1、1极值点不可求一、（2018江西南昌高三第一次模拟考试）已知函数 lnfxabx在点 1f， 处的切线是 0y（1）求函数 f的极值；（2）当 21e0exmfxm恒成立时，求实数 m的取值范围（ e为自然对数的底数）【答案】（1）见解析；（2） 的取值范围为 1e0， 【解析】（1）因为 lnfxabx，所以 1afxbx ，因为点 1f， 处的切线是 0y，所以 10，且 ln0fab，所以 ea， b，即 lnfxx， ，所以 1fx，所以在 01， 上递增，在 1， 上递减所以 f的极大值为 lnef，无极小值（2）当21(0)exmfxm在 x， 恒成立时，由（1）可知 ln，即 l
2、12(0)eex在 x， 恒成立，【法一】设 xmg， ln12eh，则 1exmg， 2lnxh，又因为 0，所以当 时， 0gx， hx；当 1x时， gx， hx所以 在 0， 上单调递减，在 1， 上单调递增， min1egx；hx在 1， 上单调递增，在 ， 上单调递减， ah所以 g， hx均在 1处取得最值，所以要使 gx恒成立，只需 mina，即 em，解得 1e，又 0m，所以实数 的取值范围是 10， 【法二】设 l2exgx， ，则 21lnexgx，2当 01x时， ln0x， 1，则 2ln0x， 10exm，即 0gx，当 时， l， ，则 l， ，即 ，所以 gx
3、在 01， 上单调递增，在 1x， 上单调递减所以 ma20em，即 e，又 0m，所以实数 的取值范围是 1， 二、(2018 湖南邵阳高三上学期期末考试)设函数 lnfxaR（1）设函数 1fxgb，若曲线 ygx在点 1g， 处的切线方程为 430xy，求 a， b的值；（2）当 0x时， 21xeafa恒成立，求 a的取值范围【答案】（1） 3， b；（2） 的取值范围为 1， 【解析】（1） 21lnaxaxgx，则 224ag，又 12agb，142ab，解得 3a， 2b（2） ln1fxx，当 0时， ela恒成立，当 1时，设 1x， e0x，所以 x在 0， 上递增，且 0
4、，故 1，所以 ex设 ln1h，同理可得 lnx，则 ln1lxax当 a时，设 l1tx， 2210xtx，所以 tx在 0， 上递增，且 0t，故 ln1，当且仅当 x时取等号，3所以当 0x， 时， ln1axa，ee1xa，取 0ln，则 0， ，00e1xa，可得 00ln1xx，故当 a时不符合题意综上可知， a的取值范围为 ， 三、(2018 湖南（长郡中学、株洲中学）、江西（九江一中）等14校联考)已知函数 elnxfa（其中 aR且 为常数， e为自然对数的底数， e2718 ）（1）若函数 的极值点只有一个，求实数 的取值范围；（2）当 0a时，若 fxkm（其中 0）恒
5、成立，求 1km的最小值 h的最大值【答案】（1） 或 1ea；（2） 2【解析】（1）函数 fx的定义域为 0， ，其导数为 22e1e1 exxfaa 由 0fx或 ex，设 exu， 1u，当 01， 时， 0ux；当 1， 时， 0即 ux在区间 ， 上递增，在区间 1， 上递减， 1eux极 大 ，又当 0时， 0ux，当 x时， 0x且 恒成立所以，当 a或 1e时，方程 exa无根，函数 f只有 1x一个极值点当 1e时，方程 x的根也为 1，此时 fx的因式 0exa恒成立，故函数 fx只有 1一个极值点当 0ea时，方程 exa有两个根 1x、 2且 10， ， 21x， ，
6、函数 fx在区间 10， 单调递减； ， 单调递增； ,单调递减；2，单调递增，此时函数 fx有 1、 、 2x三个极值点4综上所述，当 0a或 1e时，函数 fx只有一个极值点（2）依题意得 lnxkm，令 ln1kxm，则对 0x， ，都有 0成立因为 1k，所以当 1k时，函数 x在 0， 上单调递增，注意到 ee0mm，若 emx， ，有 成立，这与 0x恒成立矛盾；当 10k时，因为 x在 ， 上为减函数，且 10k，所以函数 在区间 1k， 上单调递增()，在 ， 上单调递减， ln11xkmk，若对 0， ，都有 0x成立，则只需 ln10km成立，1lnemkk，当 0m时，则 的最小值 1emh， 1emh，函数 h在 1， 上递增，在 ， 上递减， 2，即 k的最小值 hm的最大值为 21e；综上所述， k的最小值 h的最大值为 21e
