1、1ACBD （1）已知四边形 ABCD， ABC=30ADC=60 AD=DC，求证 BD =AB 2+BC 2方法一：把ABD 绕 D逆时针旋转 60,AD=DC 旋转后的DCPDAB,BDP=60BD=BP,等边三角形 BDP,BP=BD.又ABD+CBD=30 CBD+CPD=30，BCCP(是可以证的，BPD+DBC+DPC=直角 BCP) BC+CP=BPCP=AB,BP=BD 如图 1方法二：做 BPAB,且使 BP=BC,连接 AP,AC,PC.AD=DC,ADC=60等边三角形ADC BABP,ABC=30PBC=60等边三角形 PBC AC=DC,ACP=DCB,PC=BC
2、ACPDCB(SAS)AP=BD 又RTABPAB+BP=AP BP=BC，AP=BD 如图 2如图所示，在凸四边形 ABCD 中，ABC=30，ADC=60，AD=DC，求证：BD =AB+BC如图：四边形 ABCD中，AD=DC，ABC=30，ADC=60试探索以 AB、BC、BD 为边，能否组成直角三角形，并说明理由2解：分析:待证明的等式说明 AB,BC,BD三条线段可组成一个直角三角形.因此,应设法将它们集中到一起.从条件容易知道,三角形 ADC是一个正三角形.这样,就可一将三角形 BCD作旋转变换.得到以下证明方法:证明:连结 AC,因为 AD=DC,ADC=60则ACD 是等边三
3、角形.过 B作 BEAB,使 BE=BC,连结 CE,AE则EBC=90ABC=9030=60BCE 是正三角形,又ACE=ACBBCE=ACB60DCB=ACBACD=ACB60ACE=DCB又 DC=AC,BC=CE所以DCBACE所以 AE=BD在直角三角形 ABE中 AE2=AB2BE2即 BD2=AB2BC2证明:过 B作 ABBE 使 BE=BC则ABE=90ABC=30CBE=60BCE 为正三角形BC=BE=CEACE=ACB+60=DCBAC=DC BC=CEDCBACEBD=AE在 RtABE 中AE2=AB2+BE23BD 平方=AB 平方+BC 平方过 B作 ABBE
4、使 BE=BC则ABE=90ABC=30CBE=60BCE 为正三角形BC=BE=CEACE=ACB+60=DCBAC=DC BC=CEDCBACEBD=AE在 RtABE 中AE2=AB2+BE2BD 平方=AB 平方+BC 平方过 B作 ABBE 使 BE=BC则ABE=90ABC=30CBE=60BCE 为正三角形BC=BE=CEACE=ACB+60=DCBAC=DC BC=CEDCBACEBD=AE在 RtABE 中AE2=AB2+BE2BD 平方=AB 平方+BC 平方解答:分析从结论想办法.结论是 BD =AB +BC ,是勾股定理的表达式，因此要通过变形,构造22直角三角形,使
5、BD 为斜边 , AB、BC 为直角边。为此我们 过点 B 作 BE 垂直 AB 于 B,使 BE=BC，点 E、C 在直线 AB 同旁，连结 CE， 则三角形 BCE 为等边三角形。 连结 AE、BD ，在三角形 ACE 和三角形 BCD 中， BC=CE，CD=AC，ACE=60 度+ ACB，BCD=60 度+ACB，所以ACE= BCD 所以三角形 BCD 全等于三角形 ACE，于是 AE=BD ；在三角形 ABE 中，ABE=90 度，所以， AE =AB +BE ,22BE=BC, AE =AB +BC所以，BD =AB +BC2242.如图，在四边形 ABCD 中，ABC=30，
6、ADC=60，AD=DC，连接 AC、BD 在四边形 ABCD 的外部以 BC 为一边作等边三角形 BCE，连接 AE（1 ）求证：BD=AE；（2 ）若 AB=2，BC=3，求 BD 的长(1)略；（2 ）BD= .【解析】试题分析：（1）由ADC=60，AD=DC，易得ADC 是等边三角形，又由BCE 是等边三角形，可证得BDCEAC （SAS），即可得 BD=AE；（2 ）由BCE 是等边三角形， ABC=30，易得ABE=90，然后由勾股定理求得 AE 的长，即可求得 BD 的长试题解析：证明：在ADC 中，AD=DC，ADC=60，ADC 是等边三角形，DC=AC，DCA=60 ；又
7、BCE 是等边三角形，CB=CE ，BCE=60，5DCA+ACB= ECB+ ACB，即DCB=ACE，在BDC 和 EAC 中，BDCEAC（SAS ），BD=AE；（2 ） 【解析】BCE 是等边三角形，BE=BC=3，CBE=60 ABC=30，ABE=ABC+CBE=90 在 RtABE 中，AE= = = ，BD=AE= 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质（3）三角形 abc 是等腰直角三角形，acb=90 ，m，n 为斜边 ab 上两点。满足 am +bn =mn 求MCN 的度数22方法 1：给你一个提示，M N 两点分别是 MN=2AM=2BN,也就是说 M
