1、1第 1 讲 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽象概括能力.知识要点：结 构 特 征 图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等.圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点.圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台（1）两底面
2、相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.圆台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球 （1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.例题精讲：【例 1】请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.（1）由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线 l 旋转 180.解：（1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形. 几何体为正五棱柱.（2）由两个同心的大球和小球，大
3、球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球.【例 2】若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为 2，底面周长为 9，求棱锥的高.解：底面正三角形中，边长为 3，高为 ，中心到顶点距离为 ，3sin60232则棱锥的高为 .22()1【例 3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 1：16，截去的圆锥的母线长是 3cm，求圆台的母线长.解：设圆台的母线为 ，截得圆台的上、下底面半径分别为 ， .l r4根据相似三角形的性质得， ，解得 .4rl9l所以，圆台的母线长为 9cm.点评：用平行于底面的平面去截柱、 锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底
4、面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.【例 4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为 ，求,与 的值.222coscos222insiin解：设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为 a、 b、 c，相应对角线长为 l，则 .22abc， =1.22222()()1abcll222oscos， =2.222sinisinciniin点评：从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱，均位于直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系“ ”、“ ”而求 . 关键在于找准直角三角形中的三边，斜边是长方
5、体的对角线，角的 邻边是各棱cos邻斜 si对斜新课标高中数学必修精讲精练精练 月 日 : : 自评 分 2长，角的对边是相应矩形面的对 角线.第 1 练 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征基础达标?1一个棱柱是正四棱柱的条件是（ D ）.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱2下列说法中正确的是（ C ）.A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在
6、圆的半径等于圆锥的底面圆的半径3下列说法错误的是（ D ）.A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等B. 九棱柱有 9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形4用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（ D ）.A. 六边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 直角三角形5下列说法正确的是（ C ）.A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6设圆锥母线长为 l，高为 ，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为
7、. 2l 234l7若长方体的三个面的面积分别为 6 ,3 ,2 ，则此长方体的对角线长为 . 2cm2c 1cm能力提高8长方体的全面积为 11，十二条棱的长度之和为 24，求这个长方体的一条对角线长.解：设长方体的长、宽、高分别为 a、 b、 c，则 ，而对角线长()1424abc.222 2()65labcabc9如图所示，长方体 .1ABCD（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示. 如果不是，说明理由.解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面
8、都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.（2）截面 BCNM 的上方部分是三棱柱 ，下方部分是四棱柱11BCM.11ABMDCN探究创新10现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为 1233.1(长度单位：米). 某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为 32.41，第二种为 41.50.7若这两种长方体各需 900 个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面 3 位)10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有两种切法，见图()和( ). 切法 ()切割出 12 个第一种
9、长方体和 6 个第二种长方体，切法()切割出 5 个第一种长方体和 18 个第二种长方体.取 3 块原料，2 块按切法()切割，1 块按切法()切割得到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体因此，取 90 块原料，其中 60 块按切法()切割， 30 块按切法() 切割，共得到 870 个第一种长方体和900 个第二种长方体至此，没产生任何余料，但还差 30 个第一种长方体再取 2 块原料，按切法() 切割3(见图)，得 30 个第一种长方体每块原料剩下 1230.1 的余料因此，为了得到这两种长方体各 900 个，至少需 90292 块原料.此时，材料的利用率为 (3120.)0.2
10、19.9第 2 讲 1.1.2 简单组合体的结构特征学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体. 例题精讲：【例 1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个解：在长方体 中，取四棱锥 ，它的四个侧面都是直角三角形. 选 D.ABCDABCD【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 ，求球的半径. ,rR解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为 R+r，梯形的高即球
