1、江苏省徐州市 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在相应的位置上）1在ABC 中，a=4 ，A=30，B=60，则 b 等于2在等比数列a n中，a 2=2， a4=4，则 a10=3 一直线倾斜角的正切值为 ，且过点 P（1，2） ，则直线方程为4等差数列a n中，若 a1+a2=4，a 10+a9=36，则 S10=5在等比数列a n中，a 1=2 且 a4a6=4a72，则 a3 的值是6在ABC 中，若（a+b ） 2=c2+ab，则C=7已知直线 y=（3a1）x+a1，为使这
2、条直线经过第一、三、四象限，则实数 a 的取值范围是8在ABC 中，已知 BC=1，B= ，ABC 的面积为 ，则 AC 的长为9数列a n满足 a1=3， =5（nN +） ，则 an=10已知直线 l1：（k3）x+ （ 4k）y+1=0 与 l2：2（k3）x2y+3=0 平行，则 k 的值是11对于ABC，有如下四个命题：若 sin2A=sin2B，则ABC 为等腰三角形，若 sinB=cosA，则ABC 是直角三角形若 sin2A+sin2Bsin 2C，则ABC 是钝角三角形来源:学+ 科+网若 = = ，则 ABC 是等边三角形其中正确的命题的序号是12记等差数列a n的前 n
3、项和为 Sn，已知 a1=2，且数列| |也为等差数列，则 a26 的值为13在ABC 中，B=60 ，AC= ，则 AB+3BC 的最大值为14已知等比数列a n满足 a1=1，0q ，且对任意正整数 k，a k（a k+1+ak+2）仍是该数列中的某一项，则公比 q 为二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15已知直线 l 过点 A（2， 3）（1）直线 l 的倾斜角为 135，求直线 l 的方程；（2）直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 2，求直线 l 的方程16在ABC 中，a ，b，c 分别为其内角 A，B ，C 的对边，且 cos（B
4、 C）2sinBsinC= （）求角 A 的大小；（）若 a=3，sin = ，求边 b 的大小17等比数列a n（a n0，n N*）中，公比 q（0，1） ， a1a5+2a3a5+a2a8=25，且 2 是 a3与 a5 的等比中项（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=log2an，数列b n的前 n 项和为 Sn，当 n2 时，比较 Sn 与 bn 的大小18 （16 分）如图所示，扇形 AOB，圆心角 AOB 的大小等于 ，半径为 2，在半径 OA上有一动点 C，过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P（1）若 C 是半径 OA 的中点，求线段 PC 的大小；（2
5、）设COP= ，求POC 面积的最大值及此时 的值19 （16 分）已知等差数列a n中，首项 a1=1，公差 d 为整数，且满足a1+3a 3，a 2+5a 4，数列b n满足 ，其前 n 项和为 Sn（1）求数列a n的通项公式 an；（2）若 S2 为 S1，S m（m N*）的等比中项，求 m 的值20 （16 分）已知递增的等差数列a n的首项 a1=1，且 a1、a 2、a 4 成等比数列（1）求数列a n的通项公式 an；（2）设数列c n对任意 nN*，都有 + + =an+1 成立，求 c1+c2+c2014 的值（3）若 bn= （nN *） ，求证：数列b n中的任意一项
6、总可以表示成其他两项之积江苏省徐州市新沂市 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在相应的位置上）1在ABC 中，a=4 ，A=30，B=60，则 b 等于 4 来源:学#科#网 Z#X#X#K考点： 正弦定理 来源:学。科。网专题： 计算题；解三角形分析： 根据题意，由正弦定理代入已知即可求解解答： 解：由正弦定理得： ，从而有：b= = =4 故答案为：4 点评： 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题2在等比数列a n中，a 2=2， a4=4，则 a10=32考点：
7、等比数列的通项公式 专题： 等差数列与等比数列分析： 设等比数列a n的公比为 q，根据 a2=2，a 4=4，可得 ，再利用等比数列的通项公式即可得出解答： 解：设等比数列a n的公比为 q，a 2=2，a 4=4， =2， =224=32故答案为：32点评： 本题考查了等比数列的通项 公式，属于基础题3一直线倾斜角的正切值为 ，且过点 P（1，2） ，则直线方程为 3x4y+5=0考点： 直线的一般式方程 专题： 计算题；直线与圆分析： 题目给出了直线的斜率和直线经过的定点，直接写出直线方程的点斜式，然后化为一般式解答： 解：因为直线倾斜角的正切值为 ，即 k=3，又直线过点 P（1，2）
