1、中考专题复习 17 数与代数综合题数与代数综合题，是对初中代数知识的综合应用，常用的知识点有：1实数的相关运算2整式、分式的化简3一元一次方程、二元一次方程(组) 、一元二次方程的运用4一元一次不等式(组)的运用5一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数的性质及应用等考点 1 计算综合：(2014毕节)先化简，再求值： ，其中 a2a20.(2a 1 1a) a2 aa2 2a 1【点拨】先把代数式进行化简，再求方程 a2a20 的解，代入求值即可【解答】原式 ，2a a 1a（a 1） a（a 1）（a 1）2 a 1a（a 1）（a 1）2a（a 1） a 1a2再由 a2a20 得
2、a11， a22. a10, a 1， a 2， 原式 .a 1a2 2 14 34【点评】本题考查了分式的混合运算以及用因式分解法求一元二次方程的解，在求值代入时，要考虑分式有意义的条件后再舍根，是对几个知识点的综合考查，要熟练掌握【对点练习】1. 2. .3. 考点 2 方程（组）不等式（组）的综合例 1 关于 x 的一元二次方程 2x23xm 0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围【点拨】根据一元二次方程根与系数的判别式解答【解答】 方程有两个不相等的实数根， b 24ac3 242( m)0，解得 m .98【点评】一元二次方程根的判别式是学生容易遗忘的知识点，综合复习时要全面【
3、对点练习】1.（2016 烟台）已知|x y+2| =0，则 x2y2 的值为 2. （2016 烟台）反比例函数 y= 的图象与直线 y=x+2 有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（ ）At Bt Ct Dt3. 考点 3.函数的简单综合例 1 （2016 聊城）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a0）的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b与反比例函数 y= 的图象可能是（ ）A B C D【点拨】根据二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可以判断 a、b、c 的正负情况，从而可以判断一次函数y=ax+b 与反比例函数 y= 的图象分别在哪几个象
4、限，从而可以解答本题【解答】解：由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可知，a0，b0，c0，则一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数 y= 的图象在二四象限，故选 C【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形结合的思想解答问题例 2（2016 临沂）如图，直线 y=x+5 与双曲线 y= （x 0）相交于 A，B 两点，与 x 轴相交于 C 点，BOC 的面积是 若将直线 y=x+5 向下平移 1 个单位，则所得直线与双曲线 y= （x0）的交点有（ ）A0 个 B1 个 C 2 个 D0 个，或
5、1 个，或 2 个【点拨】令直线 y=x+5 与 y 轴的交点为点 D，过点 O 作 OE直线 AC 于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点F，通过令直线 y=x+5 中 x、 y 分别等于 0，得出线段 OD、OC 的长度，根据正切的值即可得出DCO=45，再结合做的两个垂直，可得出 OEC 与 BFC 都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合面积公式即可得出线段 BC 的长，从而可得出 BF、CF 的长，根据线段间的关系可得出点 B 的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数 k 的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据
6、根的判别式的正负即可得出结论【解答】令直线 y=x+5 与 y 轴的交点为点 D，过点 O 作 OE直线 AC 于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点F，如图所示令直线 y=x+5 中 x=0，则 y=5，即 OD=5；令直线 y=x+5 中 y=0，则 0=x+5，解得：x=5，即 OC=5在 RtCOD 中，COD=90，OD=OC=5，tanDCO= =1，DCO=45 OEAC，BFx 轴，DCO=45，OEC 与BFC 都是等腰直角三角形，又OC=5，OE= S BOC= BCOE= BC= ，BC= ，BF=FC= BC=1，OF=OCFC=5 1=4，BF=1，点 B 的坐标为（
7、4，1），k=41=4，即双曲线解析式为 y= 将直线 y=x+5 向下平移 1 个单位得到的直线的解析式为 y=x+51=x+4，将 y=x+4 代入到 y= 中，得：x+4= ，整理得：x 24x+4=0，=（ 4） 244=0，平移后的直线与双曲线 y= 只有一个交点故选 B【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征.解题的关键是求出点 B 的坐标本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，根据特殊角找出等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标是关键【对点练习】1. 2. 3. 4. 5.（2016淄博）如图，抛物线 y=ax
8、2+2ax+1 与 x 轴仅有一个公共点 A，经过点 A 的直线交该抛物线于点B，交 y 轴于点 C，且点 C 是线段 AB 的中点（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线 AB 对应的函数解析式考点 4 方程、不等式、函数的综合应用题例 1（2016 泰安） 某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买 10 个乒乓球，乒乓球的单价为 2 元/个，若购买 20 副直拍球拍和 15 副横拍球拍花费 9000 元；购买 10 副横拍球拍比购买 5 副直拍球拍多花费 1600元（1）求两种球拍每副各多少
9、元？（2）若学校购买两种球拍共 40 副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的 3 倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用【点拨】 （1）设直拍球拍每副 x 元，横拍球每副 y 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买直拍球拍 m 副，根据题意列出不等式，解不等式求出 m 的范围，根据题意列出费用关于 m 的一次函数，根据一次函数的性质解答即可【解答】解：（1）设直拍球拍每副 x 元，横拍球每副 y 元，由题意得，解得， ，答：直拍球拍每副 220 元，横拍球每副 260 元；（2）设购买直拍球拍 m 副，则购买横拍球（ 40m）副，由题意得，m3（40m） ，
10、解得，m30，设买 40 副球拍所需的费用为 w，则 w=（ 220+20）m+（260+20） （40m）=40m+11200，40 0，w 随 m 的增大而减小，当 m=30 时， w 取最大值，最大值为4030+11200=10000（元） 答：购买直拍球拍 30 副，则购买横拍球 10 副时，费用最少【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等 式、一次函数的解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式和函数表达式并正确解出方程组和不等式，用好一次函数的增减性是解题的关键【对点练习】1.（2016广西）某商场第一次用 11000 元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，
