1、SARS 传播的数学模型周 琪 2014041035焦 欢 2014041010旷涯军 2014041011SARS 传播的数学模型摘要本组针对 SARS 的传播建立了数学模型。问题的提出2002 年至 2003 年，SARS（严重急性呼吸道综合症,俗称非典型肺炎）悄然袭击生活，潜伏一段时间后突然爆发，在全球掀起了轩然大波。我国作为重灾区的国家之一，经济发展和人民生活受到了很大的影响。我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。对此，要求对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：1、对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其
2、合理性和实用性。2、对 SARS 的传播建立一个自己的模型，并说明：(1) 为什么优于附件 1 中的模型；(2) 怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，以及这样做的困难之处。(3) 对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。（附件 2 提供的数据供参考。）3、收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。4、给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。对早期模型的评价附件 1 的模型主要采用“数据拟合”和“借鉴参数”的方法对北京疫情走势进行预测。在数据拟
3、合方面，该模型中有两个疑点：1、感染期限 L 的确定。由于被严格隔离、治愈、死亡等原因，感染者在某一时段后不再具有对易感人群的传染力，故对病毒的传染加上感染期限是合理的。但在对该参数的确定上，作者为了较好地拟合各阶段的数据 ,通过人为调试来确定 L 的取值，缺乏医学上的支持，使模型的说服力减弱，合理性和可靠性大大降低。2、附件 1 中认为“K 代表某种环境下一个人传染他人的平均概率 ”。但从模型的公式中可以看出，参数 K 的实际意义是一个病人平均每天传染其他人的个数。两者之间有实质的区别，文中的说法明显很不妥。从预测思想来看，该模型是借鉴先发地区广东、香港的有关参数对北京的疫情进行预测的。由于
4、广东、香港的疫情和控制都在北京之前，已经过了高峰期，到 5 月 8 日为止每日新增病例已降至 10 来例，基本处于后期控制阶段。1而当时北京的疫情刚过了高峰期，正处于社会剧烈调整时期，数据较为凌乱，略有下降趋势，但不明显。可见在当时，采取这种借鉴的方法是实属无奈。但是由于城市之间的政策，风俗习惯等不同，城市之间的可比性不强，借鉴存在很大的局限性。如在香港，由于对传播机制认识不足，中途又出现高度感染的特殊情况。另外使用借鉴法无法对首发城市进行预测。一、 传播模型（一）问题的分析在 SARS 爆发的初期，由于潜伏期的存在，人们对病毒传播速度和危害程度的认识不够，未能及时识别这一传染病的存在。但当病
5、患数不断增加，政府开始采取应对措施对其进行控制，同时社会舆论加大宣传力度，人们的警觉性提高，病毒的传播速度下降。因此，我们通常把传染病的传播模式近似分为两个阶段：第一、控前阶段：在采取切实有效的控制措施之前的一段时间。第二、控后阶段：介入人为因素之后的一段时间。由于 SARS 的传播涉及的因素很多，如潜伏期、人群的迁入迁出，感病者的数量、易感者的数量、传染率和治愈率的大小等。而且在以上因素中，潜伏期的大小、传染率和治愈率的大小因人而易，具有一定的随机性。不可能一开始就把所有的因素全部考虑在内建立模型。（二）基本假设1、由于非典的主要传播途径是近距离接触，通过受感染者咳嗽或打喷嚏时产生的飞沫传播
6、，这里将所有传播途径都视为与病源的直接接触。2、不考虑出生与自然死亡的过程和人群的迁入迁出（或认为迁入和迁出基本平衡） ，认为疾病传播期间所考察地区的总人数为常数。3、根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的 SARS 病人不具有传染性。4、目前尚不清楚康复患者是否具有免疫力，但据国家卫生部资料可知康复后的病患无一例复发。故假设康复患者退出传染系统。（三）常用基本模型目前常用的传染病模型，通常将传染病流行范围内的人群分为三类： S 类：易感者，指未得病者，但与感病者接触后容易受到感染。I 类：感病者，指染上传染病的人。R 类：移出者，指因患病而被隔离，或因病愈而具有免疫力的人，他们即非感病者，也非易
7、感者，实际上他们已经退出了传染病系统。通过对附件 1 的分析，认为其方案效果不太理想，因此通过小组讨论，且通过三类之间的互相转化关系我们建立微分方程组进行求解：2(1)NRIShdtIkISdt变量和符号说明：传染率：每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人k数。退出率：单位时间内治愈和死亡人数占感病者人数的百分数。hS(t)易感人群的总数。I(t)感病者总数。R(t)退出者总数。N一个城市总人口数。观察附件二中给出的数据，我们发现截至 6 月 23 日，感病者累计为 2521人，远远小于北京城市的总人口数 150 万人，故认为感病者和退出者对易感人群的总数影响不大，易感者总人数 I
