1、【题型综述】点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径， 是平面内一点，则 点 在圆内； 点 在圆外；ABG0GAB0GAB点 在圆上 方程法，已知圆的方程 ，点 ，则022)()(:rbyaxMN),(0yx点 在圆 内； 点 在圆 上；220)()(rbyaxN020)(rxM点 在圆 外.0四点共圆问题的解题策略：利用四点构成的四边形的对角互补；利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.【典例指引】类型一 向量法判定点与圆
2、的位置关系例 1 【2015 高考福建，理 18】已知椭圆 E： 过点 ，且离心率为 21(a0)xyb+=(,2） 2()求椭圆 E 的方程； ()设直线 交椭圆 E 于 A，B 两点，1xmyR=-， ()判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由9(4,0)【解析】解法一：()由已知得解得 ，22,bca=+ 2abc=所以椭圆 E 的方程为 214xy=()设点 AB 中点为 12(),B),A0H(,y)x由 学科（2）OPQ221|POQab|OP|2+|OQ|2的最大值为 ;（3） 的最小值是 .24abS2ab2.若椭圆方程为 21(0)xy，半焦距为 ，焦点
3、 ，设c12,0,Fc过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有：1Fl；2211,coscosbbABFaa2cosab 若椭圆方程为 2(0)xyb，半焦距为 ，焦点 ，设12,0,Fc过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有：F l；22,coscosbbAFBFaa 2cosabAB 同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 （a 为长半轴，b 为短半轴，c 为2sinac 半焦距）结论：椭圆过焦点弦 长公式：2cosinbxaABy 焦 点 在 轴 上焦 点 在 轴 上3.设 为过抛物线 焦点的弦， ，直线 的倾斜角为 ，则AB2(0)ypx12(,)(,)
4、AxB、 AB. 2211,;4px. 1 2,cos1cospAFBFx. 22;inpBx. ；|FAP. ；234OBp. ；211sin2sinA FpSAOBh【同步训练】1 已知椭圆 的离心率 ，过点 A（0，b）和 B（a，0）的直线与原点的距离为 （1）求椭圆的方程；来源:学。科。网 Z。X。X。K（2）已知定点 E（1，0） ，若直线 y=kx+2（k0）与椭圆交于 C、D 两点，问：是否存在 k 的值，使以CD 为直径的圆过 E 点？请说明理由【思路点拨】 （1）直线 AB 方程为 bxayab=0，依题意可得： ，由此能求出椭圆的方程（2）假设存在这样的值 ，得（1+3k
5、 2）x 2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解（2）假设存在这样的值，得（1+3k 2）x 2+12kx+9=0，=（12k） 236（1+3k 2）0，设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，则而 y1y2=（kx 1+2） （kx 2+2）=k 2x1x2+2k（x 1+x2）+4 ，要使以 CD 为直径的圆过点 E（1，0） ，当且仅当 CEDE 时，学科&网则 y1y2+（x 1+1） （x 2+1）=0 ，（ k2+1）x 1x2+（2k+1） （x 1+x2）+5=0将代入 整理得 k= ，学科& 网经验证 k= 使得成立综上可知，存在 k= 使
6、得以 CD 为直径的圆过点 E2.已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 .（1）若 ，求椭圆的方程；（2）设直线 与椭圆相交于 两点， 分别为线段 的中点，若坐标原点 在以 为直径的圆上，且 ，求 的取值范围.【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得 ， ，所以椭圆的方程为 .(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，结合离心率的 范围可知 则 的取值范围是.因为 ，所以 ， .所以 ，即 .学科& 网3.已知椭圆 ： 过点 ，且离心率 （）求椭圆 的方程；（）椭圆 长轴两端点分别为 ，点 为椭圆上异于 的动点，直线 ： 与直线 分别交于 两点，又点 ，过 三点
7、的圆是否过 轴上不同于点 的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】 （1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由 a，b，c 的关系，即可得到椭圆方程；（2）设 ，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算 即可得证4.已知椭圆 ： 的焦点 、 在 轴上，且椭圆 经过 ，过点 的直1E216xya1F2x1E,2(0)PmP线 与 交于点 ，与抛物线 ： 交于 、 两点，当直线 过 时 的周长为 l1Q2E4ABl2F1Q23（）求 的值和 的方程；m1（）以线段 为直径的圆是否经过 上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说 明理由。AB2【思路点拨】 （
