1、1课时跟踪检测（八） 二次函数与幂函数 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018清河中学检测)已知幂函数 f(x) kx 的图象过点 ，则(12， 22)k _.解析：由幂函数的定义知 k1.又 f ，所以 ，解得 ，从而(12) 22 (12) 22 12k .32答案：322. (2018扬州中学测试)已知二次函数 y3 x22( m1) x n 在区间(，1)上是减函数，在区间1，)上是增函数，则实数 m_.解析：二次函数 y3 x22( m1) x n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ，要使得函数在区间(，1)上是减函数，在区间1，)上是增函数，则m 13x 1，解得 m2.m 1
2、3答案：23(2018淮阴模拟)已知函数 f(x) x2 m是定义在区间3 m， m2 m上的奇函数，则 f(m)， f(0)的大小关系为_解析：因为函数 f(x)是奇函数，所以3 m m2 m0，解得 m3 或1.当 m3 时，函数 f(x) x 1，定义域不是6,6，不合题意；当 m1 时，函数 f(x) x3在定义域2,2上单调递增，又 m0，所以 f(m) f(0)答案： f(m) f(0)4若函数 f(x)( x a)(bx2 a)(常数 a， bR)是偶函数，且它的值域为(，2，则该函数的解析式 f(x)_.解析：由题意知： a0， f(x)( x a)(bx2 a) bx2(2
3、a ab)x2 a2是偶函数，则其图象关于 y 轴对称，所以 2a ab0， b2.所以 f(x)2 x22 a2，因为它的值域为(，2，所以 2a22.所以 f(x)2 x22.答案：2 x225若二次函数 f(x) x24 x t 图象的顶点在 x 轴上，则 t_.解析：由于 f(x) x24 x t( x2) 2 t4 图象的顶点在 x 轴上，所以 f(2) t40，所以 t4.2答案：46(2018杭州测试)若函数 f(x) x22 x1 在区间 a， a2上的最小值为 4，则实数 a 的取值集合为_解析：因为函数 f(x) x22 x1( x1) 2的图象的对称轴为直线 x1， f(
4、x)在区间a， a2上的最小值为 4，所以当 a1 时， f(x)min f(a)( a1) 24， a1(舍去)或 a3；当 a21，即 a1 时， f(x)min f(a2)( a1) 24， a1(舍去)或 a3；当 a f(2x)的解集为_解析：根据题意， f(x)是定义在 R 上的奇函数，则有 f(0)0，当 x0 时， f(x)也为减函数，综上可得 f(x)在 R 上为减函数，若 f(x23) f(2x)，则有 x23 f(2x)的解集为(1,3)3答案：(1,3)5(2018泰州二中测试)若函数 f(x) x 22 3(常数 Z)为偶函数，且在(0，)上是单调递减函数，则 的值为
5、_解析：根据幂函数的性质，要使函数 f(x)为偶函数，且在(0，)上是单调递减函数，则 22 3 为偶数，且 22 30，解不等式可得1 3.因为 Z，所以 0,1,2.当 0 时， 22 33，不满足条件；当 1 时， 22 34，满足条件；当 2 时， 22 33，不满足条件，所以 1.答案：16若函数 y x23 x4 的定义域为0， m，值域为 ，则 m 的取值范围是254， 4_解析：二次函数图象的对称轴为 x ，且 f ， f(3) f(0)4，由图得 m32 (32) 254.32， 3答案： 32， 37对于任意实数 x，函数 f(x)(5 a)x26 x a5 恒为正值，则
6、a 的取值范围是_解析：由题意可得Error!解得4 a4.答案：(4,4)8(2018南通一调)若函数 f(x) ax220 x14( a0)对任意实数 t，在闭区间t1， t1上总存在两实数 x1， x2，使得| f(x1) f(x2)|8 成立，则实数 a 的最小值为_解析：由题意可得，当 x t1， t1时， f(x)max f(x)minmin8，当t1， t1关于对称轴对称时， f(x)max f(x)min取得最小值，即 f(t1) f(t)2 at a208， f(t1) f(t)2 at a208，两式相加，得 a8，所以实数 a的最小值为 8.答案：89已知幂函数 f(x)