8、 ，所以直线的点斜式方程为 ，整理得，3x4y+5=0故答案为 3x4y+5=0点评： 本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题4等差数列a n中，若 a1+a2=4，a 10+a9=36，则 S10=100考点： 等差数列的前 n 项和 专题： 计算题分析： 要求 S10，根据等差数列的和公式可得 ，只需求 a1+a10，而由已知 a1+a2=4，a 10+a9=36 可知只要把两式相加，再利用等差数列的性质可求解答： 解：a 1+a2=4，a 10+a9=36a1+a10+a2+a9=40由等差数列的性质可得，a 1+a10=a2+a9a1+a10=20由等差数列的
9、前 n 项和可得，故答案为：100点评： 本题主要考查了等差数列的性质（若 m+n=p+q则 am+an=ap+aq）的应用，考查了等差数列的前项和公式，灵活运用性质是解决本题的关键5在等比数列a n中，a 1=2 且 a4a6=4a72，则 a3 的值是 1考点： 等比数列的通项公式 专题： 等差数列与等比数列分析： 设出等比数列的公比，结合已知条件列式求出 q2，则 a3 可求解答： 解：设等比数列a n的公比为 q，由 a1=2 且 a4a6=4a72，得 ，即 所以 则 故答案为 1点评： 本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题6在ABC 中，若（a+b ） 2=c2+ab，则C
10、= 考点： 余弦定理 专题： 计算题；解三角形分析： 利用余弦定理 c2=a2+b22abcosC 与已知（a+b） 2=c2+ab 联立，即可求得C解答： 解：ABC 中， （a+b） 2=c2+ab，c2=a2+b2+ab，来源:Zxxk.Com又由余弦定理知，c 2=a2+b22abcosC，2cosC=1，cosC= ，又 C 为三角形 ABC 中的内角，C= 故答案为： 点评： 本题考查余弦定理，求得 cosC= 是关键，属于中档题7已知直线 y=（3a1）x+a1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数 a 的取值范围是 考点： 直线的一般式方程 专题： 直线与圆分析： 直线 y
11、=（3a1）x+a1，为使这条直线经过第一、三、四象限，可得 ，解得即可解答： 解：直线 y=（3a 1）x+a 1，为使这条直线经过第一、三、四象限， ，解得 故答案为： 点评： 本题考查了直线的斜率与截距的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8在ABC 中，已知 BC=1，B= ，ABC 的面积为 ，则 AC 的长为 考点： 正弦定理 专题： 解三角形分析： 有三角形的面积公式先求|AB|，再由余弦定理求 AC 的长解答： 解：因为 SABC= = = ，|AB|=4，由余弦定理得：|AC|= = = 故答案为： 点评： 本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题9数列a n
12、满足 a1=3， =5（nN +） ，则 an= 考点： 数列递推式；等差数列的通项公式 专题： 计算题分析： 根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果解答： 解：根据所给的数列的递推式数列 是一个公差是 5 的等差数列，a1=3， = ，数列的通项是故答案为：点评： 本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目10已知直线 l1：（k3）x+ （ 4k）y+1=0 与 l2：2（k3）x2y+3=0 平行，则 k
13、 的值是 3 或5考点： 两条直线平行的判定 专题： 计算题分析： 考查题意，不难发现 x=3 为所求，然后利用直线平行的条件解答即可解答： 解：当 k=3 时两条直线平行，当 k3 时有故答案为：3 或 5点评： 本题考查直线与直线平行的条件，是基础题11对于ABC，有如下四个命题：若 sin2A=sin2B，则ABC 为等腰 三角形，若 sinB=cosA，则ABC 是直角三角形若 sin2A+sin2Bsin 2C，则ABC 是钝角三角形若 = = ，则 ABC 是等边三角形其中正确的命题的序号是考点： 正弦定理 专题： 解三角形分析： 举反例，2A= 2B，举反例，B= +A，运用正弦
14、定理来证明解答： 解：也有可能 2A=2B，求得 A+B= ，不一定是等腰三角形也有可能有 B= +A，B A= ，此时三角形为钝角三角形，故不一定正确sin2A+sin2Bsin 2C，由正弦定理知 a2+b2c 2，cosC= 0，C 一定为钝角，正确 = ，sin =sin ，A=B 或 + =（不符合题意） ，A=B，同理可知 B=C，三角形一定为等边三角形，故答案为：点评： 本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中需要学生心细程度较高12记等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=2，且数列| |也为等差数列，则 a26 的值为 102考点： 等差数列的性质 专题： 计算题；等