11、的直径为 ，22()()r所以，球的半径为 .【例 3】圆锥底面半径为cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. 2解：过圆锥的顶点 S 和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面 SEF，正方体对角面 CDD1C1，如图所示. 设正方体棱长为 x，则 CC1=x，C 1D1 。x作 SO EF 于 O，则 SO ，OE=1，2， ，即 .1ECS1EO(2/)1x ， 即内接正方体棱长为 cm.2()xcm点评：此题也可以利用 而求. 两个几何体相接、相切的问题，关 键在于发现一些截面之间CDSF的图形关系. 常常是通过分析几个 轴截面组合的平面图形中
12、的一些相似，利用相似比列出方程而求. 注意截面图形中各线段长度的计算.【例 4】以正四棱台（底面为正方形，各个侧面均为全等的等腰梯形）为模型，验证棱台的平行于底面的截面的性质： 设棱台上底面面积为 S1，下底面面积为 S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为 mn，则截面面积 S 满足下列关系： .21mSn当 m=n 时，则 （中截面面积公式）.12解：如图，ABCD 是正四棱台的相对侧面正中间的截面，延长两腰交于 P，平行于底面的截面为 EF. 根据棱台上下底面与平行于底面的截面相似的性质，上底面、下底面、截面的相似比为 .12:S设 PH=h，OH =x，则 , 1 ()S
13、PHhmnGxxnA.2 ()SPOmGhhxnA ，12()()()(nxmnhmxnSP CA D BH OE FGSDE OC1CFD1新课标高中数学必修精讲精练精练 月 日 : : 自评 分 4即 . 当 m=n 时，则 .21mSn 1212SmSn点评：利用台体平行于底面的截面与底面的相似，把面积比转化为相似比，与 对应高之比紧密联系，还要求具有较强的字母代数运算能力. 关于棱台的平行于底面的截面性质这一结论，也可推广到 圆台. 我们应特别重视中截面的性质，可以结合梯形的中位 线对中截面公式进 行理解. 第 2 练 1.1.2 简单组合体的结构特征基础达标1右图的几何体是由下面哪个
14、平面图形旋转得到的（ A ）.A. B. C. D.2下列几何体的轴截面一定是圆面的是（ C ）.A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台3把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（ D ）.A. 圆锥 B.圆柱 C. 圆台 D.由两个底面贴近的圆锥组成的组合体4水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（ B ）.A0 B6 C快 D乐5圆锥的底面半径为 r，高为 h，在此圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长为（ C ）.A. B. C. D. rh22rh2rh6三棱柱的
15、底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为 R，则这个三棱柱的底面边长为 . 3R7 （07 年安徽.理 15）在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）. .矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.能力提高8正四棱锥（棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形）有一个内接正方体，它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上. 若棱锥的底面边长为 a，高为 h，求内接正方体的棱长. 解：作截面，利用相似三
16、角形知识，设正方体的棱长为 x，则 ，解得hxaah9一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为 、 ，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为1S2h，求此棱台的侧棱长和斜高（侧面等腰梯形的高）.解：上、下底面正方形的边长为 、 ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧1S2棱长为 = ；221()lShA 21()h斜高为 = .h2 2214S探究创新10如右图，图是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有、的木块.（1）我们知道，正方体木块有 8 个顶点，12 条棱，6 个面，请你将图、的木块的顶点数、棱数、面数填入下表： 图号 顶点数 棱数 面数 8 12 6206快乐5
17、（2）观察你填出的表格，归纳出上述各种木块的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间的关系.（3）看图中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确？解：（1）通过观察各几何体后，得到下表：图号 顶点数 棱数 面数 8 12 6 6 9 5 8 12 6 8 13 7 10 15 7（2）由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数 V面数 F棱数 E=2；（3）该木块的顶点数为 10，面数为 7, 棱数为 15，有 10+715=2，与（2）中归纳的数量关系式“V+FE=2”相符.第 3 讲 1.2.2 空间几何体的三视图学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能
18、识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型.知识要点：1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图” ，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图” ，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”. 2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧） 、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.例题精讲：【例
19、1】画出下列各几何体的三视图：解：这两个几何体的三视图如下图所示. 【例 2】画出下列三视图所表示的几何体.解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓. 如下图所示.【例 3】如图， 图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm） ，所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体. 图（2）是由长方体切割出来的规则组合体.从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示.新课标高中数学必修精讲精练精练 月 日 : : 自评 分 6点评：画三视图之前，先把几何体的 结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角
