二分法逼近解题的数学思想方法.pdf

1、- 67 -中国科技信息 2005 年第 22 期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Dec.2005科 技 论 坛中央电视台 “幸运 52 ” 栏目曾有一项活动 ：主持人李咏拿出一件物品， 让参赛者猜这件物品的价格， 若选手猜对， 则将这件物品作为奖品奖励给这位选手。 当选手所猜这件物品的价格不等于该物品的价格时， 主持人立即指出该选手所猜的价格比实际物品的价格高或者低， 以便选手继续猜出下一价格， 直至能正确猜出该物品的价格为止， 然后继续下一物品的猜测。若选手想要在规定时间内拿到较多的奖品，应制定怎样的策略， 才能实现自己的目标呢？实际上

2、, 选手根据对某一件物品的了解程度，首先可判断出该物品的价格在某一范围内， 然后再进一步猜出该物品的价格。 在知道该物品的价格在某一范围内， 如在 a 元与 b 元之间 （不含 a 、 b ， 且为整数， 为便于讨论 , 假设物品的价格数为整数， 单位为元）， 那么应该怎样猜才能比较快地拿到奖品呢？在整数 a 与 b 之间， 共有 b a 1 = N 个整数， 若是对这几个数一个一个地猜， 设猜了 k 次能猜中的概率为 P k , 则 P 1 =1/N ，=2/N ， ，。 若要有 80% 以上的把握猜对的话， 则猜的次数应不少于 80%N 。显然这样要拿到奖品是比较困难的。 但运用二分法逼近

3、猜测， 则情况大不相同。二分法逼近猜测的方法如下 ：、 首先取 ， 若 1 恰好是该物品的价格元， 则取 1 = 即为所求。、 若 1 1 、 当 a 与 b 之间的整数个数为 N=2n 1(n N + ) 时， 则 b=a+2n ， 取 ，当 1 时， 令 a 1 = 1 ,b 1 =b , 则有 a 1 b 1 ， 且 a 1 与 b 1 之间的整数个数为 N 1 =b 1 -a 1 -1=(a+2n)-(a+n)-1=n-1= ； 当 1 时， 令 a 1 =a , b 1 = 1 , 则有 a 1 b 1 且在 a 1与 b 1 之间的整数个数为 N 1 =b 1 -a 1 -1=(a

4、+n)-a-1=n-1= 。2 、 当 a 与 b 之间的整数个数为 N=2n(n N + )时， 则 b=a+2n+1 ， 取， 当 1 时， 令 a 1 = 1 ,b 1 =b , 则有 a 1 b 1 ， 且 a 1 与b 1 之间的整数个数为 N 1 =b 1 -a 1 -1=(a + 2n + 1)-(a + n)-1=n= ； 当 1 时 ,令 a 1 =a , b 1 = 1 , 则有 a 1 b 1 且在 a 1 与 b 1 之间的整数个数为 N 1 =b 1 -a 1 -1=(a+n)-a-1=n-1n= 。综上所述， 当 1 时， 可得到 a 1 b 1 且 a 1 与 b

5、 1 之间的整数的个数为 N 1 N/2 。、 对整数 a 1 与 b 1 重复上述做法， 当二分法逼近解题的数学思想方法苏金源 福建省龙岩职业技能学院 364000摘 要 : 本文通过一则游戏问题的提出， 寻找其解法并阐述用二分法逼近解题方法及理论依据， 同时从概率的角度出发说明这种逼近解法的优越性及其最多几次就可求出这种离散型的数学问题。关键词 ： 二分法逼近 ;猜测 ;概率 ;整数 ;解题方法= 时， 则即为该物品的价格 ； 若 ， 同样可求得 a 2 和 b 2 ， 使得 a 2 b 2 且 a 2 与 b 2 之间的整数的个数为 N 2 =b 2 a 2 1 = 。 ， 由此可得，

