1、1东北三省三校 2015 年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1、已知集合 21xA，20x，则 A（ ）A 01x B 0 C 1x D 21x2、复数i（ ）A i B 1i C i D i3、点 1,到抛物线2yax准线的距离为 2，则 a的值为（ ）A 4 B 1C 4或1D14或 24、设 nS是公差不为零的等差数列 na的前 项和，且 10a，若 59S，则当 nS最大时， （ ）A 6 B 7 C D5、执行如图所示的程序框图，要使输出的 S值小于 1，则输入的 t
2、值不能是下面的（ ）A 201 B 2013 C 204 D 2056、下列命题中正确命题的个数是（ ）对于命题 :pRx，使得 2x，则 :pRx，均有210x 是 q的必要不充分条件，则 p是 q的充分不必要条件命题“若 y，则 sinxy”的逆否命题为真命题“ 1m”是“直线 1:l210m与直线 2:l30xy垂直”的充要条件A 个 B 个 C 3个 D 4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为 1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A 6 B 8 C 0 D 228、设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 ，焦点 F到一条渐近线的距离为 d，若 F3d，则双曲
3、线离心率的取值范围是（ ）A 1,2B 2,C 1,3 D 3,9、不等式组 04xy表示的点集记为 A，不等式组20xy表示的点集记为 ，在 A中任取一点 ，则 的概率为（ ）A 32 B732C916D71610、设二项式1nx（ ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为 na， b，则12nab（ ）A 13n B 12nC 12n D 111、已知数列 na满足354nm，若数列的最小项为 ，则 m的值为（ ）A14B1C14D1312、已知函数20ln1xf，若函数 Fxfkx有且只有两个零点，则 k的取值范围为（ ）A 0,1 B0,2C1,2D 1,二、填空题（本大题共 4 小题
4、，每小题 5 分，共 20 分 ）13、向量 a， b满足 1， b， ab，则向量 a与 b的夹角为 14、三棱柱 C各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直， C120A，23A， 14，则这个球的表面积为 15、某校高一开设 4 门选修课，有 4 名同学，每人只选一门，恰有 2 门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答） 16、已知函数 sin2cosyxx（ 0）的图象关于直线 x=1 对称，则 sin2 3三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17、 （本小题满分 12 分）已知 CA的面积为 2，且满足 0C4A，设和 CA的
5、夹角为 1求 的取值范围；2求函数2sin3cos24f的取值范围18、 （本小题满分 12 分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的 500 名市民中，随机抽样 100 名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表 1 和频率分布直方图 21频率分布表中的位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这 500 名市民的平均年龄； 2在抽出的 100 名市民中，按分层抽样法抽取 20 人参加宣传活动，从这 20 人中选取 2 名市民担任主要发言人，设这 2 名市民中“年龄低于 30 岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望419、 （本小题满分 12 分）如图，四
6、棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PA底面 ABCD，E、F 分别为 AB、PC 的中点求证：EF平面 PAD；若 PA=2，试问在线段 EF 上是否存在点 Q，使得二面角 Q-AP-D 的余弦值为 ？若存在，确定点5Q 的位置；若不存在，请说明理由20、 （本小题满分 12 分）已知椭圆21xyab（ 0a）的左、右焦点为 1F、 2，点 ,A在椭圆上，且 2FA与 x轴垂直1求椭圆的方程；过 作直线与椭圆交于另外一点 ，求 A面积的最大值521、 （本小题满分 12 分）已知 a是实常数，函数 2lnfxax1若曲线 yfx在 1处的切线过点 0,2A，求实数 的值；2若
7、f有两个极值点 ， 2x（ 1） ，求证：0a；求证：212fxf请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22、 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，在 CA中， 90，以 A为直径的圆 交 CA于点 ，点 D是 C边的中点，连接D交圆 于点 求证： 是圆 的切线；求证： D23、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C的极坐标方程是 2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程是312xtmy（ t为参数） 求曲线 C的直角坐标方程与直线 l的普通方
