1、1复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容考 点 精 要 椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆 双曲线 抛物线定义平面内与两个定点 F1， F2的距离之和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于| F1F2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹标准方程 1 或x2a2 y2b2 1y2a2 x2b2(ab0) 1 或x2a2 y2b2
2、1y2a2 x2b2(a0， b0)y22 px 或y22 px 或x22 py 或x22 py(p0)关系式a2 b2 c2 a2 b2 c2典例 (1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于 ，则 C 的方12程是( )A 1 B 1x23 y24 x24 y23C 1 D 1x24 y22 x24 y23(2)已知抛物线 y28 x 的准线过双曲线 1( a0， b0)的一个焦点，且双曲线的x2a2 y2b2离心率为 2，则该双曲线的方程为_解析 (1)右焦点为 F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴上； c1又离心率为 ，故 a2， b2 a2 c241
3、3，故椭圆的方程为 1，故选 Dca 12 x24 y23(2)由题意可知抛物线的准线方程为 x2，双曲线的半焦距 c2又双曲线的离心率为 2， a1， b ， 双曲线的方程为 x2 13y23答案 (1)D (2) x2 1y232类题通法求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2 ny21( m0， n0)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的
4、大小题 组 训 练 1(天津高考)已知双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线过点(2， )，且双曲线x2a2 y2b2 3的一个焦点在抛物线 y24 x 的准线上，则双曲线的方程为( )7A 1 B 1x221 y228 x228 y221C 1 D 1x23 y24 x24 y23解析：选 D 由双曲线的渐近线 y x 过点(2， )，ba 3可得 23ba由双曲线的焦点( ，0)在抛物线 y24 x 的准线 x 上，可得 a2 b2 7 7 a2 b2 7由解得 a2， b ，3所以双曲线的方程为 1x24 y232(全国卷)一个圆经过椭圆 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则
5、x216 y24该圆的标准方程为_解析：由题意知 a4， b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为( x m)2 y2 r2(00)，则Error!解得Error!所以圆的标准方程为 2 y2 (x32) 254答案： 2 y2(x32) 25433方程 1 表示曲线 C，给出以下命题：x24 t y2t 1曲线 C 不可能为圆；若 14；若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则 14 时，方程表示双曲线；而当 1t10，方程表52示焦点在 x 轴上的椭圆，故为真命题答案
6、：圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查考 点 精 要 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆 双曲线 抛物线标准方程 1x2a2 y2b2(ab0) 1x2a2 y2b2(a0， b0)y22 px(p0)关系式 a2 b2 c2 a2 b2 c2图形 封闭图形 无限延展，有渐近线 无限延展，没有渐近线对称中心为原点 无对称中心对称性两条对称轴 一条对称轴顶点 四个 两个 一个离心率 01 e1准线方程
7、 x p2决定形状的因素 e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小典例 (1)(山东高考)已知双曲线 E： 1( a0， b0)，若矩形 ABCD 的四个x2a2 y2b24顶点在 E 上， AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3| BC|，则 E 的离心率是_(2)已知 ab0，椭圆 C1的方程为 1，双曲线 C2的方程为 1， C1与 C2x2a2 y2b2 x2a2 y2b2的离心率之积为 ，则 C2的渐近线方程为_32解析 (1)如图，由题意知|AB| ，| BC|2 c2b2a又 2|AB|3| BC|，2 32 c，即 2b23 ac，2b2a2(
8、c2 a2)3 ac，两边同除以 a2并整理得 2e23 e20，解得 e2(负值舍去)(2)设椭圆 C1和双曲线 C2的离心率分别为 e1和 e2，则 e1 ， e2 因a2 b2a a2 b2a为 e1e2 ，所以 ，即 4 ， 32 a4 b4a2 32 (ba) 14 ba 22故双曲线的渐近线方程为 y x x，ba 22即 x y02答案 (1)2 (2) x y02类题通法求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是y 轴上都有关系式 a2 b2 c2(a2 b2 c2)以及 e ，已知其中的任意两个参数，可以求其ca他
9、的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观题 组 训 练 1如图， F1， F2是椭圆 C1： y21 与双曲线 C2的公共焦点，x24A， B 分别是 C1， C2在第二、四象限的公共点其四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是( )5A B2 3C D32 62解析：选 D 焦点 F1( ，0)， F2( ，0)，3 3在
10、 Rt AF1F2中，| AF1| AF2|4，|AF1|2| AF2|212，所以可解得| AF2| AF1|2 ，2故 a ，2所以双曲线的离心率 e ，选 D32 622设椭圆 C： 1( ab0)的左，右焦点为 F1， F2，过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交x2a2 y2b2于 A， B 两点， F1B 与 y 轴相交于点 D，若 AD F1B，则椭圆 C 的离心率等于_解析：不妨设 A 在 x 轴上方，由于 AB 过 F2且垂直于 x 轴，因此可得 A ， B(c，b2a)，由 OD F2B， O 为 F1F2的中点可得 D ，所以 ，(c， b2a) (0， b22a) ( c
