1、1新课标双曲线历年高考题精选1.（05 上海理 5）若双曲线的渐近线方程为 y=3x, 它的一个焦点是 ( ,0), 则双曲线的方程为102.（07 福建理 6 以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）2196xy3.（07 上海理 8）以双曲线 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 544.（07 天津理 4）设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的21(0)xyabb，324yx方程为（ ） 21214896xy21xy2136x5.(04 北京春理 3)双曲线 的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. xy2491
2、3yx94yx496.（2009 安徽卷理）下列曲线中离心率为 2的是 .214xy.214xy. 216x . 210 7.（2009 宁夏海南卷理）双曲线2x- 1y=1 的焦点到渐近线的距离为( )8.（2009 天津卷文）设双曲线 )0,2ba的虚轴长为 2，焦距为 3，则双曲线的渐近线方程为（ ）9.（2009 湖北卷文）已知双曲线 1412byxyx的 准 线 经 过 椭 圆 （ b0）的焦点，则 b=( )10. (2008 重庆文)若双曲线 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则 p 的值为 (C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)4 263p 211(2008 江西
3、文)已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程21(0,)xyab3yx2为 2314xy112.(2008 山东文)已知圆 以圆 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述2:6480CxyC条件的双曲线的标准方程为 2113.（2008 安徽文）已知双曲线 的离心率是 。则 4 n3n14、(2008 海南、宁夏文)双曲线 的焦距为（ D ）A. 3 B. 4 C. 3 D. 4210xy2315. (2008 重庆理)已知双曲线 （a0,b0）的一条渐近线为 y=kx(k0),离心率 e= ,则双曲线方程为 (C )2 5k（A） =1 (B
4、) (C) (D)2xa4y15xya214xy215xb16.（2009 辽宁卷理）以知 F 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为 17.(2008 辽宁文) 已知双曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则 ( D )A1B2C3 D4291(0)ymx5m18.(04 湖南文 4)如果双曲线 上一点 P 到右焦点的距离为 , 那么点 P 到右准线的距离是（ ）131317(2008 四川文) 已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 为 的右支上一点，且 ，则 的面积2:196xyC12,FC21PF12PF等于( C ) （） （） （） （）24489619.（04
5、 天津理 4）设 P 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，2a 1,023yx若 ，则 A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 93|1PF|2320.（05 全国理 6）已知双曲线 的焦点为 F1、F 2，点 M 在双曲线上且 MF1x 轴，则 F1 到直线 F2M 的距离为362yx21（05 全国理 9）已知双曲线 的焦点为 ，点 在双曲线上且 ，则点 到 轴的距离为（ ）21、 20x22.（05 湖南理 7）已知双曲线 1（a 0 ，b0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A，OAF 的2xby面积为 （O 为原点） ，则两渐近
6、线的夹角为（） A、30 B、45 C、60 D、902a23.（07 福建理 6 以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）2196xyA B C D210xy206x2106xy2109xy30.（07 辽宁理 11）设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若 ，则 的面积P1F， 2|:|3:PF12PF为（ ）A B C D6313424.(07 四川理 5）如果双曲线 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离是24yx25（07 陕西理 7）已知双曲线 C： (a0,b0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的浙近线相切的圆的半径是
7、1bcaA. B. C.a D.bab226.（07 重庆理 16）过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为_4xyF105 Q， FPA27.(2009 山东卷理)设双曲线 12ba的一条渐近线与抛物线 y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). 28.（2009 四川卷文、理）已知双曲线 )(2b的左、右焦点分别是 1F、 2，其一条渐近线方程为 xy，点),3(0yP在双曲线上.则 1PF 2( )429.（2009 全国卷理）已知双曲线 210,xyCab：的右焦点为 F,过 且斜率为 3的直线交 C于 AB、 两点，若4AFB,则 C的离心