15、差数列与等比数列分析： 由题意可得 ， ， 的值，由数列 也为等差数列可得 2 =+ ，解方程可得 d 值，由等差数列的通项公式可得解答： 解：设等差数列a n的公差为 d，a1=2， = ，来源:学.科.网 Z.X.X.K = ， = ，数列 也为等差数列，2 = + ，解得 d=4，a26=2+254=102，故答案为：102点评： 本题考查等差数列的求和公式，属基础题13在ABC 中，B=6 0，AC= ，则 AB+3BC 的最大值为 考点： 三角函数的最值 专题： 计算题；解三角形分析： ABC 中， ，由正弦定理，得，所以 AB=2sinC，BC=2sinA由此能求出 AB+3BC
16、的最大值解答： 解：B=60，A+B+C=180，A+C=120，由正弦定理，得 ，来源:学科网AB=2sinC，BC=2sinA AB+3BC=2sinC+6sinA=2sin（120 A）+6sinA=2（sin120 cosAcos120sinA）+6sinA= cosA+7sinA=2 sin（A+） ， （其中 tan= ）所以 AB+3BC 的最大值为 2 故答案为：2 点评： 本题考查 AB+3BC 的最大值的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理和三角函数恒等变换的合理运用14已知 等比数列a n满足 a1=1，0q ，且对任意正整数 k ，a k（a k+1+ak+2）仍是该数
17、列中的某一项，则公比 q 为 1考点： 等比数列的通项公式；数列的函数特性 专题： 等差数列与等比数列分析： 由已知条件知 ，a k（a k+1+ak+2）=q k1（1 qq2） ，从而得到 1qq2=q，由此能求出 q= 解答： 解：等比数列a n满足 a1=1，0q ，且对任意正整数 k，a k（a k+1+ak+2）仍是该数列中的某一项， ，ak（ ak+1+ak+2）=q k1（q k+qk+1）=qk1（1 qq2） an 都是 q 的几次方的形式，1qq2 应该也是 q 的几次方的形式，0 q ， 1qq 21，1qq2 只有可能等于 q，由 1qq2=q，得 q2+2q1=0，
18、解得 q= 故答案为： 点评： 本题考查等比数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15已知直线 l 过点 A（2， 3）（1）直线 l 的倾斜角为 135，求直线 l 的方程；（2）直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 2，求直线 l 的方程考点： 直线的一般式方程；直线的截距式方程 专题： 直线与圆分析： （1）有直线的倾斜角求出其斜率，直接利用直线方程的点斜式写出方程，然后化为一般式；（2）设出直线的斜截式方程，由点 A 在直线上得到一个关于 k，b 的方程，求出直线在两坐标轴
19、上的截距，由截距之和等于 2 得另一方程，联立方程组后求出斜率和截距，则直线方程可求解答： 解：（1）由直线 l 的倾斜角为 135，所以其斜率为1，又直线 l 过点 A（2，3） ，所以直线 l 的方程为 y3=（x+2 ） ，即 x+y1=0；（2）设线方程为：y=kx+b 因为过点 A（2， 3）所以 3=2k+b当 y=0，x= 当 x=0，y=b由题意得， +b=2解方程组 ，得 k1=1，b=1；k 2= ，b=6 所以直线方程为：y=x+1 或 3x2y+12=0点评： 本题考查了直线的一般式方程和截距式方程，考查了方程组的解法，需要注意的是截距不是距离，是基础的计算题16在AB
20、C 中，a ，b，c 分别为其内角 A，B ，C 的对边，且 cos（B C）2sinBsinC= （）求角 A 的大小；（）若 a=3，sin = ，求边 b 的大小考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数 专题： 计算题；解三角形分析： （）利用和差角的余弦公式化简 cos（BC ）2sinBsinC= ，可求 B+C，进而可得 A（）由 sin = 可求 ，进而可得 sinB，由正弦定理可求结果；解答： 解：（）由 ，得 ，即 ，故 （）由 ，得 ， ，来源:Zxxk.Com ，解得 点评： 该题考查正弦定理、两角和与差的余弦函数，属基础题，熟练掌握相关公式是解题关键所在17等比数列a n
21、（a n0，n N*）中，公比 q（0，1） ， a1a5+2a3a5+a2a8=25，且 2 是 a3与 a5 的等比中项（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=log2an，数列b n的前 n 项和为 Sn，当 n2 时，比较 Sn 与 bn 的大小考点： 数列的求和；数列递推式 专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由 a1a5+2a3a5+a2a8=25，得 =25，可得 a3+a5=5，又 2 是 a3 与a5 的等比中项，可得 a3a5=4，由于公比 q（0，1） ，解得 q，即可得出（2）由（1）得 bn=log2an=5n，可得 Sn，作差 Snbn，对 n 分类讨论即
