1、徐州市 20102011 学年度高三第三次质量检测数 学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1.复数 (1)zi为虚数单位）的共轭复数为 ；答案： 1i。2.在空间直角坐标系 Oxyz中，点 (4,37)P关于坐标平面 yOz的对称点的坐标为 ； 答案： (,)。3.已知函数2,0()xfab为奇函数，则 ab ；解析：0 解题思路：利用奇函数的定义 ()(fxf求出 ,ab。当 x时，则 0x， 2()fx， 2x，而 ()(ffx，即 22ab， 1,ab，故 0ab。4.在某个容量为 300 的样本的频率分布直方图中，共有 9
2、个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积和的 5，则中间一组的频数为 ；解析：50 解题思路：在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为 1.设中间一个小长方形面积为 x，则 1()5x，解得 16，注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3.请在答题卡上按照顺
3、序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔中间一组的频数为 130565.如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ；解析：16 解题思路：按照流程图进行推算。1,2,4,316,4abababa6.若 cos3，则 cos()sin()it的值为 ；解析： 13 解题思路：利用诱导公式化简再求值。cos(2)sin()itacos(in)1costa3。7.数列 n满足 *11
4、(),22nN， nS是 a的前 n项和，则 201S ；解析：502 解题思路：根据递推公式找出数列变化规律，再求和。12341,aa， 201150652S。8.若 (0,)m，则直线 (2)(3)mxy与 x轴、 y轴围成的三角形的面积小于 98 的概率 ；解析： 23 解题思路：属于几何概型，先求出满足条件的基本事件中的 m范围，区间长度之比就是所求概率。直线与两个坐标轴的交点分别为 1(,0)()23m，又当 (0,3)时，10,23m， 398，解得 2m， 2P。 9.若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 30xy，则此双曲线的离心率为 ；解析： 103或 解题
5、思路：焦点可以分别在两个坐标轴上，因此要讨论。根据渐近线方程的系数利用特值法写出 ,ab，进而求出离心率 e当焦点在 x轴上时，渐近线方程可写为 13yx，于是可设 3,1ab，则 0c，103e；当焦点在 y轴上时，渐近线可写为 y，可设 ,，则 1， 。故填写 103或 。10.已知二次函数 2()()fxacxR的值域为 0,)，则 2ca的最小值为 ；解析：10 解题思路：找出 与 之间的关系及其值的符号，将所求式变形后利用基本不等式求解。由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为 0，因此有 410ac，从而 104ca， 221(8)(4)10a，当且仅当 2,14,a，
6、即 时取等号。故所求的最小值为 10.11.已知点 P、A、B、C 是球 O 表面的四个点，且 PA、PB、PC 两两成 60角，PA=PB=PC=1，则球的表面积为 2；解析： 32 解题思路：球心必在棱锥的高线上，求出棱锥的高，构造直角三角形求出求的半径 R。如图，取 AB 的中点 M，连结 PM、CM，过 P 作棱锥的高 CN，则垂足 N 必在 CM 上，连结 AN。棱锥的四个侧面都是边长为 1 的正三角形。故可得 CM=PM= 32。从而23C，在 RtPCN 中，可求得 6PN。连结 AO，则 AO=CN= 3，设AO=PO=R，则在 RtOAN 中，有 2223()(R，解得 64
7、R.球的表面积24SR= 3。12.如图，过点 (5,)P作直线 l与圆 O： 25xy交于 A、B 两点，若 PA=2，则直线 l的方程为 ；解析： 4y或 091640xy解题思路：求出 A 点坐标，利用点 A、P 的坐标求 l。设 0(,)xy。22205(4)P 又点 A 在圆 O 上， 05xy 由、消去 0y得 241361，即 00(3)4187)x。解得 03,xy或 087,41直线 l的斜率为 k或 9。直线 l的方程为 或 9640xy。13.如图，在 ABC 和AEF 中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1 ，CA=CB=2 ，若2ABECF，则 E与 C的夹角等于