8、率为 ( )30.（2009 江西卷文）设 1F和 2为双曲线2( ,)的两个焦点, 若 12， ， (0,)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 31.(2009 湖北卷理)已知双曲线 1xy的准线过椭圆214xyb的焦点，则直线 ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A. 1,2KB. ,2 C. ,K D. 2,K32.（2009 全国卷理）设双曲线 1xyab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( )33.（2009 全国卷文）双曲线 362的渐近线与圆 0()3(22ryx相切，则 r= ( ) 34.（2009 福建卷文）若双曲
9、线 21xyao的离心率为 2，则 a等于( )35.（2009 全国卷文）设双曲线 20bb ， 的渐近线与抛物线 21y x 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）36.（2009 重庆卷理）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线上存在一点 使，则该双曲线的离心率的取值范围是 37.（2009 湖南卷文）过双曲线 C： 的一个焦点作圆 的两条切线，5切点分别为 A，B，若 （O 是坐标原点），则双曲线线 C 的离心率为 2 . 38.(2009 湖南卷理)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为 60 ，则双曲线 C 的离心率为39(2008 湖南文) 双
10、曲线 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线)0,(12bayx的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )A B C D (1,22,)(1,221,)40.（2008 浙江文、理）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是（ ）241. (2008 湖南理)若双曲线 （a0,b0）上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的21xy32a取值范围是( B. )A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ ) 、(2008 海南、宁夏理) 过双曲线 的右2196xy顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐
11、近线的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_ _3542(2008 福建文、理)双曲线 的两个焦点为 ，若 P 为其上的一点，且 ，则双曲线离心21(0,)xyab12,F12|PF率的取值范围为（ B ） (,3)3(3)3,)43(2008 全国卷文)设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ ）BC 0ABCA， C44(2008 全国卷理)设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是 A B C D1a22(1)xyae(2， 5)， ()， (5)，45.(2008 陕西文、理) 双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直线交双曲线右支2xybb
12、12F， 1306于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为（ B ）A B C DM2Fx 632346(04 全国理 7)设双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线为 ，则双曲线的离心率 （ ）x12yxe47.（04 江苏 5）若双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合，则双曲线离心率为 ( )182byx 8248.（04 重庆理 10）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ,点 P 在双曲线的右支上，且2,(0,)ab12F,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：( )12|4|PF49.（05 福建理 10）已知 F1、F 2 是双曲线 的两焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若边
13、MF1 的中点,(12yx在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A B C D34350.（05 浙江 13）过双曲线 (a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、 N 两点，以 MN21xy为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_51.（06 福建理 10）已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一2(,) 60o个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A） （B） （C） （D）12(1,2)2,)(2,)52(06 湖南理 7)i过双曲线 的左顶点 作斜率为 1 的直线 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别相交于点 、 ，
14、且2:yMxbAl BC，则双曲线 的离心率是 A B C D|BC05035253（06 山东文 7）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 ，则该双曲线的离心率为21754.(07 安徽理 9) 如图， 和 分别是双曲线 的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与1F2 )0,(12barxABO1F该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）B352355.(06 陕西理 7)已知双曲线 =1(a )的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( )A.2 B. C. D.x2a2 y22 2 3 3 263
