1、3.3 位移分量的求出 第二章 平面问题的基本理论 本节内容 内容要点： 以上一节矩形梁纯弯曲为例，体会学习如何由应力分量求出位移分量。 第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应力分量，如何求对应的位移分量？ 以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移分量 xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(10xyyxyEIMyEIM0xyyx yIM1、形变分量与位移分量 x y l 1 h M M （ 1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程(2-8) 第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 （ 2 ）位移分量 将应变分量代入
2、平面问题的几何方程 (2-8)： 0, xyyx yuxvyEI MyvyEIMxu 前两式分别积分，可得 )(2,)( 221 xfyEIMvyfxyEIMu 代入第三式，并整理可得 xEIMdxxdfdyydf )()( 21第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 （ 2 ）位移分量 等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数 w： xEIMdxxdfdyydf )()( 21w xEIMdxxdfdyydf )()( 21分别积分，可得 02201 2)(,)( ww xxEIMxfuyyf第二章 平面问题的基本理论
3、3.3 位移分量的求出 （ 2 ）位移分量 代入位移分量公式，并整理可得 其中表示刚体位移量的常数 u0 ， 0 和 w ，须由约束条件确定。 022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMux y l 1 h M M 第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 讨论： 对于同一个截面， x 为常量 x 0，因此上式 (转角 )也是 常量 。于是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保持为平面 材料力学里的平截面假定。 由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求得 垂直线段的转角 为 u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。 由位移分量第二式，可知不论约束条件
4、如何，可求得 梁的各纵向纤维的曲率 是 就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。 w xEIMyu0uyxyEIMu wEIMx221 02222 w xxEIMyEIMv第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 分两种约束情况讨论： 简支梁和悬臂梁 。 下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移常数 u0 ， 0 和 w 。 2、位移边界条件的利用 第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 2、位移边界条件的利用 （ 1）简支梁 0)(,0)(,0)( 00000 y lxyxyxu 将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得 22)(2,)2( yEIMxxl
5、EIMvylxEIMu 022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu02 02 vlEIMl w00 u 00 v EIMl2w0 ()2yMv l x xEI 材料力学中相同 第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 2、位移边界条件的利用 （ 2）悬臂梁 022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu边界条件 由上式可知，此边界条件无法满足，边界条件改写为： （中点不动） （轴线在端部不转动） 00 22xlxlu hhyv 000 , 0x l x lyyuv2000 , 0 , 02M l M lu l vE I E Iww 00xlyvx 200, 0 , 2
6、M l M luE I E Iw 带入位移式可得： 22()()22Mu l x yEIMMv l x yE I E I 20 ()2yMv l xEI 材料力学中相同 第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 平面应变问题 以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分量和位移分量解。对于 平面应变情况下的梁 (梁 宽度远大于深度和长度） ，须在以上的应变分量和位移分量的公式中，将 E 和 作如下替换，即可求解 。 11 2EE第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 位移求解的过程： （ a）将应力分量代入物理方程 )(1 xyy E )(1 yxx E Gxyxy （ b
7、）再将应变分量代入几何方程 xvyuxy xux yvy （ c）几何方程积分计算位移表达式 （ d）利用位移边界条件，确定常数。 3.4 简支梁受均布荷载 第二章 平面问题的基本理论 本节内容 内容要点： 用 半逆解法 求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的解题过程。 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的 几何形状 、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论 ， 如材料力学得到的初等结论，假设 部分或全部应力分量 的函数形式 ； yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx ),(,),(,),( 22222 (2)按式 (2-24)，由
8、应力推出应力函数 的一般形式（含待定函数项）； (3)将应力函数 代入 相容方程进行校核，进而求得应力函数 的具体表达形式 02 4422444yyxx半逆解法步骤回顾： 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 半逆解法步骤回顾： (5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。 (4)将应力函数 代入 式 (2-24)，由应力函数求得应力分量 yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx ),(,),(,),( 22222 解题的关键在于 凑出 或者 假设出 正确
9、的应力函数。 应 力 函 数 基 本 形 式满 足4 0式 （ 2 - 2 4 ）是导 出 应 力表 达 式满 足 边界 条 件式 （ 2 - 1 5 ）是得 到 正确 解 答否否假 定 相 关应 力 分 量式 （ 2 - 2 4 ）积 分第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 问题： 矩形截面简支梁，长度为 2l ， 深度为 h，宽度远小于深度和长度（ 典型的平面应力问题 ），受均布荷载 q ，由两端的反力 ql 维持平衡。（设梁宽为单位宽度 1） 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (1)假定应力分量的函数形式 x 主要由 弯矩 引起； xy 主要由 剪力
10、引起。 y 由 竖向荷载 q 引起（挤压应力）； 又 q =常数，不随 x变化， y 不随 x 变化。 x y l l ql ql q y fy 因此假设 y 只是 y的函数： “(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的 几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论 ， 如材料力学得到的初等结论，假设 部分或全部应力分量 的函数形式 ” 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (2)由应力推出应力函数的一般形式 )(),( 22yfx yxy 对 x 积分可得 )()()(2),( 212yfyxfyfxyx 其中有三个关于 y 的待定函数： f（ y） ， f（ y1