8、；解析： 3 解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。()()ABABF1ECEF与 BC的夹角 F与 的夹角 ， A1()ABFA2C而在等腰ABC 中，作底边的高 CD，则在 RtACD 中由已知边长可得12cos4CAB，设 EF与 B的夹角为 。 |cos|cos2ACA ，从而 1cs2，又 0， 3。14.若关于 x的方程 43210ax有实数根，则实数 a的取值范围为 ；解析： 2(,)3 解题思路：高次不好处理，设法降次。方程两边同除以 x得， 21(1)0ax。设 1t，则 |2t，即 t或2t。()20fat，要使此方程有实根，由图可知需要 (2)0f或 ()f
9、，即 20a或 2()a，解得 3或 ，从而有 (,2,)3。二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分 14 分）已知函数 22()sin()cos()sinco,63fxxxR。（1）求 的最大值及取得最大值时的 的值；（2）求 ()fx在 0,上的单调增区间。16.（本题满分 14 分）在直角梯形 ABCD 中，AB/CD，AB=2BC=4，CD=3，E 为 AB 中点，过 E 作 EFCD ，垂足为 F，如（图一） ，将此梯形沿 EF 折成一个直二面角 AEFC，如（图二） 。（1）求证：BF/ 平面
10、 ACD；（2）求多面体 ADFCBE 的体积。17.（本题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 B： 2(1)6xy与点 (1,0)A，P 为圆 B 上的动点，线段 PA 的垂直平分线交直线 PB 于点 R，点 R 的轨迹记为曲线 C。（1）求曲线 C 的方程；（2）曲线 C 与 x轴正半轴交点记为 Q，过原点 O 且不与 x轴重合的直线与曲线 C 的交点记为 M，N，连结 QM，QN，分别交直线 (t为常数，且 2）于点 E，F ，设 E，F 的纵坐标分别为 12,y，求 12y的值（用 表示） 。18.（本题满分 16 分）如图，某新建小区有一片边长为 1（单位：百米）的正
11、方形剩余地块 ABCD，中间部分MNK 是一片池塘，池塘的边缘曲线段 MN 为函数 21()93yx的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l（宽度不计） ，直路 l与曲线段 MN 相切（切点记为 P） ，并把该地块分为两部分。记点 P 到边 AD 距离为 t， ()f表示该地块在 直路l左下部分的面积。（1 ）求 ()ft的解析式；（2 ）求面积 Sft的最大值。19.（本题满分 16 分）设函数 2()lnfxax与 1()gxa的图象分别交直线 1x于点 A，B，且曲线y在点 A 处的切线与曲线 ()y在点 B 处的切线平行。（1）求函数
12、(),fx的表达式；（2）当 a时，求函数 ()()hxfgx的最小值；（3）当 时，不等式 m在 1,42上恒成立，求实数 m的取值范围。20.（本题满分 16 分）已知各项均为正数的等比数列 na的公比为 q，且 102。（1）在数列 na中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若 1，且对任意正整数 k， 12()ka仍是该数列中的某一项。（）求公比 q；（）若 1log(2)nnab， 12nnSb， 12nTSS，试用201S表示 20T.徐州市 2011 届高三年级第三次调研考试数学答案及评分标准一、填空题：1 i 2 (4,37) 3 0 450 516 6 13 7 5
13、02 8 3 9 10或01010 11 2 12 4y或 94xy 13. 14. 2,3二、解答题: 15. (1)1cos(2)1cos(2)133) sin2xxfx x2 分(sins)si()4，4 分当 242xk，即 3,8xkZ时，6 分()f的最大值为 1.8 分(2)由 242kxk ，即 3,88kxkZ ，又因为 0 ，所以所求 ()fx的增区间为 0,.14 分16.（ 1）连接 EC，交 BF于点 O，取 AC中点 P，连接 ,POD，可得 E，且 12E，而 A，且 12，所以 DF ，且 F，所以四边形 P为平行四边形，所以 ，即 BF ，又 平面 AC，B平
