1、中考数学压轴题解题策略 梯形的存在性问题解题策略2015 年 9 月 23 日星期三专题攻略解梯形的存在性问题一般分三步：第一步分类，第二步画图，第三步计算一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便例题解析例 如图 1-1，四边形 ABCD 是直角梯形，AD/ BC，B90，AD24cm ，BC 28cm 点 P 从点 A 出发以 1cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C
2、 同时出发，以 3cm/s 的速度向点 B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动从运动开始，经过多长时间，四边形 PQCD 成为平行四边形？成为等腰梯形？图 1-1【解析】这 道题目中蕴含了一个经典的判断题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？回答是否定的可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，区别在于另一组对边是否平行如图 1-2，如果四边形 PQCD 是平行四边形，那么 PDQC所以 24t3t解得 t6如图 1-3，如果四边形 PQCD 是等腰梯形，作 PMBC ， DNB C，垂足分别为M、N ，那么 QMCN所以 t(283 t)4解得 t8图 1-2 图
3、 1-3例 如图 2-1，在 RtABC 中，C90，AC3，AB5点 P 从点 C 出发沿 CA以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动；同时点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动当点 P 到达点 A 时停止运动，点 Q 也随之停止伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，DE 交 BC 于点 E设 P、Q 运动的时间是 t 秒（t 0） ，在运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由图 2-1【解析】在四边形 QBED 中，B 是确定的锐角，QDE 是直角如果要成为梯形，存在 DE/QB 和
4、DQ/EB 两种情况站在梯形的外部看梯形，问题就迎刃而解如图 2-2， 当 DE/QB 时，DQB 90，此时AQP 是直角三角形如图 2-3，当 DQ/EB 时，四边形 DECP 是矩形， AQP 是直角三角形这样就转化为解 RtAQP 了已知 AP ，AQt， 33cos5A如图 2 -2， 时，解得 如图 2-3， 时，解得 35AQtP98tPtQ158t解题时，只需要画出图 2-4 和图 2-5 这样的示意图就好了图 2-2 图 2-3 图 2-4 图 2-5例如图，已知 A、B 是双曲线 上的两个点，A、B 的横坐标分别为 2 和2yx1，BCx 轴，垂足为 C在双曲线上是否存在点
5、 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是梯形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由图 3-1【解析】ABC 是确定的，过 每个顶点画对边的平行线，与双曲线的交点就是要求的点 D已知 A(2,1)，B(1,2)，C(1,0) 设 2(,)Dx如图 3-2，过点 A 作 BC 的 平行线，不存在点 D如图 3-3，当 BD/AC 时，ACE DBF ，所以 AEFCB解方程 ，得 x1 或 x6此时 2131(,)3如图 3-4，当 CD/AB 时，ABN DCM，所以 NDM解方程 ，得 x1 或 x2此时 D(1,2)或(2, 1) 23x图 3-2 图 3-3 图 3-
6、4从上面的解题过程我们可以感受到：画图可以快速找到目标，计算可以准确定位根据等角的正切值相等列方程比较简便在图 3-4 中，解方程还达到了“一石二鸟”的目的例如图 4-1，已知抛物线 与 x 轴的交点为 A、D（A 在 D 的右侧） ，2384yx与 y 轴的交点为 C，设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B 、 C、P 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 4-1【解析】过ABC 的三个顶点分别画对边的 平行线，与抛物线的交点就是点 P易知 A(4, 0)，D(2, 0)，C(0,3)，B(2, 3)设 P 23
7、(,)84x如图 4-2，当 AP/BC 时，点 P 就是点 D，此时 P(2, 0) 如图 4-3，当 CP/BA 时，作 PEBC ，AFBC ，垂足分别为 E、F根据 ，得 解得 x6此 时 P(6, 6)PEAFCB23()(3842x如图 4-4，假设 BP/AC，那么 所以 BGAFPC23()384x解得 x2此时点 P 与点 B 重合，梯形不存在图 4-2 图 4-3 图 4-4例 如图 5-1，把两个全等的 RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边 OB、OD 在 x 轴上已知点 A(1，2) 抛物线 y ax2bxc 经过 O、A、C 三点（1）求该抛
8、物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由 图 5-1【解析】在等腰梯形中，构造辅助线常见的方法，就是把等腰梯形分割为一个矩形和两个全等的直角三角形如图 5-2，图 5-3，在坐标平面内，如果梯形的两底与坐标轴平行，一般根据 BE FC 列方程在图 5-2 中，x Ax Bx Cx D；在图 5-3 中，y By Ay Dy C（1）抛物线的解析式为 237y（2）如图 5-4，如果梯形 ABPM 是等腰梯
9、形，那么 AM BP，因此yA yMy Py B直线 OC 的解析式为 ，设点 P 的坐标为 ，那么 12yx1(,)2x237(,)Mx解方程 ，得 ， 237()13x2 的几何意义是 P 与 C 重合，此时梯形不存在所以 (,)3P事实上，我们事先并不知道点 M（或点 P）的准确位置在哪里？甚至不知道点 M（或点 P）在 AB 的右侧还是左侧？但这不影响我们解题，先假设，再列方程，然后根据方程的解验证位置图 5-2 图 5-3 图 5-4例 如图 6-1，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，动点 P 从点 D 出发沿 DA 向终点A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发沿对角线 AC 向终点 C 运动过点 P 作 PE/DC，交 AC 于点 E，动点 P、 Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 x 秒，当 x 为何值时，四边形 PQBE 为梯形？图 6-1【解析】按照四边形 PQBE 的对边平行，分两种情况讨论：当 PE/QB 时，由于 PE/AB，所以 QB/AB，因此 Q、A 重合，此时四边形 PQBE 是矩形， 不是梯形（如图 6-2） 如图 6-3，当 PQ/BE 时，APQ CBE ，由 ，得 解得PCBE45x45x图 6-2 图 6-3