20、度进行观察. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线 都用实线画出，被遮 挡的部分用虚 线表示出来. 绘制三视图，就是由客 观存在的几何物体，从观察的角度，得到反应出物体形象的几何学知 识.【例 4】某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如右图所示，问：（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？（2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状. 解：（1）由主视图与左视图可知，该楼有 3 层. 由俯视图可知，从前往后最多要经过 3 个房间.（2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间.楼房大致形状如右图所示.点评：根据三视图的特征，结合所 给的视图进行逆推，考察我们的
21、想象能力与逆向思维能力. 由三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三 视图与所给出的三 视图是否一致. 依据三视图进行逆向分析，就是用几何知识解决实际问题的一个方面. 在工厂中，工人 师傅都是根据零件 结构设计的三视图， 对零件进行加工制作.第 3 练 1.2.2 空间几何体的三视图基础达标1如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（ D ）.A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆锥2右图所示为一简单组合体的三视图，它的左部和右部分别是（ B ）.A. 圆锥，圆柱 B. 圆柱，圆锥 C. 圆柱，圆柱 D. 圆锥，圆锥3右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几
22、何体中的（ D ）.4一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是（ D ）.A. 球体 B. 圆锥 C. 圆柱 D.长方体5如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有 A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母 A,B,C 对面的字母分别为（ D ）.A. D,E ,F B. F,D ,E C. E, F,D D. E, D,F6一个几何体的三视图中，正视图、俯视图一样，那么这个几何体是球、圆柱、圆锥等；. (写出三种符合情况的几何体的名称 ) 7右图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为_，圆锥母线长为_.100， 10能力提高8
23、找出相应的立体图，并在其下方括号内填写它的序号解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所以依次为 C、A 、D、B. 9图中所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图.（注： 表示直径，图中为小圆直径；R 表示半径，图中为大圆半径）2030俯视图正视图左视图30A B. C D正视图 左视图 俯视图7解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示.在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实 线标出； 表示直径，R 表示半径；单位不注明时按 mm 计探究创新10用若干个正方体搭成一个几何体，使它的正视图与
24、 左视图都是如右图的同一个图. 通过实际操作，并讨论解决下列问题：（1）所需要的正方体的个数是多少？你能找出几个？（2）画出所需要个数最少和所需要个数最多的几何体的俯视图. 解：（1）所要正方体个数为 7、8、9、10、11 都行.（2）最少 7 个，其俯视图样子不唯一，如下图.最多 11 个，其俯视图如右图.（图中数字表示在该处的小正方体的个数） 第 4 讲 1.2.3 空间几何体的直观图学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图. 了解空间图形的不同表示形式.知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质
25、就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，得到直角坐标系 ，直观图中画成斜坐标系xoy，两轴夹角为 .xoy45（2）平行不变：已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x或 y轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半.例题精讲：【例 1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形. 解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示.【例 2】 （1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；（2）画棱长为 4cm 的正方体的
26、直观图 .解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的直角三角形 ABC 中取直角边 CB 所在的直线为 x 轴，与 BC垂直的直线为 y 轴，画出对应的 轴和 轴，使 .xy45xOy第二步，在 轴上取 ，过 作 轴的平行线，取 .xOCB 12CA第三步，连接 ，即得到该直角三角形的直观图.A（2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作水平放置的正方形的直观图 ABCD，使.45,BD,2cmD第二步，过 A 作 轴，使 . 分别过点 作z90Bz ,BCD111 1 11 113111111113 3新课标高中数学必修精讲精练精练 月 日 : : 自评 分 8轴的平行线，在 轴
27、及这组平行线上分别截取 .zz 4ABCDcm第三步，连接 ，所得图形就是正方体的直观图. ,ABCD点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“ 水平长不变 ，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线.【例 3】如右图所示，梯形 是一平面图形 的直观图. 若1AB， ， ， . 请画出原来的平1/ADOy11/BC23A11OD面几何图形的形状，并求原图形的面积.解：如图，建立直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 ； .1 12CO在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 .12DA在过点 A 的
28、x 轴的平行线上截取 .B连接 BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为，直角腰长度为 ，2,3BC2所以面积为 .25S点评：给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二 测画法规则，更要求我 们具有逆向思维的能力. 画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的 规则为“ 水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于 y轴的为垂直.第 4 练 1.2.3 空间几何体的直观图基础达标1下列说法正确的是（ B ）.A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C. 两个全等三角形的直观图一定也全等D. 两个图形的直观图是全等的三角
