1、浙江大学20082009 学年秋冬学期 微积分I 课程期末考试试卷（A 卷） 注意：解题时应写出必要的解题过程。除第(1)题外, 如果只写答案而无过程，则该题不给分。 一、 求导数或微分（每小题 6分） (1) 设 ， 求 e x x y x 3 sin ) 2 (arcsin ) (cos . d y(2) 求由参数式 所确定的函数 y y ( x)在 t t y t t x 6 1 arctan 3 1 t 处的一阶导数 x y d d 及二阶 导数 2 2 d d x y . 二、 求极限（每小题 6分） (3) 求 . ) 1 1 1 ( lim 0 x x e x(4) 求 . |
2、| ln sin lim 2 x x x x x x (5) 求 2 1 0 cos sin lim x x x x x . 三、 求积分（每小题 6分） (6) 求 . d ln ) 1 ( 1 2 2 x x x x x x (7) 求 . d 1 ) | | 2 ( 1 1 2 2 x x x x (8) 已知 , 2 d 0 2 x e x求 . d 1 0 3 x x e x1四、 （每小题 6分） (9) 试将函数 , 2 1 2 1 arctan ) ( x x x f 展开成 x的幂级数，并写出此展开式成立的开区间. (10) 求幂级数 1 ! n n n x n n 的收敛半
3、径及收敛区间，并讨论收敛区间端点处该级数的收敛性 五、 （每小题 8分） (11) 求由方程 确定的函数 0 2 2 2 2 2 3 x y xy y y ) (x y y 的极值，并问此极值是极 大值还是极小值，说明理由. (12)求由曲线 与 围成的图形绕水平线 2 x y 2 x y 4 y 旋转一周所生成的旋转体体积 V. (13)设 在区间 上连续， ) (x f 1 , 0 0 ) 0 ( f ，并设 在 ) (x f 0 x 处存在右导数 ， 又设 时， 1 ) 0 ( f 0 x ) x x 2 2 0 0 ( d ) ( ( x x f u u u f F d ) u u 与
4、 为等价无穷小，求常数 n及 A的值. n x A六、 （每小题 8分） (14) 设 在闭区间 上连续，在 内可导，(I) 叙述并证明拉格朗日中值定理； ) (x f , b a ) , ( b a (II) 如果再设 ，且 不是常数，试证明至少存在一点 ) ( ) ( b f a f ) (x f ) , ( b a 使 0 ) ( f . (15) 设 n为正整数， x n e x t t t t e x F 2 4 0 d 1 1 d ) ( 2 . (I) 试证明：函数 有且仅有一个（实）零点（即 ) (x F 0 ) ( x F 有且仅有一个( 实 ) 根, 并且是正的，记此零点为
5、 ；(II) 试证明级数 收敛. n x 1 2 n n x2 参考解答： 一、（1） x x x x x x x x y x d 4 1 1 ) 2 (arcsin 6 ) sin tan cos ln (cos ) (cos d 2 2 sin . （2） 2 ) 1 ( 6 1 1 1 6 d d ), 1 ( 3 1 1 1 6 3 d d 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t t t x y t t t x y, . 4 d d , 6 d d 1 2 2 1 t t x y x y二、 (3) 2 1 2 1 lim 1 lim ) 1 ( 1 lim ) 1 1 1 ( l
6、im 0 2 0 0 0 x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x . (4) 解 1： . 2 ) | | ln 1 ( ) 1 sin 1 )( ( lim | | ln sin lim 2 2 x x x x x x x x x x x x x解 2：用洛必达法则， 原式 x x x x x x 1 1 1 1 sin 2 cos 2 lim 2 . 2 1 1 1 sin 1 | | 2 ) 2 cos 1 ( 2 lim 2 x x x x x x x(5) 解 1： 2 1 0 cos sin lim x x x x x 2 0 ) cos s
7、in ln( lim x x x x e x e x x x x e x x x x x x x x e x x ) cos sin ( 2 cos lim ) cos sin ( 2 sin sin cos lim 0 0解 2：原式 2 0 ) 1 cos sin ( 1 ln lim x x x x e x 2 0 1 cos sin lim x x x x e x e e x x x x e x 2 1 1 2 0 ) cos 1 sin ( lim三、(6) x x x x x x d ln ) 1 ( 1 2 2 x x x x d ln ) 1 ( 1 1 2 ) 1 1 ( d
8、 ln ln d ln x x x x x x x x x x d ) 1 ( 1 1 ln ln 2 1 2 x x x x x x d ) 1 1 1 ( 1 ln ln 2 1 2 C x x x x x ln | 1 | ln 1 ln ln 2 1 2C x x x x x | 1 | ln ln 1 ln 2 1 2(7) x x x x d 1 ) | | 2 ( 1 1 2 2 x x x x x x d 1 ) 4 | | 4 ( 1 1 2 2 2 x x x d 1 10 1 0 2 2 t t t t x d cos sin sin 2 0 2 2 t t t d )
9、sin sin ( 2 0 4 2 8 5 ) 4 3 1 ( 2 2 1 10 . 3 (8) 0 3 d 1 x x e x 0 1 d ) 1 ( 2 x e x d 1 2 0 2 1 0 x e x x e x x 0 2 1 d 2 x e x x 2 ) 2 1 ( 2 . 或 0 2 d 2 1 2 t t e t t x t . 2 2 4 d 4 0 2 t e t四、(9) , 2 1 2 1 arctan ) ( x x x f 4 ) 0 ( f ， 2 2 2 4 1 2 ) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 ) 2 1 ( 2 ) 2 1 2 1 ( 1 1 ) (
10、 x x x x x x x f , 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 0 2 1 2 1 0 2 n n n n n n n n x x 2 1 2 1 x . x n n n n x x f x f 0 0 2 1 2 1 d ) 2 ) 1 ( ( ) 0 ( ) ( , 1 2 1 2 ) 1 ( 4 0 1 2 1 2 1 n n n n x n 2 1 2 1 x . (10) 记 n n n n a ! ，级数 1 ! n n n x n n 的收敛半径： e n n n n n a a R n n n n n n n n ) 1 1 ( lim )! 1 ( ) 1 ( !
