1、2012 中考数学专题复习 最短距离问题分析 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段
2、最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 几何模型：条件：如图， 、 是直线 同旁的两个定点ABl问题：在直线 上确定一点 ，使 的值最小lPAB方法：作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于点 ，lP则 的值最小（不必证明）P模型应用：（1）如图 1，正方形 的边长为 2， 为 的中点，CDE是 上一动点连结 ，由正方形对称性可知，A与 关于直线 对称连结 交 于 ，则BDA的最小值是_；E（2）如图 2， 的半径为 2，点 在 上，O BC、 、 O， ， 是 上一动点
3、，AB60CP求 的最小值；P（3）如图 3， ， 是 内一点， ，45OAOB10P分别是 上的动点，求 周长的最小值QR、 A、 QR解：（1） 的最小值是PBE5D（2） 的最小值是C23（3） 周长的最小值是QR10ABPlOABPRQ图 3ABECBD图 1OABC图 2 PyO xPDB(40)A，(02)C，【典型例题分析】1.如图所示，正方形 的面积为 12， 是等边三角形，点 在正方形ABCDABE E内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最ABCP小值为（ ） A B C3 D23662如图，抛物线214yx的顶点为 A，与 y 轴交于点 B(1)求点 A、点 B
4、的坐标；(2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PA-PBAB；(3)当 PA-PB 最大时，求点 P 的坐标.解：(1)令 x=0，得 y=2， B(0，2) 2211()344yxx A(-2，3)(2)证明：.当点 P 是 AB 的延长线与 x 轴交点时，PA-PB=AB；.当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点时，在点 P、A、B 构成的三角形中，PA-PBAB. 综合上述：PA-PBAB.(3)作直线 AB 交 x 轴于点 P由(2)可知：当 PA-PB 最大时，点 P 是所求的点作 AHOP 于 H BOOP BOP=AHP，且BPO=APH BOPAHP
5、 ABO由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 OP=4， P(4，0)32OP3.如图，在矩形 中，已知 、 两点的坐标分别为 ， 为 的中AC(40)()A， 、 ， DOA点设点 是 平分线上的一个动点（不与点 重合）PO（1）试证明：无论点 运动到何处， 总造桥与 相等；PCD（2）当点 运动到与点 的距离最小时，试确定过 三点的抛物BOP、 、线的解析式；（3）设点 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 运动到何处时，E的周长最小？求出此时点 的坐标和 的周长；PD E（4）设点 是矩形 的对称中心，是否存在点 ，使NOA？若存在，请直接写出点 的坐标 90CP解：（1）点 是
6、 的中点， 2D， OCBOAxyPHBOAxyA DEPB CyO xDB(40)A，CPE(02)， FM第 4 题OxyBDACP又 OP是 CD的角平分线， 45POCD， ， （2）过点 B作 A的平分线的垂线，垂足为 ，点 P即为所求易知点 F的坐标为（2，2），故 2BF，作 MBF ， 是等腰直角三角形， 1，点 P的坐标为（3，3） 抛物线经过原点， 设抛物线的解析式为 2yaxb又抛物线经过点 (3)， 和点 (20)D， ， 有 93420ab 解得 1b抛物线的解析式为 yx（3）由等腰直角三角形的对称性知 D 点关于 AOC的平分线的对称点即为 C点连接 EC，它与
7、AO的平分线的交点即为所求的 P点（因为 EPD，而两点之间线段最短），此时 PE 的周长最小抛物线 2yx的顶点 的坐标 (1)， ，点的坐标 (02)， ， 设 C所在直线的解析式为 kb，则有 2kb，解得3kb CE所在直线的解析式为 32yx点 P满足 32yx，解得12xy，故点P的坐标为 12， PED 的周长即是 102CE（4）存在点 ，使 90CN其坐标是 2， 或 ()， 4.一次函数 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0），B（0，4）ykxb（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PCPD
8、的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标解：(1)将点 A、B 的坐标代入 ykxb 并计算得 k2，b4解析式为：y2x 4；(2)设点 C 关于点 O 的对称点为 C，连结 PC、DC，则 PCPCPCPDPCPDC D，即 C、P、D 共线时，PC PD 的最小值是 CD连结 CD，在 RtDCC中，CD 2 ；易得点 P 的坐标为(0 ，1)2(亦可作 RtAOB 关于 y 轴对称的)5.已知：抛物线的对称轴为与 轴交于 两点，与 轴交于点 其中 、xAB， yC， 30A，（1）求这条抛物线的函数表达式02C， （2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 的周长最小请求出点 P 的坐标C（
9、3）若点 是线段 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）过点 D 作 交DOCE轴于点 连接 、 设 的长为 ， 的面积为 求 与 之间的函xE DmPE Sm数关系式试说明 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由S解：（1）此抛物线的解析式为 243yx（2）连结 、 .因为 的长度一定，所以 周长最小，就是使 最ACBPBC PCB小. 点关于对称轴的对称点是 点， 与对称轴 的交点即为所求的点 .A1设直线 的表达式为 ykxb则 解得 此直线的表达式为302kb， 2323yx把 代入得 点的坐标为1x43yP41，（3） 存在最大值 理由： 即 SDEC ， A