14、面 CD，所以 平面 .8 分(2)二面角 AE为直二面角，且 EF，所以 E平面 BF，又 平面 ，所以 A，又 B， ，所以 B平面 ，所以 是三棱锥 CA的高，同理可证 CF是四棱锥 EFD的高，10 分所以多面体 A的体积 11102(2)333CBEFDV.14 分17. (1)连接 R，由题意得， RP， 4RB，所以 4，2 分由椭圆定义得，点 的轨迹方程是213xy.4 分(2)设 M0(,)xy，则 0(,)Nxy， ,QMN的斜率分别为 ,QMNk，则 02Qk， 02Qk，6 分BCFD EAOP所以直线 QM的方程为 0(2)yx，直线 QN的方程 0(2)yx，8 分
15、令 (2)xt，则 0012(),()yyttxx，10 分又因为 0(,)在椭圆2043，所以 20034，所以2222 201 0()() ()xtyt tx，其中 t为常数.14 分18.（ 1）因为 9，所以 29x，所以过点 P的切线方程为 2()ytt，即 249yxt，2 分 令 0x，得 49yt，令 0，得 x.所以切线与 轴交点 (2,)E，切线与 y轴交点 4(0,)9Ft.4 分 当21,49,3tt 即 12t 时，切线左下方的区域为一直角三角形，所以 14()29ftt.6 分 当,4192,3tt 即 3t 时，切线左下方的区域为一直角梯形， 22441()99t
16、tft，8 分 当1,492,3tt 即 439t 时,切线左下方的区域为一直角梯形,所以 214()14tft t.综上22914,34(),1,.93ttftt 10 分(2)当 143t 时, 2()4ftt 294()9t，12 分当 2 时, 21tt，14 分所以 max49S16 分19 （ 1）由 2()lnfx，得2()xaf， 2 分由 gxa，得 2gx又由题意可得 (1)fg，即 2，故 ， 或 1a4 分所以当 a时， 2()lnfxx, ()2gx；当 12时， 1， 由于两函数的图象都过点 (,)，因此两条切线重合，不合题意，故舍去 所求的两函数为 2lnfxx,
17、 1()2gx6 分（2 ）当 1a时， ()()h，得2121)() 2xxx4()()2x，8 分由 0x，得 1)0x，故当 (,1)时， ()0h, (x递减，当 ,x时， , )递增,所以函数 ()h的最小值为 13(12ln2h10 分（3 ） 12a， 21()lnfxx, ()2gx，当 ,4时, ,214()0xf，()fx在 12， 上为减函数， ln2fxf ，12 分当 ,)4时 ， ()gx, 14()02xg，()gx在 12， 上为增函数， ()x ，且 1()4gx 14 分要使不等式 ()()fxmg 在 1,42上恒成立，当 时， m为任意实数；当 1(,4
18、2x时， ()fgx ，而 min()()2)ln(4e1ffxg.所以 ()ln(4em .16 分20. 由条件知： 1qa， 02， 01a，所以数列 n是递减数列，若有 k， m， n ()k成等差数列，则中项不可能是 k（最大） ，也不可能是 （最小） ，2 分若 knkmnmqa122， （*）由 1kq , h，知(* )式不成立，故 k， m， n不可能成等差数列. 4 分(i)方法一： 5)21()1(1221 qaqaakkkk ，6 分由 ),4(5)2(q知， 121kkk ，且 321kkaa ，8 分所以 1，即 02q ， 所以 q，10 分方法二：设 12kkm
19、aa，则 21mkq，6 分由 21,4q知 ，即 ， 8 分以下同方法一. 10 分(ii) nb，12 分方法一： nS1321 ，)1321()()( nTn )4()1321(n1() nnS()1321nnnS(1)，所以 201201TS.16 分方法二： 13nSnSn所以 1()()1n，所以 ()1nS，2，32S， 1)1(nn，累加得 TS，所以 1()(1)(1)nnnnTSSb1()nSn (1)nS，所以 201201TS. 16 分徐州市 20102011 学年度高三第三次质量检测数学（附加题）21.【选做题 】在下面 A、B、 C、D 四个小题中只能选做两题，每