15、23356.（07 全国 2 理 11）设 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A，使F 1AF2=90，且|AF 1|=3|AF2|，则21xyab双曲线离心率为(A) (B) (C) (D) 505557.（07 浙江理 9）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是准线上一点，且 ，21()xyab， 12P12PF，则双曲线的离心率是（ ） 124PFabA 23358（2009 浙江理）过双曲线2(0,)的右顶点 A作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC若 B，则双曲线的离心率是 ( ) 59.(06 天津文 22)双曲线 的离心率为
16、分别为左、右焦点， 为左准线与渐近线在第二象限内21xyab(0b，5212F， M8的交点，且 124FM（）求双曲线的方程；（）设 和 是 轴上的两点，过点 作斜率不为 0 的直线 ，使得 交双曲线于 两点，作直线(0)Am，(01)Bm，xAllCD，交双曲线于另一点 证明直线 垂BCED D M O A C B 2F 1F x y l 22.(06 安徽理 22)如图，F 为双曲线 C： 的右焦点。P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 轴上方，M 为左准210,xyab x线上一点， 为坐标原点。已知四边形 为平行四边形， 。OOFPMFO（）写出双曲线 C 的离心率 与 的关系式；e
17、（）当 时，经过焦点 F 且品行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点，若 ，求此时的双曲线方程。1 129O F x y P M 第 2题 图 H 2(04理 21)双曲线 的焦点距为 2c，直线 过点（a，0）和（0，b） ，且点（1，0）到直线 的距离与点)0,1(2bayx l l（1，0）到直线 的距离之和 求双曲线的离心率 e 的取值范围.l.54cs3(04 全国理 21)设双曲线 C： 相交于两个不同的点 A、B.1:)(2 yxlyax与 直 线（I）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围：（II）设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 求 a 的值.1BA5(04 上海春理
18、 22)已知倾斜角为 的直线 过点 和点 ， 在第一象限， .(1) 求点 的坐标；45l)2,(23|BB（2） 若直线 与双曲线 相交于 、 两点，且线段 的中点坐标为 ，求 的值；l:2yax)0(EFEF)1,4(a（3）对于平面上任一点 ，当点 在线段 上运动时，称 的最小值为 与线段 距离. 已知点 在 轴上运动，写出点PQAB|PQPAPx到线段 的距离 关于 的函数关系式. )0,(tABht6.(04 湖北理 20)直线 的右支交于不同的两点 A、B.1:1: 2yxCkxyl与 双 曲 线（I）求实数 k 的取值范围；（II）是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经
19、过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.1027.（07 湖南理 20）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点2xy1F22 AB，（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程；M11FABFO M（II）在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由xCC28.（07 江苏 3）在平面直角坐标系 中，双曲线中心在原点，焦点在 轴上，一条渐近线方程为 ，则它的离心率为（ y20xy） y y P B O A 1d 2 A B C D52329.（07 江西理 21）设动点 到点
20、和 的距离分别为 和 ， ，且存在常数 ，使得P(10)， ()， 1d2APB(01)21sind（1）证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程；C（2）过点 作直线双曲线 的右支于 两点，试确定 的范围，使 ，其中点 为坐标原点BMN， OMN0O Axy 1O2355.解:(1) 直线 方程为 ，设点 ，由 及 ， 得 ， ，点AB3xy),(yxB18)2()1(3yx0xy4x1y的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆B)1,4(（2）由 得 ，设 ，则 ，得 奎 屯王 新 敞新 疆32yxa 0162xa ),(),(21yxFE42161ax（3）(解法一)设线段 上任意一点 坐标
21、为 ， ，ABQ3,2)3()(|tPQ记 ，2)(32()3()() ttxxtxf )4t11当 时，即 时， ，4123t 51t 2|3min)(| ttfPQ当 ，即 时， 在 上单调递减， ；tt)(xf4, 1)4()| 2mintfPQ当 ，即 时， 在 上单调递增， 奎 屯王 新 敞新 疆23t 11|i综上所述， .51)4(;)2|3ttttth(解法二) 过 、 两点分别作线段 的垂线，交 轴于 、 ，ABABx)0,1(A),5(B当点 在线段 上，即 时，由点到直线的距离公式得： ；P t 2|3min|tPQ当点 的点在点 的左边， 时， ； 14)(| 2min
