1、要点梳理 1.函数的零点 （1）函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使_成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.,题型训练14 函数与方程,f(x)=0,基础知识 自主学习,（2）几个等价关系方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与_有交点 函数y=f(x)有_. (3)函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_,那么函数y=f(x)在区间_内有零点,即存在c(a,b),使得_，这个_也就是f(x)=0的根.,f（a）f（b）0,(a，b),f(c)=0,c,x轴,零点,2.二次函数y=ax2+bx+c (
2、a0)的图象与零点的关系,(x1,0), (x2,0),(x1,0),无,一个,两个,3.二分法 （1）二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_,使区间的两个端点逐步逼近_,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_,给定精确度 ；第二步，求区间（a，b）的中点x1；,f(a)f(b)0,一分为二,零点,f(a)f(b)0,第三步，计算_： 若_，则x1就是函数的零点； 若_，则令b=x1 (此时零点x0(a,x1); 若_，则令a=x1 (此时零点x0(x1,
3、b); 第四步，判断是否达到精确度 ：即若|a-b| ,则 得到零点近似值a（或b）; 否则重复第二、三、四步.,f(x1),f(a)f(x1)0,f(x1)f(b)0,f(x1)=0,温馨提示: 对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在a,b上连续; (2)f(a)f(b)0; (3)在（a,b）内存在零点. 事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.,题型一 零点的判断 1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f（x）=x2-3x-18，x1，8；(2)f（x）=log2(x+2)-x，x1，3.第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在
4、性定理或利用两图象的交点来求解.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 （1）方法一 f（1）=12-31-18=-200， f(1) f(8)0， 故f(x)=x2-3x-18,x1，8存在零点. 方法二 令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x1，8. (x-6)(x+3)=0， x=61，8,x=-31，8， f（x）=x2-3x-18，x1，8有零点.,(2)方法一 f（1）=log23-1log22-1=0,f(3)=log25-3log28-3=0, f（1） f（3）0， 故f(x)=log2(x+2)-x,x1，3存在零点. 方法二 设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐
5、标系 中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1x3时， 两图象有一个交点， 因此f(x)=log2(x+2)-x, x1，3存在零点. 函数的零点存在性问题常用的办法 有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得 说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是 必要条件.,探究提高,题型二 函数零点所在区间的判断 2.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点 的区间是 （ ） A.0，1 B.1，2C.-2，-1 D.-1，0解析 f（-1）=3-1-(-1)2= f（0）=30-02=10，f（-1）f（0）0，有零点的区间是-1，0.,D,3.(2009天津理，4)设
6、函数 (x0),则y=f(x) （ ）A.在区间 (1,e)内均有零点B.在区间 (1,e)内均无零点C.在区间 内有零点，在区间(1,e)内无零点D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点,解析 因为因此f(x)在 内无零点.因此f(x)在(1，e)内有零点. 答案 D,题型三 函数零点个数的判断 4.函数f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则a的取值范围是 （ ）A. B.a1C. D. 解析 f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则f(-1)f(1)0,即,D,5、求函数y=ln x+2x-6的零点个数.该问题转化为求函数y=ln x与y=6-2x的图象
7、的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.,思维启迪,解 在同一坐标系画出 y=ln x与y=6-2x的图象，由 图可知两图象只有一个交点, 故函数y=ln x+2x-6只有一个 零点.若采用基本作图法，画出函数y=ln x+ 2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=ln x 与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.,探究提高,6.方程|x2-2x|=a2+1(aR+)的解的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4解析 aR+，a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图， y=|x2-2x|的图象与y=a2+1 的图象总有两个交点. 方程有两解.,解析 f（x）=x3+
8、bx+c （b0）， f(x)=3x2+b0,f（x）在-1,1上为增函数, 又 f（x）在 内存在唯一零点.,7.设f(x)=x3+bx+c (b0)(-1x1),则方程f(x)=0在-1,1内( ) A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根 D.没有实数根,8.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)= x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0有三个实根；当x1时，恰有一实根.则正确结论的编号为_.,题型四 函数零点的性质应用 9.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是_.解析 g（x
9、）=-6x2-5x-1的零点为,10.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式 af(-2x)0的解集是_.解析 f（x）=x2+ax+b的两个零点是-2，3. -2，3是方程x2+ax+b=0的两根，由根与系数的关系知f(x)=x2-x-6.不等式af(-2x)0，即-(4x2+2x-6)0 2x2+x-30,解集为,题型五 函数零点的分布问题 11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间0，2上 有解，求实数m的取值范围.解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x0，2，若f(x)=0在区间0，2上有一解，f（0）=10,则应有f(2)0,又f（2）=22+（
10、m-1）2+1,m,若f(x)=0在区间0,2上有两解,则由可知m-1.,12.已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间-1，1上有唯一的零点,求a的取值范围.解 （1）当a=0时，f(x)=2x-3.令2x-3=0,得x= -1，1f（x）在-1，1上无零点，故a0. （2）当a0时，f(x)=2ax2+2x-3-a的对称轴为,当 -1,即0 时，须使解得a1,a的取值范围是1，+).,当 1,即 a0时，须有 a的解集为 . 综上所述，a的取值范围是,题型六 函数零点的近似问题及二分法 13.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公 共点横坐标的
11、是 （ ） 解析 图B不存在包含公共点的闭区间a，b使函数f（a）f（b）0.,B,14、（2009福建文，11）若函数f（x）的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 （ ）A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1 D. 解析 g(x)=4x+2x-2在R上连续且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则,又f(x)=4x-1零点为f(x)=(x-1)2零点为x=1;f(x)=ex-1零点为x=0;零点为 答案 A,题型七 函数零点综合的应用 15、(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (
12、x0).(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.（1）可结合图象也可解方程求之. （2）利用图象求解.,思维启迪,解 （1）方法一 等号成立的条件是x=e. 故g(x)的值域是2e，+)， 4分 因而只需m2e，则 g(x)=m就有零点. 6分 方法二 作出 的图象如图：4分 可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e. 6分,方法三 解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根， 4分等价于 故m2e. 6分(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根， 即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个 不同的交点，,作出 （x0）的图象. f（x）=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为x=e，开口向下， 最大值为m-1+e2. 10分 故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. m的取值范围是（-e2+2e+1,+). 12分,（3）当a0时，当0 1,即a 时，须有又a a的取值范围是,