8、1）由 的周长为 求得 a,再根据椭圆 经过 求得 m.1PFQ031E,2Pm（2）设直线 方程 ，与抛物线方程联立方程组，消 x 得关于 y 的一元二次方程，结合l:5xny韦达定理，化简以线段 为直径的圆方程，按参数 n 整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标AB5.已知抛物线 顶点在原点，焦点在 轴上，抛物线 上一点 到焦点的距离为 3，线段 的两CyC,2QaAB端点 ， 在抛物线 上.1,Axy2,Bxy（1）求抛物线 的方程；（2）若 轴上存在一点 ，使线段 经过点 时，以 为直径的圆经过原点，求0,()MmABMAB的值；m（3）在抛物线 上存在点 ，满足 ，若 是以角 为直角的
9、等腰直角三角形，C3,Dxy312xD求 面积的最小值.AB【思路点拨】 （1）根据抛物线的定义，丨 QF 丨=丨 QQ1 丨，即可求得 p 的值，即可求得抛物线方程；（2）设 AB 的方程，代入椭圆方程，由 ，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得0OABm 的值；（3）设 ， ， ， 根据抛物线关于 轴对称， 取 ，记 ， 21,4xA2,4xB23,4xCy10x1ABk，则有 ， ，所以 ， ， ，由2Dk211k312k21kx3214k2，即 ，进而化简求出 ，得： ， ABD221131kxkx1x3124kx，即可求得ABD 面积的最小值2221141|ABSk （3）如
10、图所示，设 ， ， ，根据抛物线关于 轴对称，取 ，记 ， 21,4xA2,4xB23,4xCy10x1ABk，2Dk则有 ， ，所以 ， ， ，学科&网114x3124xk21xk321xk2k又因为 是以 为顶点的等腰直角三角形，所以 ，ABABD即 ，将 代入得：221131kxkx23,x6.已知椭圆 ： （ ）经过点 ，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等C21xyab0a21,P腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）动直线 ： （ ， ）交椭圆 于 、 两点，试问：在坐标平面上是否l103mxnymnRCAB存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 .若存在，求出点 的坐标；若不
11、存在，请说明理由.TABTT【思路点拨】 （1）由题设知 a= ，所以 ，椭圆经过点 P（1， ） ，代入可得2b21xyb2b=1，a= ，由此可知所求椭圆方程.2（2）首先求出动直线过（0， ）点当 l 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：x 2+（y+ ）2= ；当13 369l 与 y 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程： x2+y2=1由 由此入手可求出点 T 的216 39xy（ ）坐标（2）首先求出动直线过 点.10,3当 与 轴平行时，以 为直径的圆的方程： LxAB22143xy当 与 轴平行时，以 为直径的圆的方程： y 2由 解得学科& 网2214 3xy0
12、1xy即两圆相切于点 ，因此，所求的点 如果存在，只能是 ，事实上，点 就是所求的点.0, T0,10,1T证明如下：当直线 垂直于 轴时，以 为直径的圆过点LxAB,当直线 不垂直于 轴，可设直线 ： L13ykx由 消去 得： 213 ykxy2189607.如图，曲线 由上半椭圆 ： （ ， ）和部分抛物线 ： （C121yxab0ayC21yx）连接而成， 与 的公共点为 ， ，其中 的离心率为 来源:学.科.网 Z.X.X.K0y12AB1C32（1）求 ， 的值；ab（2）过点 的直线 与 ， 分别交于点 ， （均异于点 ， ） ，是否存在直线 ，使得以Bl1C2PQABl为直径的
13、圆恰好过 点，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由PQAl【思路点拨】 （1）在 ， 的方程中，令 ，可得 ，且 ， 是上半椭圆 的左、20y1b,01,1C右顶点，设 半焦距为 ，由 及 ，联立解得 ；（2）由（1）知，上半椭圆 的1Cc3a22ca1方程为 ，由题意知，直线 与 轴不重合也不垂直，设其方程为 （ ） ，2104yxylx 1ykx0代入 的 方程，整理得： ，设点 的坐标为 ，由根公式，得点1C22440kkP,P的坐标为 ，同理，得点 的坐标为 由 ，即可得出P28,4kQ21,kk10AQ的值，从而求得直线方程.k8.已知过点 的椭圆 的左右焦点分别为 ， 为
14、椭圆上的任意一0,1A2:10xyCab12F、 B点，且 成等差数列.1223,3BF（1）求椭圆 的标准方程；C（2）直线 交椭圆于 两点，若点 始终在以 为直径的圆外，求实数 的取值范围.:lykx,PQAPQk【思路点拨】 （1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出 的关系，再根据椭圆 过点 ，求出,acCA的值，即可写出椭圆的标准方程；,ab（2）设 ，根据题意知 ，联立方程组，由方 程的根与系数的关系求解12,Pxy12,0xy，再由点 在以 为直径的圆外，得 为锐角， ，由此列出不等式求出 的,AQPAQ0PAQk取值 范围.（2）设 ， ，联立方程 ，消去 得：1,Pxy2,Q
