1、2O10年第4期 “希望杯”及其它数学竞赛 数理天地高中版 柳西不等式的鼠彩蕊国 戴志祥(浙江省绍兴市高级中学 312000) 柯西不等式 设口l，nz，日 ，bl，b2，b R， 则(n；+ni+n：)(6 +b；+b：) (口lb1+口2b2+口 b ) ， 当且仅当b 一0(i一1，2，”)或存在一个数k， 使得口 一kb ( 一1，2， )时，等号成立 柯西不等式形式优美，有重要的应用价值 应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变 形本文归纳运用柯西不等式解题的变形技巧， 供大家参考 1等价变形 将要解决的不等式问题作等价变形，构造 出 个实数的平方和与另 个实数平方和的乘 积的形式 例
2、1 已知口，b，Cl ，求证： + +南 3b C b +f +n口+ 。2 证明 + + 3， (a+6+ 一1 一1一1 )号， 甘(“+6)+(6+ )+(c+n)( + + ) 9， 由柯西不等式，得 (n+6)+(6+c)+(c十n)( + + ) 一( ) +( )。+( _=F ) ( ) +( ) +( ) (1+1+1)。一9， 故原不等式成立 2配辅助式 为了应用柯西不等式，有时要根据所证不 等式的结构特征，结合柯西不等式等号成立条 件，匹配适当的辅助式，使问题获证 例2 设，b，fR ，求证： 上 巫上 n b C 3、， 分析考虑到所证不等式当且仅当nb C时等号成立，
3、这时 ( )。一 + b2一 + ， 于是结合柯西不等式等号成立条件，考虑匹配 辅助式1+ 证明 由二元柯西不等式，得 (1 q-A)(1 q- b2 (1+A鲁)。， 两边开方，得 而弼 同理而孵1 ， 而孵 ， 将上面三式相加并整理，得 a2+五A b 2 b2+Ac 2 vd+,la 2 因为 + +旦3， 代入(*)，得 上 4- 3 r 例3 设z，Y，20且4x+3y+5z一1， 求 + + 的最小值，并指出相应 的z，Y， 的值 数理天地高中版 “希望杯”及其它数学竞赛 2010年第4期 分析考虑到 4z+3 +5 一(z+ )+2( +2)+3(z+z)=1， 要求 + + 的
4、最小值，可匹配辅 助式(z+y)+2( + )+3(z+ )，为应用柯 西不等式创造条件 解 4 +3 +5 一(1z+ )+2( +z)+3( +z)一1， 由柯西不等式，得 再1 + 十1 1 =(4 +3y+5驯(1，1 q_1) 一E(x+ )+2( + )+3(z+z)( 丰 + + ) (1+,g4- ) ， 当且仅当 (z+ )。一2(y+z) =3(z+z)。 且4z+3 +5z=：1时等号成立，得 6 4-2 一3 12(1-t-2+,8) 6+3 一2 12(1+2+3) 2 -t-3 一6 12(1+2+,f3) 故 + + 的最小值为 (1+2+,5) 3适当换元 有时
5、根据所证不等式的结构特征，适当换 元，转化为容易应用柯西不等式的结构特征，使 问题简捷获解 例4 已知a，b，CR+且a+b 4-C=1， 牡： + + 证明 设z一 _二F ， 一、 ， z一 而， 贝0 ， ，zo且5z +y +2z。一7， 由柯西不等式，得 24 所以 又 所以 故 32 4-y+ z 4-y+z 舌 十 +z 十瓜+ 4配系数 为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间 的联系，有时要通过巧配系数来完成 例5 当点P沿直线y一2x 4-6移动，点 Q在椭l- ra-+ 一1上运动时，线段PQ的长 u 度的最小值等于 (第十四届(03年)希望杯高二培训) 解设Q(x。， 。)到直线y一2x 4-6的距 离为d 因为 所以 又 PQ l 一 由柯西不等式，得 2 XO ) (詈2+ )， 所以 即 所以 一2,72x。一 。2 ， 2z0一Yo 4-60， I PQ I 一 故线段PQ 一 二 5 的长度的最小值等于 6 一2 一 Z 9一 + y 一 “ = 一2 + 一 斗 y l一一) ， r f L， z 卜l 一 一 y ) + + + _+_15 鬈