11、， 3b22a)F1 ，又 AD F1B，所以 A 12 c2 0，即 3b44 a2c2，又(2c， b2a) 3b42a2b2 a2 c2，所以可得 (a2 c2)2 ac，两边同时除以 a2，得 e22 e 0，解得 e3 3 3或 ，又 e(0,1)，故椭圆 C 的离心率为 33 3 33答案：333已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x22 py(p0)x2a2 y2b2的焦点为 F若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且| FA| c，则双曲线的渐近线方程为_解析： c2 a2 b2，由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知，双曲线过点 ，
12、即 1(c， p2) c2a2 p24b2由| FA| c，得 c2 a2 ，p24由得 p24 b2将代入，得 2c2a26 2，即 1，a2 b2a2 ba故双曲线的渐近线方程为 y x，即 xy0答案： xy0直线与圆锥曲线的位置关系高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的考 点 精 要 直线与圆锥曲线有关的问题(1)
13、直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式 ，则有： 0直线与圆锥曲线相交于两点； 0 直线与圆锥曲线相切于一点； 1)，x2a2则右焦点 F( ，0)，a2 1由题设，知 3，|a2 1 22|2解得 a23，故所求椭圆的方程为 y21x23(2)设点 P 为弦 MN 的中点，由Error!7得(3 k21) x26 mkx3( m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以 0，即 m2m2，解得 00，2m 13解得 m ，12故所求 m 的取
14、值范围是 (12， 2)类题通法有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交： 0直线与椭圆相交； 0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0 是直线与双曲线相交的充分不必要条件； 0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件相切： 0直线与椭圆相切； 0直线与双曲线相切； 0直
15、线与抛物线相切相离： 0，解得 k1 或 kb0)右焦点的直线 x y 0x2a2 y2b2 3交 M 于 A， B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 12(1)求 M 的方程；(2)C， D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD AB，求四边形 ACBD 面积的最大值解：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x0， y0)，则 1， 1， 1，x21a2 y21b2 x2a2 y2b2 y2 y1x2 x1由此可得 1b2 x2 x1a2 y2 y1 y2 y1x2 x1因为 x1 x22 x0， y1 y22 y0， ，y0x0 12所以
16、a22 b2又由题意知， M 的右焦点为( ，0)，故 a2 b233因此 a26， b23所以 M 的方程为 1x26 y23(2)由Error!解得Error! 或Error!因此| AB| 463由题意可设直线 CD 的方程为9y x n ，(533 0， b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )x2a2 y2b2A2 B 3C D232解析：选 C 由题可知 y x 与 y x 互相垂直，可得 1，则 a b由离ba ba ba ba心率的计算公式，可得 e2 2， e c2a2 a2 b2a2 22设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax(a0)的焦点 F，且和
17、y 轴交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线的方程为( )A y24 x B y28 xC y24 x D y28 x解析：选 B 由题可知抛物线的焦点坐标为 ，于是过焦点且斜率为 2 的直线的方(a4， 0)程为 y2 ，令 x0，可得点 A 的坐标为 ，所以 S OAF 4，得(xa4) (0， a2) 12 |a|4 |a|2a8，故抛物线的方程为 y28 x3已知一动圆 P 与圆 O： x2 y21 外切，而与圆 C： x2 y26 x80 内切，则动圆的圆心 P 的轨迹是( )A双曲线的一支 B椭圆10C抛物线 D圆解析：选 A 由题意，知圆 C 的标准方程为(
18、 x3) 2 y21，则圆 C 与圆 O 相离，设动圆 P 的半径为 R圆 P 与圆 O 外切而与圆 C 内切， R1，且|PO| R1，| PC| R1又| OC|3，| PO| PC|2bc0)，如图所示，其中点 F0， F1， F2是相应椭圆的焦点若 F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，则 a， b 的值分别为( )A ，1 B ，172 3C5,3 D5,4解析：选 A | OF2| ，| OF0| c |OF2| ， b1 ， a2 b2 c21 ，得 ab2 c212 3 32 34 74725已知抛物线的方程为 y24 x，直线 l 的方程为 x y40，在抛物线上有一动点P
19、 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，则 d1 d2的最小值为( )A 2 B 1522 522C 2 D 1522 522解析：选 D 因为抛物线的方程为 y24 x，所以焦点坐标为 F(1,0)，准线方程为x1因为点 P 到 y 轴的距离为 d1，所以到准线的距离为 d11又 d11| PF|，所以d1 d2 d11 d21| PF| d21焦点 F 到直线 l 的距离记为 d，则 d |1 0 4|2 ，而| PF| d2 d ，所以 d1 d2| PF| d2 1 1，即 d1 d2的最小值52 522 522 522为 15226双曲线与椭圆 4x2 y264 有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )A y23 x236 B x23 y236C3 y2 x236 D3 x2 y236解析：选 A 由 4x2 y264 得 1，x216 y264
