1、高三数学（理科）第 1 页（共 18 页）石景山区 2017 年高三统一练习数 学（理）试 卷第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 ， ，那么 AB等于（ ）|210Ax|1Bx A | B |xC1|02xD1|022已知实数 满足 则 的最大值是（ ）,xy06, 2zxyA 4B 6C 0D 12考生须知1本试卷共 6 页，共三道大题，20 道小题，满分 150 分考试时间 120 分钟 2在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号3试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请
2、用 2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效高三数学（理科）第 2 页（共 18 页）3直线 被圆 所截得的弦长为（ ）1cos2A B 3C 2D 44设 ,“ ”是“ ”的（ ）Rsincocs0A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5我国南宋数学家秦九韶（约公元 12021261 年）给出了求 次多项式*()nN110nnaxax当 时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九0x韶算法”例如，可将 3 次多项式改写为：之后进行求值32103210()axxaxax运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值A 4324xxB
3、 4325高三数学（理科）第 3 页（共 18 页）C 32xD 324x6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A 25B C 45D 7如图，在矩形 中， ，ABCD2,BC点 为 的中点，点 在边 上，若 ，EF2AF则 的值是（ ）ABFA 2 B 1 C D228如图，将正三角形 分割成 个边长为 的ABm1小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以高三数学（理科）第 4 页（共 18 页）分割成 个边长为 的小正三角形n1若 ，则三角形 的边长是（ ）:47:25mABCA10 B11C12 D13第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题
4、5 分，共 30 分9若复数 是纯虚数，则实数 i1aa10在数列 中， ， ，那么 等于 n112n(3)n， ， ， 8a11若抛物线 的焦点与双曲线 的右顶点重合，则 2ypx214xyp12如果将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图()sin3)(0)f12象关于原点对称，那么 13将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 （用数字做答）高三数学（理科）第 5 页（共 18 页）14已知 42(),().axafx当 时， ，则 ；1a()3fx当 时，若 有三个不等实数根，且它们成等差数列，则 f a三、解答题共 6 小题，共 80 分
5、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题共 13 分）已知 分别是 的三个内角 的三条对边，且 cba,ABC,ABC22cab（）求角 的大小；（）求 的最大值cos+16 （本小题共 13 分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的 个数据（数据均在120区间 内）中，按照 的比例进行分层抽样，统计结果按 ， ，(0,55%(,(,， ， 分组，整理如下图：23,4(0,图乙高三数学（理科）第 6 页（共 18 页）（）写出频率分布直方图（图乙）中 的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶a日销售量的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小（只需写出结论） ；21s21s
6、（）从甲种酸奶日销售量在区间 的数据样本中抽取 3 个，记在 内的数(0, (0,1据个数为 ，求 的分布列；X（）估计 个日销售量数据中，数据在区间 中的个数120(0,117 （本小题共 14 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi no） 如图，在阳马 中，侧棱 底面 ，PABCDPABCD且 ， 为 中DCE点，点 在 上，FPB高三数学（理科）第 7 页（共 18 页）且 平面 ，连接 ， PBDEFBE（）证明： 平面 ；PC（）试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论） ；若不
7、是，说明理由；（）已知 ，求二面角 的余弦值2,ADCFADB18 （本小题共 13 分）已知函数 ()lnfx（）求曲线 在点 处的切线方程；yf(1,)f（）求证：当 时， ；0xfx（）若 对任意 恒成立，求实数 的最大值1lna1a19 （本小题共 14 分）已知椭圆 过点（0，1） ，且离心率为 2:1()xyEab32（）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 交于 两点，以 为对角线作正方形 ，1:2lyxmEAC、 AABCD记直线 与 轴的交点为 ，问 、 两点间距离是否为定值？如果是，求出定NB高三数学（理科）第 8 页（共 18 页）值；如果不是，请说明理由20 （本小题共