22、tPQ当点 的点在点 的右边， 时， 奎 屯王 新 敞新 疆A5t 1| B综上所述， .51)4(;)2|3tttth6.本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分 12 分.解：（）将直线 整 理 得后的 方 程代 入 双 曲 线的 方 程 ,122yxCkxyl.0)2(xk依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故12.2.02,0)2(8)2(,0kkk的 取 值 范 围 是解 得（）设 A、B 两点的坐标分别为 、 ，则由式得),(1yx),(2.2,221kx假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点
23、F（c,0）.则由 FAFB 得： .0)1()(.0)( 21212kxcxy即整理得.ck把式及 代入式化简得26c.052解得 )(2,(56舍 去或 kk可知 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点.561311.解: ()由条件得直线 AP 的方程 ),1(xky即 .0kx因为点 M 到直线 AP 的距离为 1, ,12m即 .221kk ,3 ,212m解得 +1m3 或-1m1- .332m 的取值范围是 .,1,()可设双曲线方程为 ),0(2byx由 ),01(,2(AM得 .又因为 M 是 APQ 的内心,M 到 AP 的距离为 1,所以MAP=45,直线
24、AM 是PAQ 的角平分线,且 M 到 AQ、PQ 的距离均为 1 奎 屯王 新 敞新 疆因此， （不妨设 P 在第一象限）,1AQPk直线 PQ 方程为 奎 屯王 新 敞新 疆2x直线 AP 的方程 y=x-1,14解得 P 的坐标是（2+ ，1+ ） ，将 P 点坐标代入 得，212byx321b所以所求双曲线方程为 ,12)3(2yx即 .1)(22yx22.解：四边形 是 ， ，作双曲线的右准线交 PM 于 H，则 ，又OFPMA|FPc 2|aPMc， 。2222|PceeaHac 20e（）当 时， ， ， ，双曲线为 四边形 是菱形，所以直线 OP 的斜率为 ，则1e23b214
25、3xyaOFP3直线 AB 的方程为 ，代入到双曲线方程得： ，3(2)yxa 29860又 ，由 得： ，解得 ，则 ，所以2AB211()kxx 2()49a29427b为所求。21794x27.解：由条件知 ， ，设 ， 1(20)F， 2()， 1()Axy， 2()Bxy，解法一：（I）设 ，则 则 ， ，Mxy， 1F， 11)FA，由 得1221(BxO， ， ， O15即126xy， 124xy，于是 的中点坐标为 AB，当 不与 轴垂直时， ，即 x1248yyx1212()8yx又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得AB， 21y2xy，即 121212()()xx
26、y12()4()y将 代入上式，化简得 8y26当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程12x(80)M，所以点 的轨迹方程是 M(6)4y（II）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数xCm， AB当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 AB(2)1kx代入 有 2y222(1)()0kx则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，1x， 14x214k于是 2122()()CA221()(kkmk2244m1622 22(1)4(1)1mkmk因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 = CAB 01CAB1当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，xAB， ()， (2)，此时 (2)，
27、，故在 轴上存在定点 ，使 为常数10， C解法二：（I）同解法一的（ I）有 124xy，当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ABxAB(2)1kx代入 有 2y222(1)4()0k则 是上述方程的两个实根，所以 1， 14x 2212 2()kykxk由得 24241ky当 时， ，由得， ，将其代入有0y4xky整理得 2244()()1xy 2(6)4y17当 时，点 的坐标为 ，满足上述方程0kM(40)，当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)M，故点 的轨迹方程是 6y（II）假设在 轴上存在定点点 ，使 为常数，()Cm， AB当 不与 轴垂直时，由
28、（I）有 ， x2141kx241kx以上同解法一的（II） 29.解法一：（1）在 中， ，即 ，PAB 2212cosd，即 （常数） ，2214()4sindd14sind点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线PC， a方程为： 2xy（2）设 ，1()M， 2()Nxy，当 垂直于 轴时， 的方程为 ， ， 在双曲线上1x()M， (1)N，即 ，因为 ，所以 51020512当 不垂直于 轴时，设 的方程为 x()yk由 得： ，21()xyk222()1()0kxxk由题意知： ，20所以 ， 122(1)xk21()kx18于是： 22112()(1)kykx因为 ，且 在双
29、曲线右支上，所以0OMNA，212 25121301xk由知， 523解法二：（1）同解法一（2）设 ， ， 的中点为 1()Mxy， 2()Nxy， M0()Exy，当 时， ，221B因为 ，所以 ；052当 时， 12x1 021MNxyxkyA又 所以 ；0MNBEykx200()yx由 得 ，由第二定义得2O 202212()Nexa192200011()xxx所以 2()()y于是由 得200211()xx 20(1)3x因为 ，所以 ，又 ，0x2()3解得： 由知 52532038.(00 北京安徽) （3）双曲线 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是12aybx（A）2 （B） （C） （D ）3223