8、N=1/2AB,AM=BN=1/4AB,M N 分别做 AC BC 的高，利用三角函数求出角 BCN ACM,实际上这6两个角是相等的，然后用 90 度减去就行了方法 2证明：作 PAAB，且 PA=BN，连接 CP三角形 ABC 是等腰直角三角形，AC=BC ， CAB=B=45在CPA 和CNB 中， PAC=90-CAB=45=B，PA=NB，CA=CBCPACNB（SAS）CP=CN，PCA=NCBMCN=45ACM+NCB=45 则PCA+ ACM=45 即PCM=45=MCN。又CM=CMPCMNCM（SAS）PM=MNPAM 是直角三角形， PA+AM=PM即 AM+BN=MN如
9、图，等腰直角ABC 的斜边 AB 上有两点 M、N，且满足 MN2=BN2+AM2，将ABC 绕着 C 点顺时针旋转 90后，点 M、N 的对应点分别为 T、S（1）请画出旋转后的图形，并证明MCN MCS ；（2）求MCN 的度数作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理专题： 综合题分析： （1）根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点，顺次连接即可得出旋转后的图形，根据 MN2=BN2+AM2，可证得 MS=MN，从而利用 SSS可证得结论（2）根据旋转角为 90，再由（ 1）的结论即可得出答案解答： 解：（1）画图形如右图所示：证明：由旋转的性质可得：CS=CN，A
10、S=BN，又MN 2=BN2+AM2，MN 2=AS2+AM2=MS2，7MS=MN，又CS=CN，CM=CM，MCN MCS（SSS）（2）由（1 ）得：MCN MCS ，NCM=MCS=45 点评： 本题考查旋转作图及三角形全等的证明，难度较大，关键是掌握旋转前后线段的长度，角的度数均不变（4）三角形 ABC 中,D 在 AC 上 AB=AD=2,AC=4,BD:DC=2:3 则三角形是什么三角形设 BD 的中点为 E，且 BD2x，则 CD3x，从而 CE4x，由勾股定理得：AB BE AE AC CE2222 x2 4 (4x) 得：x 5BC (5x) 25x 25 2022254而
11、 AB AC 2 4 20AB AC BC2即ABC 是直角三角形（5）在ABC 中，AB=10，AC=5，D 是 BC 上的一点，且 BD：DC=2：3，则 AD 的取值范围是 4AD8考点： 三角形三边关系分析： 已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出 BC 的取值范围；根据 BD：DC=2：3 ，求出 BD，DC 的取值范围，再根据三角形三边关系求出 AD 的取值范围解答： 解：由三角形三边关系定理得 10-5BC 10+5 ，即 5BC15 BD：DC=2：3， 2BD 6，AD 的取值范围是 10-6AD 10-2 ，即 4AD8故答案为 4AD8点评：
12、 本题考查了三角形三边关系要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边8已知三角形 ABC,点 D 在边 AC 上,AD:DC=2:1,BDAB, tanDBC= ,则 sin 31BAC 为 答案为 2解：过 D 做 AB 的平行线交 BC 于 E，则因为 BDAB ，所以 BDBC，在RtBED 中，因为 tan DBC= ，即 DE/BD= ，设 DE=k,则 BD=3K,所以3131BE=10k.因为 DEAB， = ，所以 = ，故 CE= ,在DBC 中DCA2B2K210tanDBC= ，即 = ，解得 cosDBC=3 倍根 10/10，由余弦定31B
13、cosin31理解得 DC=3k 倍根 2/2,所以 AD=3k 。所以 sinBAC = = .。2ADB2如图，已知ABC，点 D 在边 AC 上，AD：DC=2：1，BDAB，tan DBC= ，则 sinBAC 的值是首先过 D 做 AB 的平行线交 BC 于 E，求出 cosDBC= = = ，进而得出 CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC，求出 CD 的长，进而得出 sinBAC 的值【解析】过 D 做 AB 的平行线交 BC 于 E，BDAB，BDDE，在 RtBED 中，tanDBC= ，即 = ，9设 DE=k，则 BD=3K，所以 BE= kDEAB， =2， =
14、2，故 CE= k，在DBC 中 tanDBC= ，则 cos DBC= = = ，由余弦定理：CD 2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC ，CD2=9k2+（ ） 2k2-23k k ，解得：DC= ，所以 AD=3k 所以 sinBAC= = 故答案为： 1011直角三角形斜边中线定理如 果 一 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ， 那 么 这 个 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 其 逆 命 题 1： 如 果 一 个 三 角 形 一 条 边 的 中 线 等 于 这 条 边 的 一 半 ， 那 么 这 个 三角 形 是 直 角 三 角 形 ， 且