8、13 分）已知集合 对于12(,),0,1,2()nniRXxxin 定义 与 之间的距离为12(,),nAa 12,nBbR AB121(,)nidBbaab（）写出 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；2R（）若集合 满足： ，且任意两元素间的距离均为 2，求集合 中元素个数M3RM的最大值并写出此时的集合 ；（）设集合 ， 中有 个元素，记 中所有两元素间的距离的平均nP(2)mP值为 ，证明 ()d)(1)n高三数学（理科）第 9 页（共 18 页）石景山区 2017 年高三统一练习数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号 1 2 3
9、4 5 6 7 8答案 D C B A A B C C二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 三、解答题共 6 小题，共 80 分题号 9 10 11 12 13 14答案 1 24 36 14,6高三数学（理科）第 10 页（共 18 页）15 （本小题共 13 分）解：（）因为 ，22cab所以 3 分221oscC又因为 ， (0,)所以 6 分3C（）由（）知 ， 又 ， AB所以 且 ，232(0,)3A故coscos()B22coscosins33AA13sinsi()26A又 ， ，(0,)3A5(,)6所以当 即 时， 的最大值为 13 分23AcosB116 （
10、本小题共 13 分）高三数学（理科）第 11 页（共 18 页）解：（）由图（乙）知， 解得 ，10(.203.5.01)a0.1a 3 分21s（） 的所有可能取值 ， ， X123则 ， ，42365CP214365CPX，304261X其分布列如下： X123P5158 分（）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取 个，2345620其中有 个数据在区间 内4(0,1又因为分层抽样共抽取了 个数据，25%60乙种酸奶的数据共抽取 个，604由（）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间 内的频率为 ，(0,10.1高三数学（理科）第 12 页（共 18 页）故乙种酸奶的日销售量数据在区间 内有 个(
11、0,140.1故抽取的 个数据，共有 个数据在区间 内6048(,所以，在 个数据中，在区间 内的数据有 个12(0,116013 分17 （本小题共 14 分）（）因为 面 ， 面 ，PDABCABCD所以 .因为四边形 为矩形，所以 ., 所以 面 . PBP面 , , DEC在 中， ， 为 中点 所以 .DECDEPC,PB所以 面 . 4 分E（）四面体 是鳖臑，其中 ， F2BEF2BD 高三数学（理科）第 13 页（共 18 页）9 分（）以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系,DACPxyz(0)(2,0)(,2),(0,2)(,0)PB设 ，则 FB,得 解得 所以
12、 11 分DP0A1423(,)4F设平面 的法向量 ， F(,)nxyz令 得 123040nDAx 1z0,3xy平面 的法向量 ， F(,31)n平面 的法向量 ，BDA0,2P 10cos,n二面角 的余弦值为 14 分FADB1018 （本小题共 13 分）解：（） , ，1()fx()f高三数学（理科）第 14 页（共 18 页）又 ，所以切线方程为 ; 3 分(1)0f1yx（）由题意知 ，令 x1()()lngxf x5 分21()g令 ，解得 6 分20x1x易知当 时， ，易知当 时， 1()g01x()0gx即 在 单调递减，在 单调递增 7 分()gx0,(,)所以 ，
13、 min(1)10gx即 ，即 8 分()0gxf()fx（）设 ，依题意，对于任意 恒成立 1lnhax1,()0hx， 9 分 ()x时， 在 上单调增， 1a(),hx0()1,)当 时， ，满足题意 11 分 时，随 变化， ， 的变化情况如下表：1ax()hx高三数学（理科）第 15 页（共 18 页）x(1,)aa(,)()h0x 极小值 在 上单调递减， 所以 ()hx,a1()ga1即当 时，总存在 ，不合题意 12 分 ()0综上所述，实数 的最大值为 1 13 分 a19 （本小题共 14 分）解：（）设椭圆的半焦距为 .c因为点（ ）在椭圆 上，所以 0,1C1b故 2a
14、c又因为 ，所以 ， 3e3c2a所以椭圆 的标准方程为： 5 分C214xy（） 设 ，线段 中点为 12(,)(,)AxyAC0(,)Mxy联立 ，得： 24mxy和 220m由 ，可得 .222()()80高三数学（理科）第 16 页（共 18 页）所以 ， 8 分12xm21x所以 中点为 9 分AC(,)M弦长 ，222211115|()()()4054xyxxm10 分又直线 与 轴的交点 ， 11 分lx(2,0)Nm所以 12 分22215|()(4M所以 22222|BNACMN所以 、 两点间距离为定值 14 分10220 （本小题共 13 分）解：（） ， 2(0,)1,
15、(),R， 3 分2,ABmax,2d（） 中含有 8 个元素，可将其看成正方体的 8 个顶点，已知集合 中的元素3R M所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以高三数学（理科）第 17 页（共 18 页）(0,)1,(,0),1M或 ，,(,)集合 中元素个数最大值为 4 8 分（） ，其中 表示 中所有两个元素间距离2,1()(,)ABPmddC,(,)ABPd的总和设 中所有元素的第 个位置的数字中共有 个 1， 个 0，则i itimt, 1(,)()niiABPdtm由于2()(,)4iitin所以2, 1(,)()4niiABPmdt从而 13 分22,()(,)(1)ABPmmnCC【注：若有其它解法，请酌情给分】高三数学（理科）第 18 页（共 18 页）
