1、因式分解是把一个多项式化分为几个整式的积的形式，他是中学教学中最重要的恒等变形之一，并被广泛的应用于初等教学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法技巧，不仅掌握了因式分解内容所需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。初中数学教材中主要介绍了提取公式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法，而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘交换对称法等。学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础。因式分解得注意三项基本原则： 1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-5x2
2、+x=-x(5x-1) ）因式分解是初中数学中的重要内容, 是中学数学的基础,由于因式分解的题型多,变化答案,初学因式分解的同学,常犯如下错误:一、 概念理解不透例 1.分解因式 :8x2y-4xy2+12x2y2误解:原式=xy(8x-4y+12xy)原因:对公因式这一概念没有真正理解, 忽视了数字因式正解:原式=4xy(2x-y+3xy)例 2.分解因式:a2+3a-4误解:原式=a(a+3)-4原因:没有理解因式分解的概念, 即没有把一个多项式从整体上化成几个整式乘积的形式正解 :原式=(a-1)(a+4)二、 方法不对1. 提公因式法中的错误(1).有而不提例 3.分解因式 :100x
3、2-25误解 :原式=(10x+5)(10x-5)原因:如果多项式的个项有公因式, 应先提公因式, 但这里没有提公因式 25正解:原式=25(2x+1)(2x-1)(2).提而不尽例 4. 分解因式:6(p-q)2-2(q-p)误解:原式=23(p-q)2-(q-p)=23(p2-2pq-q2)-(q-p)=2(3p2-6pq+3q2-q-p)原因:对 p-q=-(q-p)不理解, 丢失了公因式(p-q)正解:原式=2(p-q)3(p-q)+1=2(p-q)(3p-3q+1)(3).提后不补位例 5. 分解因式:14abx-8ab2x+2ax误解:原式=2ax(7b-4b2)=2abx(7-4
4、b)原因:错误地认为把 2ax 提出来后,该项就不存在了 ,实际应为 2ax2ax=1正解:原式=2ax(7b-4b2+1)2. 运用公式不正确例 6.分解因式 :121x2-4y2误解:原式=(121x+4y)(121x-4y)原因:对平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 中 a ,b 两数未理解其含义. 公式中的 a,b 应分别为 11x 和 2y 正解:原式=(11x+2y)(11x-2y)例 7.分解因式 :x4+x2y2+y4误解:原式=(x2+y2)2原因:对完全平方公式的特点认识不足, 以至把 x4+x2y2+y4 误认为是完全平方公式正解:原式=(x4+2x2y2+y4)
5、-x2y2=(x2+y2)2-x2y2=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy)3. 分组分解中的错误例 8.分解因式 :4x2+4xy+y2-a2误解:原式=(4x2-4xy)+(y2-a2)=4x(x-y)+(y+a)(y-a)原因:盲目分组,导致无法达到因式分解的目的正解:原式=(4x2-4xy+y2)-a2=(2x-y)2-a2=(2x-y+a)(2x-y-a)三、 忽视符号例 9.分解因式 :-x2-4y2+4xy误解:原式=-(x2-4y2+4xy)原式:提出“-” 号后, 括号内的各项都应变号正解:原式=-(x2+4y2-4xy)=-(x-2y)2四、 分解不彻底例 10.分解因
6、式(m2+1)2-4m2误解:原式=(m2+1+2m)(m2+1-2m)原因:对于分解出来的因式, 没有继续分解彻底正解:原式=(m2+1+2m)(m2+1-2m)=(m+1)2(m-1)2下面介绍一下因式分解的基本方法：（1）提公因式法 公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ambmcmm（a+b+c） 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式
7、的第一项是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的. （2）运用公式法 平方差公式：. a2b2(a b)(ab) 完全平方公式： a22abb2(ab)2 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式) 的平方和的形式，另一项是这两个数(或式) 的积的 2 倍. 立方和公式：a3+b3 (a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式：a3-b3 (a-b)(a2+ab+b2). 完全立方公式： a33a2b3ab2b3(ab)3 an-bn=(a-b)a(n-1)+a(n-2)b+b(n-2)a+b(n-1) am+bm=(a+b)a(m-1)-a(
8、m-2)b+-b(m-2)a+b(m-1)(m 为奇数) （3）分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.（4）十字相乘法 x2（p q）xpq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解：x2（p q）x pq（xp ）（xq） kx2 mxn 型的式子的因式分解 如果能够分解成 kac，n bd，且有 adbc m 时，那么 kx2mxn（ax b）（cx d） a -/b ack bdn c /-d adbcm 多项式因式分解的一般步骤： 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.总之,因式分解的错误原因很多, 要认真审题,牢记分解方法 ,并能灵活运用,以下口诀同学们在分解过程中不妨试一试,方能避免错误:因式分解并不难,分解方法要记全;各项若有公因式,首先提取莫迟缓;各项若无公因式,乘法公式看一看;以上方法若不行,分组分解做实验；因式分解若不完,继续分解到完全
