1、微积分的理论展开顺序与历史展开顺序的联系与区别在本学期，我们学习了数学史，这门课让我对我们所学的数学知识有了更深度认识。尤其在微分学的知识上，我知道了微积分的理论展开顺序与历史展开顺序是有联系与区别的。对此，我将浅谈一下我的认识。一、微积分的历史展开顺序1.微积分的创立解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代。我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，在古希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。在
2、古代，刘徽撰写的九章算术商功中提到：“斜解立方，得两壍堵。斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。 ” 他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异“，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。卡瓦列利运用祖暅原理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，是现行中学立体几何教材求几何体积的基本雏形。在现代，1638 年伽利略关
3、于两门新科学的对话中，他建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为 45时达到，等待。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。德国天文学家、数学家开普勒在 1615 年发表测量酒桶的新立体几何论述了圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。他的方法要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲变形的面积及旋转体的体积。解析几何的创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。笛卡儿在几何学中提出了求切线的所谓“圆法” ，本质上是一种代数
4、方法。就在同一年，费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数方法。1666 年 10月，牛顿著作了流数简论是历史上第一篇系统的微积分文献。但是流数简论在许多方面是不成熟的，牛顿经过研究后加以改正，最后牛顿微积分学说最早的公开表述出现在 1687 年出现的力学著作自然哲学的数学原理 。2微积分的发展微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利” 。在 18 世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18 世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。在从 1
5、7 世纪到 18 世纪的过渡时期，雅各布伯努利和约翰伯努利推广了莱布尼茨的学说。18 世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的，他在 1748 年出版的无限小分析引论以及他随后发表的微分学和积分学是微积分史上里程碑式的著作。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号，对分析表述的规范化起了重要作用。18 世纪推进微积分及其应用贡献卓越的数学家中还有克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。他们虽然不像牛顿、莱布尼茨那样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没。3.微积分的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到 19
6、世纪初开始获得成效。这方面的先声来自捷克学者波尔察诺，他在 1817 年发表了纯粹分析证明 ，以证明连续函数的中值定理为目的，其中包含了对函数连续性、导数等概念的合适定义，但波尔察诺的工作长期湮没无闻。19 世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西。柯西有许多著作都是以工科大学讲义形式面世的。在分析方法方面，他写出了一系列著作，其中最有代表性的是分析教程和无限小计算教程概论 ，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。二、微积分的理论展开顺序在我们的实际学习中，微积分的理论展开
7、顺序是：集合论、实数论或函数（变量对应关系说） 、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数微分（中值定理） 、积分、级数、多元积分。而在我们所学的数学分析中的顺序是：实数集与函数、数列极限、函数极限、函数连续性、导数与微分、实数的完备性、一元函数积分、级数、多元函数微分、多元函数积分。我们所学习的微积分是循序渐进的，就如我们学会了数列的极限就可以推广到函数的极限，学会了一元函数的微分或积分就可以推广至多元函数的微分或积分，函数极限定义了函数的连续性、可导、可微性就可以在此基础上提出了不定积分与定积分的概念等。三、两者展开顺序的联系与区别1.联系我们的学习是以学习间接经验为主，以直接经验为基础。我
8、们学习微分就是学习数学家们得出的理论，而微分的理论展开顺序也需要微分的历史展开顺序做指导。2.区别我们所学习的理论和历史上微分发展的理论顺序是相反的。历史中的理论发现是因为发现了问题需要被解决所以才开始研究微分，但是在解决这个问题时又产生了许多新的问题，所以有开始对新的问题开始研究，在不断重复的过程中，一点一点的探索出了微积分。就例如我们要求一个曲线的弧长，在我们的理论展开顺序中我们可以用曲线积分做，而解决曲线积分的问题中需要将曲线积分转化为定积分或二重积分的形式而且还需要微分的知识，这些知识在我们学习理论知识的过程中就已经学习了，然而在历史的顺序中要求一个曲线的弧长，科学家们会进行探索，在历
9、尽了千辛万苦的研究中终于发现了曲线积分但是不会求解，就只能接着探索，慢慢就发现了定积分、不定积分和微分等知识。在我看来，我们的微分理论展开顺序相对于微分历史展开顺序有好有坏。优点是在我们的理论学习中微分的学习是有简单到复杂的，这让我们的学习可以轻松不少。所学的内容就如上述所说的一样学习的微积分是循序渐进的，我们学会了数列的极限就可以推广到函数的极限，学会了一元函数的微分或积分就可以推广至多元函数的微分或积分，函数极限定义了函数的连续性、可导、可微性就可以在此基础上提出了不定积分与定积分的概念。缺点是我们的微积分理论展开顺序忽略了历史的科学家所研究的问题，我们在开始学习时大多数都是在迷茫的状态，我们不知道我们学习的这些内容能干什么，直到学到后面才恍然大悟，原来我们之前学习的内容是解决这个问题的。就如刚才所说求曲线弧度时，在之前都不知道学微分积分能干什么。而且我们学习理论知识时，忽略了对数学史的介绍，只注重于学习理论。就如老师说的学习语文时还要对作者加以介绍，学习数学时我们只需要学习理论，就像是柯西准则、泰勒公式、拉格朗日中值定理等我们只知其名不认其人，这也会缺乏数学学习的乐趣。