8、 为一常数。原方程变形为：（2）hIdtRkNtdI当然，退出者并不是我们研究的范围，因此方程组（2）实际上是一个常微分方程（3）IhkNIdt其中 ，h用分离变量法解出：（4）teItI0)(其中 I0 为初始值。根据以上分析我们可以看出，常微分方程的传染病模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况。当病例数远小于总人口数时，常微分方程模型的3实质与附件 1 的模型相同，感病人数将随时间以指数增长。考虑这一特点，我们用计算机跟踪病毒的个体传播情况，建立了模拟模型。（四）计算机模拟模型：在该模型中，我们将传染系统中的人分为五类：自由携带者（ ）身上携带病毒并均匀散布在人群中的患者，根据tf基
9、本假设自由携带者在潜伏期内不具有传染力， 日增患者（ ）每天被医疗部门发现并加以隔离的感病者 tx被隔离者（ ）因曾与自由携带者接触而被怀疑携带 SARS 病毒的y人 有效接触者（ ）每日与自由携带者接触并感染上病毒的人 1tz无效接触者（ ）每日与自由携带者接触但未染上病毒的人 2并作出如下假设：1、由于传染性 SARS 最初（12 天）的症状通常为发热（ ） ，发热通o38常为高热1。症状明显，易于辨认，故可认为自由携带者发病后当天或第二天就立即入院治疗，入院后不会再参与疾病的传播。2、根据实际信息，假设 SARS 病人被发现的三天内，有关部门将采取措施，将部分与病源有效接触者隔离，这部分
10、人即使发病后也不会参与疾病的传播。3、与病源有效接触者必然发病。根据基本假设，潜伏期一般为 2 至 7 天，这里取为 5 天。 （这一假设在改进模型中有进一步的讨论。 ）另外，对模拟模型中出现的符号变量说明如下：有效接触率，表示一个自由携带者平均每天有效接触的人数。1k无效接触率，表示一个自由携带者平均每天无效接触的人数。2与自由携带者接触后（包括有效接触和无效接触）的人群中可以控制的人数所占的百分比。模拟模型中个体传播情况如图 1 所示：自由携带者 15 天处于潜伏期，不具有传染能力；5 天后发病，发病后每天有效接触 人，2 天后（第 7 天）被1k隔离，在隔离前每天无效接触 人。与病源接触
11、后的可控人群（占接触者总人2k数的 ）在 3 天后被视为疑似病人。疑似病人中的有效接触者在接触病源的第7 天被发现确认为日增患者，而有效接触者中其他人作为自由携带者留在人群中，继续这之前的个体传播。自由携带者日增患者有效接触者无效接触者自由携带者被隔离者日增患者被隔离者7 天后第 6，7 天7 天中3 天后3 天后4 天后4图 1：个体传播示意图用数学模型描述各个变量之间的关系如下：66)1(),210(65112211 izifxjkjzifi（5）因为北京在 4 月 20 日才开始建立每日疫情报道制度，故认为政府采取严格的隔离措施开始于 4 月 20 日，以这一天为分界线，之前属于自由传播
12、阶段。根据这一模型，用计算机模拟北京 5 月 10 日之前 SARS 的传播情况，并对5 月 10 日以后的传播情况进行预测。图 2：5 月 10 日以前数据拟合图5图 3：5 月 10 日以后的预测曲线通过图 2 两条曲线的拟合，得到控前的有效接触率（表示病毒的传染力）k=1.351,可控率（表征政府的控制力度） ；控后 k1=0.8， =0.7。根5.0据这两个参数作出 5 月 10 日的预测曲线见图 3。 ，根据预测，北京将在第 97 天（6 月下旬）实现零增长，累计病例数 2448 人。经过分析，以上确定型的模拟模型存在以下两点问题：第一、SARS 病毒的潜伏期一般是 27 天，模型将
13、潜伏期确定为 5 天，从感染到被发现的时间确定为 7 天，可以明显地看到以 7 天为传播周期的曲线变动，而在实际曲线中，虽然数据有上下波动的趋势，但周期性并不明显。第二、在采用隔离政策时，模型假定与病源接触的人群以固定的比例 受到控制，这种假设加大了人为主观因素的影响。基于以上两点，在拟合 5 月 10 日之前的数据时，得到的有效接触率与实际统计数据有偏差。这种偏差降低了模型的可信度。若卫生部门的隔离措施滞后 15 天才得到全面实施，将出现图 6 的情况，到第 139 天疫情才能基本消除，累计病例数将增至 10208 人,比原来增长了约 8000多名患者。通过相关数据，我们对相关因素进行了预测
14、，如：对疾病的预防宣传，以及对我们实时数据的公布加强大家的危机意识感;例如：及时宣传与不同滞后宣传的后果是完全不同的，因此通过查询相关资料我们建立了相关函数图像，6滞后 5 天的预测曲线滞后 15 天的预测曲线若社会及政府等相关部门加大宣传力度，人们警觉性提高，使有效接触率降低，设 k=0.8，得到预测曲线图 7，预计到第 92 天疫情解除，累计病例 2395人。若卫生部门实施严格隔离措施，加大对与自由携带者相接触的人群的控制力，设可控率提高到 ， 。得到预测曲线图 8，预计到第 80 天疫.03.情解除，累计病例 2545 人。7改变相关参数 累计病例数实现零增长的时间与预测病例数的差值与预
15、测实现零增长的日期相比最初预测 2816 109提前 5 天 1958 100 -858 -9滞后 5 天 4487 121 1671 +12滞后 15 天 10208 139 7392 +30加大控制力度 2545 80 -271 -29加大宣传力度 2395 92 -421 -18以上预测结果表明，加大宣传力度，可以明显减少感染总数；而加大控制力度，可以显著减少疫情延续的时间。根据以上预测结果，对 SARS 疫情的控制提出以下建议：1、应尽早采取有效的控制措施。提早采取严格的隔离措施，将会使疫情提早得到控制或解除。2、隔离和宣传并重。一方面加大控制力度，提高接触病源的人群的可控率，提前结束疫情；另一方面加大宣传力度，提高全民健康意识，切断传染途径，从而减少自由携带者的有效接触人数。这样即使防范措施晚了一些，出现了高峰期，仍然能够在一定的时间内解除疫情。