15、xy2 14ykxy；2224640kk依题意直线 恒过点 ，此点为椭圆的左顶点， ， ，:lyx, 12x10y由方程的根与系数关系可得， ；21264kx可得 ；1212ykx12由，解得 ， ；228424ky由点 在以 为直径的圆外，得 为锐角，即 ；APQPAQ0PAQ由 ， ，2,12,1xy ；即 ，210APQxy 2246104k整理得， ，解得： 或 .043k30实数 的取值范围是 或 .102k9.已知动点 M 到点 N（1，0）和直 线 l：x= 1 的距离相等（1）求动点 M 的轨迹 E 的方程；（2）已知不与 l 垂直的直线 l与曲线 E 有唯一公共点 A，且与直
16、线 l 的交点为 P，以 AP 为直径作圆 C判断点 N 和圆 C 的位置关系，并证明你的结论【思路点拨】 （1）利用抛物线的定义，即可求动点 M 的轨迹 E 的方程；（2）由题意可设直线 l：x=my+n，由 可得 y24my4n=0，求出 A，P 的坐标，利用向量的数量积，即可得出结论所以 NANP，所以点 N 在以 PA 为直径的圆 C 上10.已知抛物线 C1：y 2=2px（p0）的焦点为 F，抛物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3，且点 G 在圆C：x 2+y2=9 上（）求抛物线 C1 的方程；（）已知椭圆 C2： =1（m n0）的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合，且离心率
17、为 直线l：y= kx4 交椭圆 C2 于 A、B 两个不同的点，若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部，求 k 的取值范围【思路点拨】 （1）设点 G 的坐标为（ x0，y 0） ，列出关于 x0，y 0，p 的方程组，即可求解抛物线方程（2）利用已知条件推出 m、 n 的关系，设（x 1，y 1） 、B （ x2，y 2） ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于 0，求出 K 的范围，通过原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部，推出 0，然后求解 k 的范围即可由0，即（32k） 2416（4k 2+3）0，k 或 k （10 分）原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的
18、外部，则 0， =x1x2+y1y2=x1x2+（kx 14）（kx 24）=（k 2+1）x 1x24k（x 1+x2）+16=（k 2+1） 4k +16= 0，解得： k 由、 得实数 k 的范围是 k 或 k ，k 的取值范围（ ， ） （ ， ） （12 分）来源:Zxxk.Com11.已知双曲线 渐近线方程为 ， 为坐标原点，点 在 双210xybaa3yxO3,M曲线上（）求双曲线的方程；（）已知 为双曲线上不同两点，点 在以 为直径的圆上，求 的值,PQOPQ221PQ【思路点拨】 （1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点 M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得
19、，可设出直线 的方程，代入双曲线方程求得点 的坐标可求得O, ,。223PQ12.已知点 P 是圆 F1：（x1） 2+y2=8 上任意一点，点 F2 与点 F1 关于原点对称，线段 PF2 的垂直平分线分别与 PF1，PF 2 交于 M，N 两点（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）过点 G（0， ）的动直线 l 与点的轨迹 C 交于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使以 AB 为13直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】 （1）由圆的方程求出 F1、F2 的坐标，结合题意可得点 M 的轨迹 C 为以 F1，F2 为焦点的椭圆，并求得
20、 a，c 的值，再由隐含条件求得 b，则椭圆方程可求；（2）直线 l 的方程可设为 ，设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，联立直线方程与椭圆方程，化为关3ykx于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出 A，B 横坐标的和与积，假设在 y 轴上是否存在定点Q（0，m） ，使以 AB 为直径的圆恒过这个点，可得 ，即 利用向量的坐标运算Q0ABQ即可求得 m 值，即定点 Q 得坐标【详细解析】 （1）由圆 F1：（x1）2+y2=8，得 F1（1，0） ，则 F2（1，0），由题意得 ，2 |MP点 M 的轨迹 C 为以 F1，F2 为焦点的椭圆， 2,ac点 M 的轨迹 C 的方程为 ；21xy