20、小题 10 分，共 20 分。A 选修 41：几何证明选讲如图所示，圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E，EF/CB，EF 交 AD 的延长线于点 F，FG 切圆O 于点 G。（1）求证：DEFEFA ；（2）如果 FG=1，求 EF 的长。B选修 42：矩阵与变换注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定
21、位置3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔设 M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿 y方向伸长为原来 5 倍的伸压变换。（1）求直线 410xy在 M 作用下的方程；（2）求 M 的特征值与特征向量。C选修 44：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x轴的正半轴重合。若曲线 C1的方程为 28sin15，曲线 C2 的
22、方程为 2cos,(iny为 参 数 ） 。（1）将 C1 的方程化为直角坐标方程；（2）若 C2 上的点 Q 对应的参数为 3=4，P 为 C1 上的动点，求 PQ 的最小值。D选修 44：不等式选讲设函数 ()|1|fxx，若不等式 |2|()abafx对任意 ,abR且0a恒成立，求实数 的范围。22 （本小题满分 10 分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4.（1）设 AD，异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为 925，求 的值；（2）若点 D 是 AB 的中点，求二面角 DCB 1B 的余弦值。23 （本小题 10 分）在
23、0,1,2,3，9 这是个自然数中，任取三个不同的数字。（1 ）求组成的三位数中是 3 的倍数的有多少个？（2 ）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设 为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为 0,1,2，则相邻的组为 0,1 和 1,2，此时 的值是 2） ，求随机变量 的分布列及其数学期望 E。徐州市 2011 届高三年级第三次调研考试数学（附加题）答案及评分标准21 【 选做题 】A选修 41：几何证明选讲(1)因为 EF CB，所以 EFD，又 BACD，所以 BAFED，又 D，所以 6 分（2 ）由（1 ）得， A， 2因为 G是切线，所以 ，所以 1EFG10
24、分B选修 42：矩阵与变换（1 ） 05M2 分设 (,)xy是所求曲线上的任一点， 105xy， 所以 ,5所以,5xy代入 4得， 421y，所以所求曲线的方程为 124 分（2 ）矩阵 M的特征多项式 0()(1)505f，所以 的特征值为 ,216 分当 1时，由 ，得特征向量 10；当 52时，由 2，得特征向量 210 分C选修 44：坐标系与参数方程（1 ） 2810xy 4 分（2 ）当 3时，得 (2,)Q，点 到 1C的圆心的距离为 13，所以 PQ的最小值为 1310 分D选修 45：不等式选讲由 2()abfx ，对任意的 ,abR，且 0恒成立，而 3 ， ()fx
25、，即 13x ，解得 32x ，或 x ，所以 的范围为 3,2 或 10 分22 (1)以 1,CAB分别为 yz,轴建立如图所示空间直角坐标，因为 , 4， 1A，所以 (0)， ， ，(0,4)， (0)， ， ， (,4)C，所以 13,，因为 DB，所以点 (4)D，所以 (3,40)，因为异面直线 1A与 所成角的余弦值为 925，所以 2|cos,|5(3)16C ，解得 124 分(2)由（1 ）得 1(04)B， ， ，因为 D是 AB的中点，所以 3(0)D， ， ，所以 32D， ， ， 1(04)， ， ，平面 1C的法向量 1n(,)，设平面 1的一个法向量 20,)xyzn，则 n， 2的夹角（或其补角）的大小就是二面角 1B的大小, 由 210,CB得 03,4xyz令 04，则 03， 0z，所以 (,)， 1212 4cos|17， n，所以二面角 1D的余弦值为 37 10 分BA CA1DB1C1xyz