11、lim lim 1 1 ， 收敛区间为 ，在 ) , ( e e e 处，级数为 1 ) ( ! n n n e n n ，记 n n n e n n u ! ，有 x1 ) 1 1 ( 1 n n n n e u u ，因而 ， 0 ) 1 ( lim n n u n所以级数在 e x 处发散. 五、(11) 由方程 ，有 0 2 2 2 2 2 3 x y xy y y即 () 0 2 2 2 4 6 2 x y y x y y y y y 0 2 2 ) 1 2 4 6 ( 2 x y y x y y令 ，得 0 y x y ，代入原方程，有 ， 0 ) 1 2 ( 2 2 2 3 x
12、x x x x x解得唯一驻点： 0 x ，对应 ，再由()式，有 0 y， 0 2 2 ) 2 4 12 ( ) 1 2 4 6 ( 2 y y y y y y x y y上式代入 0 , 0 , 0 y y x ，得 0 2 ) 0 ( y ， 所以函数 在 ) (x y y 0 x 处取得极小值 . 0 y 4 5 4 y 4 2 x y ) 1 , 1 ( ) 4 , 2 ( 2 x y o 2 y (12)曲线 与 2 x y 2 x y 的交点 如图 ), 4 , 2 ( ), 1 , 1 ( 2 1 2 2 2 d ) 2 ( 4 ( ) 4 ( x x x V 5 108 d
13、9 4 12 ( 2 1 4 2 x x x x x 1 (13) n x x A x F ) ( lim 0 n x x x x A u u f u u u f x 2 2 0 0 0 d ) ( d ) ( lim 1 0 0 1 2 2 2 2 0 0 2 2 d ) ( lim ) ( 2 ) ( 2 d ) ( lim n x x n x x nx A u u f nx A x f x x x f x u u f3 2 0 2 2 0 ) ( lim ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( 2 lim n x n x x x f n n A x n n A x f x 2 5 2 0 )
14、 0 ( ) ( lim ) 1 ( 2 x x f x f n n A n x , 1 ) ( lim 0 n x x A x F , 1 ) 0 ( ) 0 ( ) ( lim 2 2 0 f x f x f x1 ) 1 ( 2 , 5 n n A n , 则 . 10 1 , 5 A n 六、(14) (I) 略. (II) 设存在 使 ，在区间 上用拉格朗日中值定理，存在一点 ) , ( 0 b a x ) , ( b a ) ( ) ( 0 a f x f , 0 x a ) , ( 0 x a 使 . 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 a x a f x f f 若存在 使 ，
15、在区间 上用拉格朗日中值定理，存在一点 ) , ( 0 b a x ) , ( b a ) ( ) ( 0 b f x f , 0 b x ) , ( 0 b x 使 . 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 x b x f b f f (15) (I) x n e x t t t t e x F 2 4 0 d 1 1 d ) ( 2 ， 0 1 1 ) ( 4 2 nx x n x e e n e x F ， 在 ) (x F ) , 0 ( 上递增，且 , 0 d 1 1 ) 0 ( 1 2 4 t t F e t t t e n F n t 2 4 1 0 , 0 d 1 1 d ) 1 ( 2所以存在唯一的 ) 1 , 0 ( n x n 使 即 有且仅有一个（实）零点. . 0 ) ( n x F ) (x F(II) , 1 2 2 n x n 而 1 2 1 n n 收敛，则级数 收敛. 1 2 n n x
