1、2015 之构造函数14 （本小题共 14 分）已知 ，函数 ， ， .0a2321()fxax()1gaxR（）当 时,求函数 在点 的切线方程；1a()fx,（）求函数 在 的极值;()f,（）若在区间 上至少存在一个实数 ，使 成立，求正实数 的取值范围020x00()fgxa解: 由 求导得， . 1 分31()fxax2)fa（）当 时 , 3 分()1f(f所以 在点 的切线方程是 4 分 f, 1yx（）令 , 0得 ：x12xa(1)当 即 时2ax(-1,0) 0 (0,)2a2(,1)a()f+ 0 - 0 + 极大值 极小值 6 分故 的极大值是 ;极小值是 ; 7 分(
2、)fx2343a(2) 当 即 时1a0在 上递增, 在 上递减, 8 分()f)(1)所以 的极大值为 ,无极小值. 9 分x23f（）设 . 21()()3Fgxax(0,2x对 求导，得 ， 10 分2 )a 因为 ， ，所以 ，1(0,2xa2()(F在区间 上为增函数，则 . 12 分)Fmax1)依题意，只需 ，即 ，max()021038423即 ，解得 或 （舍去）.268a717所以正实数 的取值范围是 . 14 分(,)11 （本题满分 14 分）已知函数 （其中 a 为常数） 。22),()fxagxax（1）如果函数 有相同的极值点，求 a 的值；(yfg和（2）若方程
3、 恰有 3 个不同的根，求实数 a 的取值范围。)1x（3）设 ，问是否存在 ，使得 ，若存在，请求出实数 a 的取值范围；0a01,)x00()fx若不存在，请说明理由。12 （甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）设函数2()ln(1)fxbx,其中 0b.当 时,判断函数 (f在定义域上的单调性;证明对任意的正整数 ,不等式 2311ln()n成立.【答案】16.已知函数 .(1) 若曲线 在处的切线方程为 ，求实数 a 的值；(2) 若 f(x)的值域为 ，求 a 的值；(3) 若 a0, 在 上单调递增;21-(x，)(f)(f)1-0m，时，
4、0, 在 上单调递减.),21-(xm)(xf)(f),21-m综上所述： 00,当 时 ， 在 单 调 递 增 ；在 上单调递增,在 上单调递减.时 ，当 )(f)21-， ),-(5 分() 依题意，设 ，不妨设 ，,(AafBbf0ab则 恒成立，6 分()1ABfkb,则 恒成立，所以 恒成立，()()faf令 8 分2ln,gxxm则 g(x)在 为增函数，0,所以 ，对 恒成立，10 分211() 0(,)x所以 ，对 恒成立，2mx(,)x即 ，对 恒成立，24(,)因此 .12 分1815 （本小题满分 14 分）已知 ()lnfx， 217()(0)gxmx，直线 l与函数
5、()fx、()gx的图象都相切，且与函数 的图象的切点的横坐标为 。() 求直线 的方程及 m的值；()若 (1)(hfxg(其中 )是 (的导函数)，求函数 h的最大值；()当 0ba时，求证： 2bafabf。解析：解：() ()fx， (1).直线 l的斜率为 1，且与函数 ()fx的图象的切点坐标为1,0.直线 l的方程为 1yx. 2 分又直线 l与函数 ()g的图象相切, 方程组 217yxm有一解.由上述方程消去 y，并整理得 2(1)90xmx 依题意，方程有两个相等的实数根， 2()490解之，得 4m或 20 . 5 分()由( )可知 217()gxx， ()2gx ()ln)()hx1(xh . 当 1,0时， 0hx，当 ,)时， ()0h.当 时， ()hx取最大值，其最大值为 2. () )(2ln(l2lnl1)2abafabfab. 11 分0， 0 ， 10.由()知当 (1,)x时， ()hx当 (,)x时， ln(1)x，ln2ba. )2bafabf . 14 分16.【 山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 （本题满分 14 分）已知函数 21ln0.fxax（I）讨论 的单调性；（II）若 fx有两个极值点 12,x，证明： 123ln.fxf