29、形，则这两个图形一定是全等三角形2对于一个底边在 x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ C ）.A. 2 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍224123如图所示的直观图，其平面图形的面积为（ B ）.A. 3 B. 6 C. D. 3324已知正方形的直观图是有一条边长为 4 的平行四边形，则此正方形的面积是（ B ）.A. 16 B. 16 或 64 C. 64 D. 以上都不对5一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为 20m、5m、10m，四棱锥的高为 8m，若按 1500 的比例画出
30、它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（ B ）.A4 cm， 1 cm，2 cm，1.6 cm B4 cm ，0.5 cm，2 cm，0.8 cmC4 cm ，0.5 cm ，2 cm，1.6 cm D4 cm ，0.5 cm，1 cm，0.8 cm6一个平面的斜二测图形是边长为 2 的正方形，则原图形的高是 . 4 27利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：三角形的直观图仍是三角形； 正方形的直观图仍是正方形；平行四边形的直观图仍是平行四边形；菱形的直观图仍是菱形. 其中说法正确的序号依次是 . 能力提高8 （1）画棱长为 2cm 的正方体的直观图； （2）画水平放
31、置的直径为 3cm 的圆的直观图.解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作水平放置的正方形的直观图 ABCD，使 .45,BAD2,1cmAD第二步，过 A 作 轴，使 . 分别过点 作 轴的平行线，在 轴z90BAz,Czz及这组平行线上分别截取 .2Ccm第三步，连接 ，所得图形就是正方体的直观图. ,D450329（2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的圆 O 中取直径 AB 所在的直线为 x 轴，与 AB 垂直的半径 OD 所在的直线为 y 轴，画出对应的 轴和 轴，使 .xy45xy第二步，在 轴上取 ，在 轴上取 ， .ABO， y12OC12DO第三步，圆的直观
32、图是椭圆，把 连成椭圆，即得到圆 O 的直观图. CD， ， ，9如图，正方形 OABC的边长为 1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.解：如图，建立直角坐标系 xoy，在 x 轴上取 ；1Acm在 y 轴上取 ；2OBcm在过点 B 的 x 轴的平行线上取 .1BCc连接 O,A,B,C 各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC 为平行四边形，,2813()Cc 平行四边形 OABC 的周长为 ，面积为 .128()c212()cm探究创新10某几何体的三视图如下.（1）画出该几何体的直观图；（2）判别该几何体是否为棱台.解：
33、该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线即成.（1）画法：如图，先画轴，依次画 x、 y、 z轴，三轴相交于点 O，使， . 在 z轴上取 , 再画 x”、 y” 轴.45xOy90xz “8Ocm在坐标系 xOy中作直观图 ABCD，使得 AD=20cm，AB =8cm；在坐标系 xOy中作直观图 ABCD，使得 AD=12cm，AB =4cm.连接 AA、 BB、 CC、 DD，即得到所求直观图.（2）如右图所示，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为 h、 h. 根据相似比，分别有 、 ，1280h816h解得 .20,6由 可知，各侧棱延长不交于一
34、点.h所以，该几何体不是棱台.第 5 讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式） ；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.知识要点：表面积相关公式 表面积相关公式棱柱2SlcA侧全 底 侧 侧 棱 长 直 截 面 周 长，其 中圆柱 （r：底面半径， h：高）2Srh全棱锥 侧全 底 圆锥 （r ：底面半径，l：母线长）全棱台 SS侧全 上 底 下 底 圆台2()r全（r：下底半径，r：上底半径，l：母线长）例题精讲：【例 1】已知圆台的上下底面半径分别是 2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：设
35、圆台的母线长为 ，则l圆台的上底面面积为 ，24S上新课标高中数学必修精讲精练精练 月 日 : : 自评 分 10圆台的上底面面积为 ，25S下所以圆台的底面面积为 .9下上又圆台的侧面积 ，()7l侧于是 ，即 为所求.725l9l【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.解：由三视图知正三棱柱的高为 2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为 .23m设底面边长为 a，则 ， .34a正三棱柱的表面积为.21242238()S侧 底【例 3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？
36、（精确到 0.01 m2） 解：上部分圆锥体的母线长为 ， 21.5其侧面积为 .15.2S下部分圆柱体的侧面积为 .18S所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为（m 2）.215.51.50.S点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算.【例 4】有一根长为 10 cm，底面半径是 0.5 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 8 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到 0.01 cm）解：如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形 ABCD.由题意知，BC=
37、10 cm, , 点 A 与点 C 就是铁丝的起20.58ABcm止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度. .2210(8)7.()ACc所以，铁丝的最短长度约为 27.05 cm. 点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将 问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲） 为直，使空 间图形问题转 化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法 .第 5 练 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积基础达标1用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ B ）.A. 8 B. C. D. 8422