6、当N k =b k -a k -1=1 （即 a k 与 b k 之间只有一个整数）时， 取 = ， 即为该物品的价格， 此时有 N k+1 =N k /2=0 。那么当 k 为多少时， N k /2=0 呢 ?我们先解决如下问题 ：引理 1 、 任意一个正整数 N ， 存在整数, 使得, 其中 。证明 ： 对任意一个正整数 N ， 显然存在一个正整数 K 0 ， 使得 。 又因为正整数 N 可以表示成一个二进制的数， 在这个二进制的表示形式中的第 K i +1 位 （从右到左） 的数字为 1 ， 其对应的十进制的数字为 2 Ki（ i=0,1,2, ,p ）， 而二进制中的数字 0 ， 对应

7、的十进制的数字也为 0 ， 所以 。引理 2 、 若整数 ， 则=0 。证明 ： 0 =1 1 =0 。有了上述两个引理， 现在我们来证明如下定理 ：定理 ： 对任意的一个正整数 N ， 记 N 1 =N/2 ， ， ， 则（ n 为正整数）。证明 ： 由引理 1 可得， 对任意正整数 N ， 存在整数 ， 使得, 其中 。、 若 K p ， 显然 N 1 =N/2 成立 ；若 ， 因为即是整数。 因此当时， n/2 ， N/2 2 ， ， N/2 pk 都是整数， 所以 N n =N/2 n （其中 ）。即， 当 k p =0 或者 k p 1 ， N n =N/2 n （ ） 成立。、 若

8、 k p 0 ， 且 1 n k 0 时，由、 可知， 当 n=k p 时， 有 N n =N/2 n 。设当 n=m(k i+1 m k i ,i=0,1,2, ,p-1) 时，原式成立。 即 N m =N/2 m ， 此时= +=当 n=m+1 时， 因为 ， 所以 ， 此时 = + ；而 =2 ko-m-1 +2 k1-m-1 + +2 ki-1-m-1 +；当 k i m ， 即 k i -m-1 0 时， 由条件得， 此时= += ；当 k i =m ， 即 k i -m-1 0 时， 而， 此时= =0= =2 ki-m-1 。 即= 。由上可知， 当 N m =N/2 m 时，

9、可推出 N m=1 =N/2 m=1 。 所以当 k p n k 0 时， N n =N/2 n 成立。、 当 n k o 时， 因为 2 ko n 2 ko+1 ， 有1 N/2 k0 2 ， 所以 ， 从而有， ,N n =0 ； 又由于， 所以 N/2 n =0 ； 即 N n =N/2 n 。由、 、 ， 可得对一切正整数 n ， N n =N/2 n 成立。现在我们可以解决前面的问题了， 根据定理，当 N k+1 =N/k 2 =0, 即 N/2 k+1 =0 时， 有, 因此当 , 即 ， 所以用二分法最多 次就能猜中。这种二分法逼近猜数的效果如何？我们设猜了k 次能猜中的概率为

10、p k ， 则 ： p 1 =1/N ； （下转第 8 2 页）- 82 -中国科技信息 2005 年第 22 期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Dec.2005科 技 论 坛铝电解生产中， 阳极移动的安全保护是关系到人身设备安全的大事， 一旦阳极向上移动失控，则就可能造成将大母线变形断裂或阳极拉弧放电等严重事故， 若阳极向下移动失控， 则会造成阳极压坏电解槽、 烧毁电机等恶性事故， 许多铝电解企业在实际生产过程中都曾不同程度地出现过阳极移动失控的事故， 通过对失控事故的分析， 造成事故的原因主要有以下几方面 ：一 ： 在槽控机中阳极移动控制

11、回路中的相关元器件本身质量较差或在恶劣的电解生产现场运行时间过长而在阳极移动的控制和执行中引发失控二 ： 槽控机控制软件中相关的程序编制存在着不足， 特别是对面板上各功能按钮在被人不按规程操作 （恶意破坏或由于不熟练、 遇事惊慌等） 时可能导致的程序紊乱考虑不周而引发失控三 ： 槽控机中所用的单片机及其系统相关的核心元器件不能保证程序的正常运行而致程序走飞引发的失控四 ： 一些槽控机生产厂家在抬母线或人工纯手动时考虑到是人员集中操作而没有设计任何保护措施， 由于操作人员精力不集中或电机主回路相序接错而没被及时发现时引发的失控 ；笔者通过对数年来的槽控机维护总结， 充分利用槽控机移动阳极时的工作