8、程；设点 ,0m，若直线 l与曲线 C交于 A， 两点，且 1，求实数 m的值24、 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 21fxx解不等式 0； 若 0R，使得 204fxm，求实数 的取值范围东北三省三校 2015 年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案选择题：1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C6填空题：13. 900 14. 64 15. 84 16. 54三解答题：17.解：（）设 ABC 中角 ，的对边分别为 abc，则由已知：2sin1bc， 4cos0b， 4 分可得 ta，所以：),4
9、6 分（）2()sin3cos2f1cs23cos2(1si)3cosi in1 8 分2,4， )32,6，2si3 即当51时， max()f；当4时， min()f所以：函数 的取值范围是 3,2 12 分18.解：（1）由表知：，分别填 0.,5.补全频率分布直方图如下 : 分3 分平均年龄估值为:5.3)1.083.75.062.50.4(21 （岁） 6 分(2)由表知:抽取的 20 人中,年龄低于 30 岁的有 5 人, X的可能取值为 0,1,2年龄(岁)0.010.020.030.040.050.060.070.080.0920 25 30 35 40 45 50频率组距 7
10、3821)0(015CXP3815)(205CXP382)(05CXP9分的分布列为0 1 23823853810 分期望 2110)( XE（人） 2 分19.证明: () 取 PD中点 M, 连接 AF, 在 CPD中, F为C的中点, CF21/,正方形 B中 E为 中点,CAE21/, AE/ 故： A为平行四边形 MF/ 2 分又 平面 PD, M平面 P 平面 PD 4 分() 如图：以点 为坐标原点建立空间直角坐标系: 10,2(,10)(,)(0,)(,1)2BCE由题易知平面 PA的法向量为 ,n， 6 分假设存在 Q满足条件：设,(,01)(,)2FQ, 101(0,2)(
11、,)AP设平面 PA的法向量为 (,)mxyz,1(,0)0xyzmz10 分21,cosn由已知： 512解得： 21所以：满足条件的 Q存在，是 EF中点。 12 分20.（1）有已知： c，2ba2,4b故椭圆方程为2184xy4 分yzQ8(2)当 AB斜率不存在时：12AOBS6 分当 斜率存在时:设其方程为：2ykx由2()=8ykxk得 2214280k由已知：2216k280k即：2211kAB8 分O到直线 的距离： 2kd14212kABSC10 分2kk21,2402k此时 ,(AOBS 综上所求：当 斜率不存在或斜率为零时： 0AB面积取最大值为 2 12 分21.解(
12、1)由已知:/()ln12()fxax,切点 (1,)Pa 分切线方程: )ya ,把 代入得: 3 分(2)() 依题意:/(0fx有两个不等实根 1212,()xx 设 ()ln21ga 则:/()0ga9当 0a 时: /()0gx,所以 ()gx 是增函数,不符合题意; 5 分当 时:由/()得:102a列表如下:x1(0,)2a1(,)2a/()g0 极大值 依题意:1()ln()2a,解得:12a综上所求: 0得证; 8 分()由( )知:/(,)fx变化如下 :x1012(,)x2(,)x/f0 + 0 () 由表可知: ()fx 在 12, 上为增函数,所以: 21()fxf
13、10 分又/10ga, 故 10,x 由()知:11ln2x,211111()ln(xln)(0)fax设(l)(0)hx,则/()l0hx成立,所以 ()h单调递减,故:1()2,也就是 1()2f综上所证: 21()fxf成立. 12 分22.选修 4-1: 几何证明选讲证明：（）连结 OE.点 D是 BC的中点，点 是 AB的中点，A21/， EOD,. F CDMOBEA10 OEA， AO， EODB. 3 分在 D和 B中， E， ， ， ， 90D，即 . E是圆 O上一点， 是圆 O的切线. 5 分（）延长 交圆 于点 F. D B， DBE.点 是 C的中点， DB2. E,
14、是圆 O的切线， . EE . 7 分 FAC2,， DFMODMABCBMD 2)2()( . E是圆 的切线， D是圆 的割线， F2， E 10 分23.选修 4-4: 坐标系与参数方程 解：（）由 cos，得： cos2， xy22，即 )(2y，曲线 C的直角坐标方程为 1)(yx. 3 分由 tymx213，得 yx3，即 03myx，直线的普通方程为 0. 5 分（）将 tymx213代入 1)(2yx，得：12123tmt，整理得： 0)(32tt，由 0，即 )(41m，解得： 31.设 21,t是上述方程的两实根，则 mtt 2),(3221， 8 分又直线过点 ),(P，
15、由上式及的几何意义得111|2|21 mtPBA，解得： 1或 2m，都符合 31m，因此实数 的值为或 或 . 0 分24.选修 4-5: 不等式选讲解：（）当 2x时， 321|2|)( xxxxf ，0)(f，即 03，解得 3，又 ， ；当 21x时， 1321|2|)( xxxxf ，0)(f，即 03，解得 3，又，；当 21x时， 321|2|1|)( xxxf ，0)(f，即 03，解得 3，又 ， . 3 分综上，不等式 )(xf的解集为),(1,. 5 分（） 21,3,|2|1|)( xf， 21)(minfxf. 8 分 Rx0，使得 mxf42)(0，5)(in2f，整理得： 5842m，解得：51，因此 的取值范围是2,. 10 分