15、这 条 边 为 直 角 三 角 形 的 斜 边 。 逆 命 题 1 是 正 确 的 。 以 该 条 边 的 中 点 为 圆 心 ， 以 中 线 长 为 半 径 作 圆 ， 则12该 边 成 为 圆 的 直 径 ， 该 三 角 形 的 另 一 个 顶 点 在 圆 上 ， 该 顶 角 为 圆 周 角 。 因 为直 径 上 的 圆 周 角 是 直 角 ， 所 以 逆 命 题 1 成 立 。 原 命 题 2： 如 果 BD 是 直 角 三 角 形 ABC 斜 边 AC 上 的 中 线 ， 那 么 它 等于 AC 的 一 半 。 逆 命 题 2： 如 果 线 段 BD 的 一 端 B 是 直 角 三 角
16、 形 ABC 的 顶 点 ， 另 一 端D 在 斜 边 AC 上 ， 且 BD 等 于 AC 的 一 半 ， 那 么 BD 是 斜 边 AC 的 中 线 。 逆 命 题 2 是 不 成 立 的 。 举 一 个 反 例 。 设 直 角 三 角 形 三 边 长 分 别 为AB=3， BC=4， AC=5。 斜 边 的 一 半 长 为 2.5,斜 边 上 的 高 BE=（ 3*4） /5=2.4,在 线 段 AE 上 上 必 能 找 到 一 点 D， 使 BD=2.5， 但 BD 并 不 是 AC 边 的 中 线 ，因 为 AC 边 的 中 点 在 线 段 EC 上 。 3.阅读：定理“直角三角形斜
17、边上的中线等于斜边的一半”，如图，RtABC 中，D 为 AB 中点，则 CD=AD=BD= 12AB（此定理在解决下面的问题中要用到）应用：如图 1，在ABC 中，点 P 为 BC 边中点，直线 a 绕顶点 A 旋转，若 B、P 在直线 a 的异侧，BM直线 a 于点 M，CN直线 a 于点 N，连接 PM、PN；（1）延长 MP 交 CN 于点 E（如图 2）求证：BPMCPE；求证：PM=PN；（2）若直线 a 绕点 A 旋转到图 3 的位置时，点 B、P 在直线 a 的同侧，其它条件不变，此时 PM=PN 还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）若直线 a 绕点 A
18、旋转到与 BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形 MBCN 的形状及此时 PM=PN 还成立吗？不必说明理由14（1） 证明：BM直线 a，CN直线 a，BMN=CNM=90，BMCN ，MBP=PCE，点 P 为 BC 边中点，BP=PC，在BPM 和CPE 中，MBP=PCEBP=PCBPM=CPEBPMCPE（ASA ）；BPMCPE，MP=PE，MNE=90，PN=PM；（2）PM=PN 还成立理由如下：如图 3，延长 MP 与 NC 延长线交于 F，BM直线 a，CN直线 a，BMFN，BMP=PFC，点 P 为 BC 边中点，BP=PC，在BMP 和CFP 中，BMP
19、=PFCBP=PCBPM=CPFBMPCFP（ASA），PM=PF，15MNF=90，PM=PN；（3）四边形 MBCN 是矩形，PM=PN 还成立理由如下：如图 4，aBC，BMa ，CNa ，BMCN ，BM=CN，四边形 MBCN 是矩形，点 P 是 BC 的中点，BP=CP，在BMP 和CMN 中，BM=CNPBM=PCN=90BP=CPBMPCPN（SAS ），PM=PN4.如图，在 RtABC中，ABC=90，D 是斜边 AC 的中点，DEAB ，垂足为 E，EFDB 交 CB 的延长线于点 F，猜想：四边形 CDEF 是怎样的特殊四边形？试对你猜想的结论说明理由 四边形 CDEF
20、 是等腰梯形理由：在 RtABC中，ABC=90，D 是斜边 AC 的中点，DEAB，BD是斜边上的中线，DE 是 ABC的中位线，BD=CD，DEBC，DE= 12BC，16EFDB，四边形 BDEF 是平行四边形，BD=EF，EF=CD，DEBC，四边形 CDEF 是梯形，四边形 CDEF 是等腰梯形在 RtABC中，C=90，AC=6，点 D 是斜边 AB 中点，作 DEAB，交直线 AC 于点 E。（1）若 A=30，求线段 CE 的长；（2）当点 E 在线段 AC 上时，设 BC=x，CE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若 CE=1，求 BC 的长。题型：解答题难度：偏难来源：解：（1）（1）联结 BE，点 D 是 AB 中点且 DEAB，BE=AEA=30，ABE=30，CBE=B-ABE=30又C=90 AC=6 ；（2）结 BE，则在 RtBCE中，由勾股定理得即解得 ；15（3）1当点 E 在线段 AC 上时，由（2）得解得 （负值已舍）2当点 E 在 AC 延长线上时，在 RtBCE中，由勾股定理得 ，即解得 （负值已舍）综上所述，满足条件的 BC 的长为 ， 。