12、状态， 利用一款经济实用的可编程器 PROG 110 ， 组成了一个对铝电解槽阳极移动进行巡检监测并在阳极移动超过设定的时间就立即报警的报警系统， 来解决上述问题和不足， 以加强对阳极移动的保护。系统由可编程器 PROG 110 、 模拟开关CD4067 、 译码驱动器 CD4511 、 继电器 HK3FF 、用可编程器组成的铝电解槽阳极移动超时报警巡检系统孙飞 陈宇 河南神火铝电有限责任公司LED 数码管等组成， CD4511 和数码管用来显示系统正在检测的槽号， 模拟开关 CD4067 的每一检测输入端通过同所设定检测的那台槽控机的一个主回路接触器的一个常开辅助触点相串接后接到系统电源的地

13、端 （如图一所示）。 系统的工作原理是 ： 上电后， 系统即按设定的顺序对槽控机的主接触器的开合状态进行检测， 一旦检测到某台槽移动阳极， 则立即进入到相应的定时监控程序（如定为 5 秒）， 定时到后， 系统再次对该槽主接触器进行状态检测， 正常情况下， 阳极移动时间达到允许的最大时间时 （如 5 秒） 就应该停止， 此时 CD4067 的输入端应为高电平， 如果出现阳极移动失控， 则主接触器仍然闭合， 此时CD4067 的输入端保持低电平， 从而使 PROG 110 的检测输入端输入低电平， 系统判断出现升降超时发出相应的报警信号， 同时数码管显示相应的槽号， 准确提醒现场人员， 避免重大事

14、故的发生。可编程器的各输入输出端口的定义是 ： P1 、P2 、 P3 、 P4 口用着槽号选择控制口， 分别同CD4067 的 10 、 11 、 14 、 13 和 CD4067 的 7 、1 、 2 、 6 管脚相连， P5 用着输入检测口， 低电平有效 ； P6 口用为报警信号控制端， 低电平有效。 （如下图所示）图一（上接第 6 6 页）来了很大的鼓舞， 它是否预示着在不远的将来真能够找到 的准确表达式呢？！我们将拭目以待。参考文献 ：1、 华罗庚 .数论导引 .北京科学出版社 .19932、 潘承洞等 .解析数论基础 .北京科学出版社 .20013、 Burr S A. The u

15、nreasonable Effectiveness ofNumber Theory. In: proc of symposia in appliedmathematics,1999.Ams providence. Rhode Island.作者简介 ：师韶琴 （ 1963- ） , 漯河市人。 在职研究生，讲师。 程传蕊 （ 1968- ）， 河南泌阳人。 在职研究生， 讲师。 研究方向 ： 数学应用。（上接第 6 7 页） 3/N ； ； 且当 时，p k =1 。由此可见， 当 k=1 时， P 1 =p 1 ； 当 时， 有 P k p k ；当 时， P k p 。 可见用二分法的逼近

16、猜数比在 a 与 b 之间随意地猜的方法的效果更好， 能更快地猜出其物品的价格。 因此， 选手可用这种二分法逼近的方法来猜测物品的价格， 可在规定的时间内获得更多的奖品。同样， 对于一些连续性的问题， 我们可以根据闭区间上连续函数的介值定理， 运用二分法逼近的方法求解。 如用二分法逼近求方程 x 3 -x-1=0 在区间 （ 1 ， 2 ） 内的近似根， 使误差不超 0.01 。 则用这种方法7 次就可求得符合条件要求的方程的近似根为 。通过以上面的分析说明， 利用二分法逼近解题的思想方法， 可把原来较大范围内不易求解的问题， 逐步缩小范围， 从而最终求出符合条件的解， 这种思想方法对一些问题的解决能起到积极的作用。