10、 OEDAC 即 ODECA， 2mO 3322mm， ，方法一：连结 OEDPEODEPSSS 四 边 形= = 13411322 2234 当 时，0m4S最 大方法二：（第 24 题图）OACxyBEPDACxyBO5 题图ACxyBO=OACEDAPCDSS 1313432212mm= 当 时，44034S最 大6.如图，抛物线 的顶点 P 的坐标为 ，交 x 轴于 A、B 两点，交2yaxbc41，y 轴于点 (03)C，（1）求抛物线的表达式（2）把ABC 绕 AB 的中点 E 旋转 180，得到四边形 ADBC判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由（3）试问在线段 AC 上是否
11、存在一点 F，使得FBD 的周长最小，若存在，请写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意知解得 ， 抛物线的解析式为 3a2b233yx（2）设点 A（ ，0），B（ ，0），则 ，1x2x203x解得 OA1，OB3又tan OCB 123，|3OBCOCB60，同理可求OCA 30ACB90 由旋转性质可知ACBD，BCAD 四边形 ADBC 是平行四边形 又ACB90四边形 ADBC 是矩形 （3）延长 BC 至 N，使 假设存在一点 F，使FBD 的周长最小即CB最小FDBDB 固定长只要 FD+FB 最小又CABN FD+FB FD+FN 当 N、F、D 在一条直线上
12、时，FD+FB 最小 又C 为 BN 的中点， （即 F 为 AC 的中点） 又A （1， 0），C（0， ） 点 F 的12CA 3DO xyBEPACDO xyBEPCPxyOA FEM AB 33坐标为 F（ ， ）123 存在这样的点 F（ ， ），使得FBD 的周长最小 27.如图（1），抛物线 和 轴的交点为 为 的中点，若有一动35182xyyMA,O点 ，自 点处出发，沿直线运动到 轴上的某点（设为点 ），再沿直线运动到该抛PME物线对称轴上的某点（设为点 ），最后又沿直线运动到点 ，求使点 运动的总路程最FP短的点 ，点 的坐标，并求出这个最短路程的长。E解：如图（1），由题
13、意可得 （0，3）， ，抛物线的对称点AM)23,0(为 ，点 关于 轴的对称点为 ，点 关于抛物线3xMxA对称轴 的对称点为 （6，3）。连结 。 根据轴对称性及两点间线段最短可知， 的长就是所求点 运动中 P最短总路程的长， 在直线的方程为 （过程略）。A234xy设 与 的交点为 则 为在 轴上所求的点， 与直线Mx,EAM的交点为所求的 F 点。3可得 点的坐标为（2，0），F 点的坐标为 ）。E43,(由勾股定理可求出 （过程略）A215所以点 运动的总路程（ ）最短时间为 。PFAEM215不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转
14、化的方法大都是借助于“轴对称点”8.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山 位于笔直的沪渝高速公路 同侧， 、()A()BX50kmAB，到直线 的距离分别为 和 ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 ，向 、BX10km4 PxyOA FEMP XBAQYBAAC BPQ两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（ 与直线 垂直，B APX垂足为 ）， 到 、 的距离之和 ，图（2）是方案二的示意图（点 关于直PAB1SPAB线 的对称点是 ，连接 交直线 于点 ）， 到 、 的距离之和 XX2SB（1）求 、 ，并比较
15、它们的大小；1S2（2）请你说明 的值为最小；PAB（3）拟建的恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标Y系， 到直线 的距离为 ，请你在 旁和 旁各修建一服务区 、 ，使 、 、BY0kmXPQA、 组成的四边形的周长最小并求出这个最小值QBAP X图（1）YXBAQPO图（3）BAP X图（2）解：图 10（1）中过 B 作 BCAP, 垂足为 C,则 PC40,又 AP10, AC30 在 Rt ABC 中，AB50 AC30 BC40 BP S1 402CP0图 10（2）中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC 50，又 BC40 BA 52由轴对称
16、知：PAPA S 2BA 4101S2(2)如 图 10（2），在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA，由轴对称知 MAMAMB+MAMB+MAAB S 2BA为最小（3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B，连接 AB,交 X 轴于点P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求 过 A、 B分别作 X 轴、 Y 轴的平行线交于点 G,AB 所求四边形的周长为50102 509.如图，（1），在 中， ， 为 边上一定点，（不与点BC9,2ACPBCB，C 重合）， 为 边上一动点，设 的长为 ，请写出 最小值，QABP)2(a并说明理由。【观察与思
17、考】其实，本题和例 2 中的（2）基本上是相同的，是“在直线 上求一点 ，使它到 同侧的两个定点 和 的距离之和ABQABCP最小”。因此，可由图（1）（连结 关于 的对称点 与 所成线段，P交 于 。或图（1）（连结 关于 的对称点 与 所成线段，交 于 ，都同样可得 最小值。C（1） （1） （1）解：如图（1），作点 关于 的对称点 ，连结 交 于点 ，易知PABPCABQ，BQP。在 中，45,aRt，22 aC又，在 上任意取一异于 的点 ，连结 ，则ABQ ,QPC对 边上的动点 ，最小值为 。24 PPQAB24a10.如图 8,C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B、D 作
18、ABBD,EDBD,连接 AC、EC.已知AC BPQ AC BPQCAC BPQEDCBA图 8FEDCBAAB=5,DE=1,BD=8,设 CD=x.(1)用含 x 的代数式表示 ACCE 的长；(2)请问点 C 满足什么条件时,ACCE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.9)12(42解: (1) 1582xx(2)当 A、C 、E 三点共线时,AC+CE 的值最小(3)如下图所示,作 BD=12,过点 B 作 ABBD,过点 D 作 EDBD,使 AB=2,ED=3,连结AE 交 BD 于点 C.AE 的长即为代数式 的最小值. 9)12(42xx过点 A 作 AF BD 交 ED 的延长线于点 F,得矩形 ABDF,则 AB=DF=2,AF=BD=8.所以 AE= =1322)3(1即 的最小值为 13. 942xx