22、可得出解答： 解：（1）由 a1a5+2a3a5+a2a8=25，得 =25，an0，a 3+a5=5，又 2 是 a3 与 a5 的等比中项，a 3a5=4，公比 q（0， 1） ，a3=4， a5=1，从而 ，an=25n（2）由（1）得 bn=log2an=5n，Sn= ，Snbn= （5n）= n2，（ ）当 n10 时，S nb n；（）当 n=10 时，S n=bn；（）当 2n 10 时，S nb n点评： 本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题18 （16 分）如图所示，扇形 AOB，圆心角
23、AOB 的大小等于 ，半径为 2，在半径 OA上有一动点 C，过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P（1）若 C 是半径 OA 的中点，求线段 PC 的大小；（2）设COP= ，求POC 面积的最大值及此时 的值考点： 余 弦定理；两角和与差的正弦函数 专题： 解三角形分析： （1）在POC 中，根据 ，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得 PC 的值（2）解法一：利用正弦定理求得 CP 和 OC 的值，记 POC 的面积为 S（） ，则，利用两角和差的正弦公式化为 ，可得 时，S（）取得最大值为 解法二：利用余弦定理求得 OC2+PC2+OCPC=4，再利用基本不等式求得 3O
24、CPC4，所以 ，再根据 OC=PC 求得POC 面积的最大值时 的值解答： 解：（1）在POC 中， ，OP=2，OC=1，由得 PC2+PC3=0，解得 （2）解法一：CPOB， ，在POC 中，由正弦定理得 ，即 ， 又 ， 记POC 的面积为 S（） ，则 = = = = ， 时，S（）取得最大值为 解法二： ，即 OC2+PC2+OCPC=4又 OC2+PC2+OCPC3OCPC，即 3OCPC4，当且仅当 OC=PC 时等号成立，来源:学_科_网 Z_X_X_K所以 ，OC=PC， 时，S（）取得最大值为 点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的，属
25、于中档题19 （16 分）已知等差数列a n中，首项 a1=1，公差 d 为整数，且满足a1+3a 3，a 2+5a 4，数列b n满足 ，其前 n 项和为 Sn（1）求数列a n的通项公式 an；（2）若 S2 为 S1，S m（m N*）的等比中项，求 m 的值考点： 数列的应用；数列递推式 专题： 计算题分析： （1）由题意，得 ，由此可解得 an=1+（n 1）2=2n1（2）由 = ，知= 由此可求出 m 的值解答： 解：（1）由题意，得解得 d 又 dZ， d=2a n=1+（n 1）2=2n1（2） = ， = ， ， ，S 2 为 S1，S m（m N*）的等比中项，S22=S
26、mS1，即 ，解得 m=12点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答20 （16 分）已知递增的等差数列a n的首项 a1=1，且 a1、a 2、a 4 成等比数列（1）求数列a n的通项公式 an；（2）设数列c n对任意 nN*，都有 + + =an+1 成立，求 c1+c2+c2014 的 值（3）若 bn= （nN *） ，求证：数列b n中的任意一项总可以表示成其他两项之积考点： 数列的求和 专题： 等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法来源:学科网 ZXXK分析： （1）利用等比数列和等差数列的通项公式即可求数列a n的通项公式 an ；（2）利用作差法
27、求出数列c n的通项公式，利用等比数列的求和公式即可求 c1+c2+c2014的值（3）求出 bn= 的表达式，建立方程关系即可得到结论来源:Z。xx。k.Com解答： 解：（1）a n是递增的等差数列，设公差为 d， （d0）a1、a 2、a 4 成等比数列，a 22=a1a4，即（1+d） 2=1（1+3d ） ，及 d0 得 d=1 an=n （2）a n+1=n+1， + + =an+1=n+1 对 nN*，都成立当 n=1 时， 得 c1=4，当 n2 时，由 + + =n+1，及 + + =n 得 =1，得 cn=2n，cn= ，c1+c2+c2014=4+22+23+22014=4+ =22015（3）对于给定的 nN*，若存在 k，t n，k，t N*，使得 bn=bkbt，bn= ， 只需 = ，即 1+ =（1+ ） （1+ ） ，即 = + + ，即 kt=nt+nk+n，t= ，取 k=n+1，则 t=n（n+2 ）对数列b n中的任意一项 bn= ，都存在 bn+1= 和 ，使得 bn=bn+1 （16 分）点评 ： 本题主要考查等比数列和等差数列的应用，以及数列求和，利用条件求出对应的通项公式是解决本题的关键综合性较强，难度较大