11、）， f（ y2） 。 将假设的 y 向应力分量代入式 (2-24)，在无体力情况下，有 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (3)由相容方程求应力函数 0)(2)()()(21 22424414244 y yfy yfxy yfxy yf上述是关于 x 的一元二次方程，相容方程要求全梁每一点处的 x 值都必须满足上述方程，上述方程有 无数多根 。 对所有 x 均应满足，故其系数和自由项都必须为 0 0)(2)(,0)(,0)( 2242441444 y yfy yfy yfy yf将上步所得 应力函数的一般形式 代入无体力情况下的相容方程，整理后有 第二章 平面问题的基本理
12、论 3.4 简支梁受均布荷载 (3)由相容方程求应力函数 0)(2)(,0)(,0)( 2242441444 y yfy yfy yfy yf由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式： 2345223123610)()()(KyHyyByAyfGyFyEyyfDCyByAyyf根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布， 上述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略 。 234523232610)()(2),(KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyxyx忽略常数项 忽略常数项及一次项 )()()(2),( 212 yfyxfyfxyx 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布
13、荷载 (4)由应力函数求应力分量 校核应力分量 ： 代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。其中的 9个待定常数 由边界条件来确定。 )23()23(2622 )26()26(22223232GFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx将应力函数 代入式 (2-24)，可得应力分量 P42式 (f)、 (g)、 (h)： 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (4)由应力函数求应力分量 在这个问题中， y z面是梁的几何尺寸和荷载的对称面，应力分量也应关于 y z面对称， x 和 y 应为 x 的偶函数， xy
14、是 x 的奇函数 ，（应力函数 应为 x 的偶函数），由应力函数 的表达式 （e） 可得： 如果不考虑对称性条件，在考虑了所有的边界的边界条件后，也可以得到相同的结果，但计算量会增加许多 。 对于任何问题，凡是具有 对称性（或反对称性） 的，宜先考虑 对称性条件 ，可以简化问题的求解，减少计算量。 E=F=G=0 x y l l ql ql q 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (5)考虑边界条件 -分为主要及次要边界 将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，可计算出 4个待定常数 : 0)(,)(,0)(222 hyxyhyyhyy q 223023qDhqCBhqA（
15、a）首先考察上下两边的 主要边界条件 ： 32322208 4 28 4 23( ) 043( ) 04h h hA B C Dh h hA B C D qhx A hB Chx A hB C x y l l ql ql q 应力表达式如式 P43（ i） 式（ k）， 未知系数 H、 K待定 : 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (5)考虑边界条件 x y l l ql ql q 由于在左右边界上均没有水平面力，这就要求当由 x= l 时，对于任何 y 值 -h/2+ h/2 ，均有 x = 0 。由 (i) 式知，这是不可能的，除非式中的 q=H=K=0 。为此，应用
16、圣维南原理 ，只能要求此部分边界上合成的 主矢量 和 主矩 。由对称性，只用考虑一边， 对于右边界 ，有 : hqhqlHK10,0 32（ b）其次考察左右两边的次要边界条件 0)(,0)( 2222 hh lxxhh lxx y d ydy 将 (i)式代入，可得 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (5)考虑边界条件 x y l l ql ql q （ b）其次考察左右两边的次要边界条件 22()hh xy xl d y q l 将所得解答带入梁右端 y向应力的圣维南边界条件，可知解答满足该条件。 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 综上所述，将各已解
17、出的待定常数代入，可得应力分量的最终解答为 P44（ o） 式 ： )4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 与材料力学结果进行比较 IQShyhyqhyhyqyIMxyyx222)21)(1(2)534(材料力学中几个参数： 截面惯矩： 静矩： 弯矩： 将其代入 式 ( o) ，有 3112Ih2282hyS 222qM l x)4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx剪力： Q qxx y l l ql ql
18、q 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 与材料力学结果进行比较 比较，得： （ 1） x第一项与材力结果相同，为主要项。 第二项为弹性力学修正项。对于 浅梁 ， h / l1，该项误差很小，可略；对于 深梁 ， h / l较大时，修正项不能忽略。 （ 2） y为梁各层纤维间的挤压应力，最大值发生在梁顶y=-h/2处，材料力学中不考虑该应力。 （ 3） xy与材料力学中相同。 2224352112xyxyM y yyqI h hq y yhhQSI 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 与材料力学结果进行比较 （ 1） x第一项与材力结果相同，为主要项。 第二项
19、为弹性力学修正项。对于浅梁， h / l1，该项误差很小，可略；对于深梁， h / l较大时，修正项不能忽略。 （ 2） y为梁各层纤维间的挤压应力，最大值发生在梁顶y=-h/2处，材料力学中不考虑该应力。 （ 3） xy与材料力学中相同。 2224352112xyxyM y yyqI h hq y yhhQSI xyx y)()(（ 1） 弹性力学解法中，严格地考虑并满足区域内的平衡微分方程、几何方程、物理方程及边界上的全部边界条件（小边界上应用圣维南近似），因此解答是较精确的。 （ 2） 材料力学解法中，许多方面作了近似处理，只能得出近似的解答。例如平面截面假设导出位移、应变和应力沿横向均
20、为直线分布；在平衡条件中，忽略了挤压应力 y的作用，并且考虑的是有限部分物体的平衡 (h*dx*b)，而不是微分单元体的平衡；在主要边界上，没有严格考虑应力边界条件。 （ 3） 两者的区别中主要反映在最小的量级上，故材料力学的解答尽管近似，但对杆件是足够精确的（此时 l h ），否则不能用材料力学的解法来求解 (非杆状构件不能用材力 )。 比较弹性力学与材料力学在解法上的区别 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的 几何形状 、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论 ， 如材料力学得到的初等结论，假设 部分或全部应力分量 的函数 (分布 )形式 ； yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx ),(,),(,),( 22222 (2)按式 (2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（含待定函数项）； (3)将应力函数 代入 相容方程进行校核，进而求得应力函数 的具体表达形式 02 4422444yyxx半逆解法步骤：