7、 x(m2 m) 1(mN *)4(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性(2)若该函数 f(x)的图象经过点(2， )，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2 a)2f(a1)的实数 a 的取值范围解：(1)因为 m2 m m(m1)( mN *)，而 m 与 m1 中必有一个为偶数，所以 m2 m 为偶数，所以函数 f(x) x(m2 m) 1(mN *)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数(2)因为函数 f(x)的图象经过点(2， )，2所以 2 (m2 m) 1，即 2 2 (m2 m) 1，2所以 m2 m2，解得 m1 或 m2.又因为 mN *，所以
8、 m1， f(x) x .12又因为 f(2 a)f(a1)，所以Error! 解得 1 af(a1)的实数 a 的取2值范围为 .1，32)10(2018上海七校联考)已知 a， b 为实数，函数 f(x) x2 ax1，且函数y f(x1)是偶函数，函数 g(x) bf(f(x1)(3 b1) f(x1)2 在区间(，2上是减函数，在区间(2,0)上是增函数(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求实数 b 的值；(3)设 h(x) f(x1)2 qx12 q，问是否存在实数 q，使得 h(x)在区间0,2上有最小值2？若存在，求出 q 的值；若不存在，说明理由解：(1)因为函数 y f(x
9、1)是偶函数，所以( x1) 2 a(x1)1( x1) 2 a( x1)1，所以 4x2 ax0，所以 a2，所以 f(x)( x1) 2.(2)由(1)知， g(x) bf(f(x1)(3 b1) f(x1)2 bx4(5 b1)x22 b，令 t x2，则 u(t) bt2(5 b1) t( b2)，在区间(，2上， t x2是减函数，且 t4，)，由 g(x)是减函数，可知u(t)为增函数；5在区间(2,0)上， t x2是减函数，且 t(0,4)，由 g(x)是增函数，可知 u(t)为减函数，所以 u(t)在(0,4)上是减函数，在(4，)上是增函数，可得二次函数开口向上， b0 且
10、 4，5b 1 2b所以 b .13(3)h(x) f(x1)2 qx12 q x22 qx12 q， x0,2则 h(x)的对称轴为直线 x q.当 q0 时， h(x)min h(0)12 q2， q ；32当 0 q2 时， h(x)min h(q) q22 q12，所以 q3 或1，舍去；当 q2 时， h(x)min h(2)2 q52， q .72综上所述， q 或 q .32 72 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若函数 y f(x) g(x)在x a， b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在 a， b上
11、是“关联函数” ，区间 a， b称为“关联区间” 若 f(x) x23 x4 与 g(x)2 x m 在0,3上是“关联函数” ，则 m 的取值范围为_解析：由题意知， y f(x) g(x) x25 x4 m 在0,3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数 y m 与y x25 x4( x0,3)的图象如图所示，结合图象可知，当 x2,3时，y x25 x4 ，故当 m 时，函数 y m 与94， 2 ( 94， 2y x25 x4( x0,3)的图象有两个交点答案： (94， 22(2018启东检测)已知 aR，函数 f(x) x22 ax5.(1)若 a1，且函数 f(x)的定义域
12、和值域均为1， a，求实数 a 的值；(2)若不等式 x|f(x) x2|1 对 x 恒成立，求实数 a 的取值范围13， 12解：(1)因为 f(x) x22 ax5 的图象的对称轴为 x a(a1)，所以 f(x)在1， a上为减函数，所以 f(x)的值域为 f(a)， f(1)又已知值域为1， a，6所以Error!解得 a2.(2)由 x|f(x) x2|1，得 a .(*)12x2 52x 12x2 52x令 t， t2,3，1x则(*)可化为 t2 t a t2 t.12 52 12 52记 g(t) t2 t 2 ，12 52 12(t 52) 258则 g(t)max g ，所以 a ；(52) 258 258记 h(t) t2 t 2 ，12 52 12(t 52) 258则 h(t)min h(2)7，所以 a7，综上所述， a7.258所以实数 a 的取值范围是 .258， 7