38、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 ，则圆台较小底面84的半径为（ A ）. A. 7 B. 6 C. 5 D. 33一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ A ）.A. B. C. D. 1214121424一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是 9cm 和 15cm，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是（ A ）.A. 160 cm2 B. 320 cm2 C. cm2 D. cm240898095 （04 年湖北卷.文 6）四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G 、H，则四面体 EF
39、GH 的表面积与四面体 ABCD 的表面积的比值是（ C ）.图 2-3-1212m18m5m11A B C D12761986如图，已知圆柱体底面圆的半径为 ，高为 2， 分别是两底面的直径，ABCD，是母线若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 点，则小虫爬行的最短路线DC，的长度是 （结果保留根式） 27已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1：2，则它们的高之比为 . 2:5能力提高8六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是 8 cm 和 18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13 cm，求它的表面积. 解：一个侧面如右图，易知 ， .1852
40、a2135h则 ，186936()2Scm侧 面 积， .2sin0()上 底 （ 218sin60)483()S cm下 底 （所以，表面积为 248583cm（ ）9一个圆锥的底面半径为 R，高为 H，在这个圆锥内部有一个高为 x 的内接圆柱. 当 x 为何值时，圆柱的侧面积最大？最大值是多少？解：设圆柱的底面半径为 r，则 ，解得 .xRrH 圆柱的侧面积 .22xS由 S 是 x 的二次函数， 当 时，S 取得最大值 . Hx于是，当圆柱的高是已知圆锥高的一半时，它的表面积最大，最大面积为 .2RH探究创新10. 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是 30cm，底面的长是 25c
41、m，宽是 20cm设水箱里盛有深为 cm 的水，若往水箱里放入棱长为 10cm 的立方体铁块，试求水深.a解：设放入正方体后水深为 h cm. 当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由 ，解得 .250125010a8a当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由 ，解得 .3 2所以， 当 0 8 时，放入正方体后没有被水淹没，则 ，得 .a hh54当 时，放入正方体后被水淹没， 则 ，解得 . 82250210aa当 时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时 .3 3综上可得，当 . 5 (08)42 3ah第 6 讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的
42、计算公式（不要求记忆公式） ；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识要点：1. 体积公式：体积公式 体积公式棱柱 VShA底 高 圆柱 2VrhABCD新课标高中数学必修精讲精练精练 月 日 : : 自评 分 12棱锥 13VShA底 高 圆锥 213Vrh棱台 ()圆台 ()2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：.13VShA锥 0 1()3VSh台 S VhA柱例题精讲：【例 1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2、3
43、、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为 ，则 ，,abc2,acb三式相乘得 .2()36abc所以，长方体的体积为 6.【例 2】一块边长为 10 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角m形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式 ,并求出函数的定义域. 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为 .cm在 中， , RtEOF15,2cOFx所以 , 于是 .214x2534V依题意函数的定义域为 .|01x【例 3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为 ，母线长为 6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将3容器倾斜让水流出，当
44、容器中的水是原来的 时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .6解：容器中水的体积为 .22()18Vrl流出水的体积为 ，如图， .5(1)36223()Vlr设圆柱的母线与水平面所成的角为 ，则 ，解得 .tan60所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 60.点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.【例 4】在边长为 a 的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积. 分析：扇形的圆心是正方形的一个顶点，圆的圆心在由这个顶点引出的对角线上，并且这个圆与扇形所在的圆相
45、切,并且与正方形的两边相切 。 解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为 x，圆半径为 r，则， x=4r ， .124xr2(5)ABxrr又 AB= ， ，解得 .a(52)a3a圆锥的高 ，1hxr .321()360Vr点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系. 搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些 发生了变化. 第 6 练 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积基础达标1已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 和 ，则 （ D ）.1V212:A. B. C. D. :31:2:13:
46、 h rO FEDBAC13图 (1) AP AB图 (2)CA P AB C2三棱锥 VABC 的底面 ABC 的面积为 12，顶点 V 到底面 ABC 的距离为 3，侧面 VAB 的面积为 9，则点 C 到侧面 VAB 的距离为（ B ）.A. 3 B. 4 C. 5 D. 63若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ B ）.A. B. C. D. 6cmc318cm312cm4矩形两邻边的长为 a、b，当它分别绕边 a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为（ A ）. A. B. C. D. ba3()3()5如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ B ）.A B . C. D . 423436836已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_. 31cm7 （04 年广东卷.15）由图(1)