11、商家又用24000 元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的 2 倍，但单价贵了 10 元（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于 20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？2.（2016日照）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型自行车每辆售价预计比去年降低 200 元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 10%，求：（1）A 型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车
12、行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍已知，A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B 型车销售价格为 2400 元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？3.1. 2.如图，已知 A，B 是反比例函数 y= （k0，x0）图象上的两点，BC x 轴，交 y 轴于点 C，动点 P从坐标原点 O 出发，沿 OABC（图中“”所示路线）匀速运动，终点为 C，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M设三角形 OMP 的面积为 S，P 点运动时间为 t，则 S 关于 x 的函数图象大致为（ ）A B
13、C D3.4.（2016 威海）已知二次函数 y=（xa ） 2b 的图象如图所示，则反比例函数 y= 与一次函数 y=ax+b 的图象可能是（ ）A B C D5计 算 ： 14+ sin60+（ ） 2（ ） 06(2016 河南)先化简，再求值：（ 1） ，其中 x 的值从不等式组 的整数解中选取7关于 x 的一元二次方程 ax24x20 有实数根，求 a 的取值范围8 （2016 龙东）如图，二次函数 y=（x+2） 2+m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 在抛物线上，且与点 C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上的点 A（1，0）及点
14、B（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2） 2+mkx+b 的 x 的取值范围9.（2016石家庄二模）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担张刚按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500（1）张刚在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设张刚获得的利润为 w
15、（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果张刚想要每月获得的利润不低于3000 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？10.(2014安徽)2015 年某企业按餐厨垃圾处理费 25 元/ 吨， 建筑垃圾处理费 16 元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费 5 200 元从 2014 年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费 100 元/吨，建筑垃圾处理费 30 元/吨若该企业 2014 年处理的这两种垃圾数量与 2013 年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费 8 800 元(1)该企业 2015 年处理的餐厨垃圾
16、和建筑垃圾各多少吨？(2)该企业计划 2014 年将上述两种垃圾处理总量减少到 240 吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的 3 倍，则 2014 年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？11(2015青岛)某厂制作甲、乙两种环保包装盒已知同样用 6 m 的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少 2 个，且制作一个甲盒比制作一个乙盒需要多用 20%的材料(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？(2)如果制作甲、乙两种包装盒 3 000 个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的 2 倍，那么请写出所需材料总长度 l(m)与甲盒数量 n(个) 之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料12（20
17、16牡丹江）某绿色食品有限公司准备购进 A 和 B 两种蔬菜，B 种蔬菜每吨的进价比 A 中蔬菜每吨的进价多 0.5 万元，经计算用 4.5 万元购进的 A 种蔬菜的吨数与用 6 万元购进的 B 种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题：（1）求 A，B 两种蔬菜每吨的进价；（2）该公司计划用 14 万元同时购进 A，B 两种蔬菜，若 A 种蔬菜以每吨 2 万元的价格出售，B 种蔬菜以每吨 3 万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润 W（万元）与购买 A 种蔬菜的资金 a（万元）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，要求 A 种蔬菜的吨数不低于 B 种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全
18、部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台 2100 元，乙种电脑每台 2700 元，请直接写出有几种购买电脑的方案13某研究所将某种材料加热到 1 000 时停止加热，并立即将材料分为 A，B 两组，采用不同工艺做降温对比实验设降温开始后经过 x min 时，A ，B 两组材料的温度分别为 yA ，y B ，y A，y B 与 x 的函数关系式分别为 yAkx b，y B (x60) 2m(部分图象如图所示 )，当 x40 时，两组材料的温度相14同(1)分别求 yA， yB 关于 x 的函数关系式；(2)当 A 组材料的温度降至 120 时，B 组材料的温度是多少？(3)在 0
19、x40 的什么时刻，两组材料温差最大？14 问题背景若矩形的周长为 1，则可求出该矩形面积的最大值我们可以设矩形的一边长为 x，面积为 S，则 S与 x 的函数关系式为：Sx 2 x(x0)，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值. 12提出新问题若矩形的面积为 1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大(小) 值是多少？分析问题若设该矩形的一边长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为：y2 (x0)，问题就转化为研究(x 1x)该函数的最大(小)值了解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 y2 (x0)的最大( 小)值(x 1x)(1)实践操作：填写下表，并用描点法画出函数 y2 (x0)的图象：(x 1x)x 14 13 12 1 2 3 4 y (2)观察猜想：观察该函数的图象，猜想当 x_时 ，函数 y2 (x0)有最_值(填“大”或(x 1x)“小”)是 _(3)推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数 Sx 2 x(x0)的最大值，请你尝试通过配12方求函数 y2 (x0)的最大( 小)值，以证明你的猜想 提示：当 x0 时，x( )2(x 1x) x
