 ABC 的面积.3
3、 / 710.（本小题满分 14 分）已知数列 满足： .nanna,211(1)求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式;)1lg(na(2)若 ，且数列 的前 n 项和为 ，求证： .2nbbnSn11.(本小题满分 14 分)设 .（e 是自然对数的底数）axf)()若 对一切 恒成立，求 a 的取值范围；0xf1x()求证： .218)265(e4 / 712.(本小题满分 15 分)设正数 x,y 满足 ，求使 恒成立的实数yx3 12yx的最大值.13.(本小题满分 15 分)已知椭圆 及点 ，过点 P 作直线 l 与椭圆 C 交12:yxC)2,(于 A、B 两点，过 A、B 两
4、点分别作 C 的切线交于点 Q.(1)求点 Q 的轨迹方程；(2)求ABQ 的面积的最小值.5 / 72017 年高中数学竞赛模拟试卷（1）答案1.【解析】.2)1ln(2)1ln()ln()( 2222 xaaxaxxf2.【解析】由于 ，则只需要考虑 的范围.ACBAC，故又 ,0,3(462 min222 ACyAC故 的取值范围为 .13.【解析】 6tatan3t12tan31tanttan2 .2020，.64.【解析】由题意可知， ，且BDA 与CDA 之4CDB和为 .如图，将侧面 BDA 和侧面 CDB 分别折起至面和 ，且与侧面 ADC 位于同一个平面上.则DAB12BEF
5、 周长的最小值即面 上两点 之间的线段A2121,长.由前面的分析可知，432121 CDB由余弦定理可得， .DBB 221cos21121 所以，BEF 周长的最小值为 .5.【解析】 为奇函数且为增函数 等价于xf3)( 0)(8(xfmf即 即 对任意的 成)2)8(xmxfxm28x 2,立即 ，所以 ，即 00.1xeh2)1(eh0)1(2h所以 h(x)在 上单调递增， h(x)在(-1,0)单调递减.所以 ，由此， 1)(h7 / 7得： .又 x=-1 时， 即为 ，此时 a 取任意值都成立.1axea110ea综上得： . 8 分() .201621620805)265
6、e由()知，当 a=1 时 对一切 恒成立，即 (x=0 时取等号).)(xfxex取 ，得 .即证得： . 14 分01x2016e21108)265(12【解析】由正数 x,y 满足 ，知 .令 .yx3yt不等式 等价于 ，等价于 232，等价于 yxyx3232 23yx等价于 .因为 ，12t 21)(1)(1)(2 tttf等号仅当 ，即 时成立，1t所以，实数 的最大值为 . 15 分13.【解析】(1)设 ，),(),(),(021yxQByxA则 过 Q，有 ； ，有2:1Q1012:yxB，故直线 过点 ，则有0yx:0),(P故 Q 的轨迹方程为 x+y=2. 5 分200x(2)对直线 AB，当斜率不存在时，即为 x=1，此时 )0,2(,1()2,(QBA21ABQS斜率存在时，设直线 .kxyxkyB2)1(:联立，消掉 y 得 .kxy212 0)23()(22 于是有 123)(121kx又-，得到 与 式联立，可解得 . 10 分00y )21,4(kQ
