1、数学教育网-数学试题- 数学教案- 数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 http:/数学教育网 http:/17 二项式定理与多项式1二项工定理 nkkbaCba0*)()( N2二项展开式的通项)(1nrTrnr 它是展开式的第 r+1 项.3二项式系数).0(Crn4二项式系数的性质（1 ） ).(nknk（2 ） ).101n（3 ）若 n 是偶数，有 nnn CC12，即中间一项的二项式系数2C最大.若 n 是奇数，有 nnn12110 ，即中项二项的二项式系数 21n和相等且最大.（4 ） .0 nnnCC（5 ） .2153142 nnn（6 ） .11kknk或（7 ）
2、 ).(kmCCknmmkn （8 ） .121n以上组合恒等式（是指组合数 mn满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出.5证明组合恒等式的方法常用的有（1 ）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.（2 ）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.（3 ）利用数学归纳法.（4 ）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.数学教育网-数学试题- 数学教案- 数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 http:/数学教育网 http:/例题讲解1求 7)1(x的展开式中的常数项.2求 62)31(x的展开式里 x5
3、的系数.3已知数列 )0(,210a 满足 ),32,1(1iaii 求证：对于任何自然数 n， nnnnnnn xCaxCxCxxCaxp )()()()()( 122110 是 x 的一次多项式或零次多项式. 4已知 a，b 均为正整数，且 ,sin)(),20(2sin, 2baAn其 中求证：对一切 *Nn，A n均为整数.数学教育网-数学试题- 数学教案- 数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 http:/数学教育网 http:/5已知 yx,为整数，P 为素数，求证： )(mod)(PyxP6若 )10*,()25(1Nmrr ，求证： .1)(m7数列 na中， )2(3
4、,11nan，求 201a的末位数字是多少？8求 N=19881 的所有形如 bad,(32为自然数）的因子 d 之和.9 设 8219)05()205(x，求数 x 的个位数字 .10 已知 ),21(8,10naan试问：在数列 na中是否有无穷多个能被 15 整除的项？证明你的结论.数学教育网-数学试题- 数学教案- 数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 http:/数学教育网 http:/例题答案：1.解：由二项式定理得 77)1()1(xx 77722770 )1()1(xCxCCrr 其中第 )(1r项为 rrrT1 在 rx)的展开式中，设第 k+1 项为常数项，记为 ,
5、1kT则 )0(,)(2,1 rkxCTrkkrk 由得 r2k=0，即 r=2k，r 为偶数，再根据、知所求常数项为 .39672471270 C评述：求某一项时用二项展开式的通项.2. 解：因为 662)1()3( xx .3(1 65643621663626 xCxCxCx 所以 )(的展开式里 x5 的系数为 23245 )()( .183356164C评述：本题也可将 62)(x化为 62)3(x用例 1 的作法可求得.3. 分析：由 1niii aa知是等差数列，则 ),21(0idaaii 从而可将 )(xp表示成 d和0的表达式，再化简即可.解：因为 ),32(1iii 所以数
6、列 n为等差数列，设其公差为 d有 ),(0ai 从而 nnnnnn xCaxCdaxCdaxCxP )()1()2()1()( 0200 ,)1( 10 nnnn 数学教育网-数学试题- 数学教案- 数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 http:/数学教育网 http:/由二项定理，知 ,1)()1()1()( 220 nnnnnn xxCxCxxC又因为 ,)!1(! 1 knkk从而 nnnn xxx2211)()( 11C.)(xxn所以 .)(0ndxaxP当 Pd为时 ,0的一次多项式，当 为时 )(,零次多项式.4. 分析：由 si联想到复数棣莫佛定理，复数需要 cos
7、，然后分析 An 与复数的关系.证明：因为 .i1,20,2n 22bababa 所 以且显然 ni)s(cosi为 的虚部，由于 ni)s(.)()(12( 22222 nnnn ibaibaiba所以 .(si(co) 22 nn i从而 nn biaA2)(si为的虚部.因为 a、 b 为整数，根据二项式定理， ba)的虚部当然也为整数，所以对一切*Nn，A n 为整数.评述：把 An 为与复数 ni)s(co联系在一起是本题的关键.5. 证明： PpPPPP yxCyxCxy 121)( 由于 ),(!)(1rrpCrP 为整数，可从分子中约去 r！，又因为 P 为素数，且 ，所以分子
8、中的 P 不会红去，因此有 ).1,2(|rP 所以).(mod)(yxPP评述：将 展开就与 Pyx有联系，只要证明其余的数能被 P 整除是本题的关键.6. 分析：由已知 1)()25(1mr和 猜想 12)5(r，因此需要求出，即只需要证明 1rr为正整数即可.证明：首先证明，对固定为 r，满足条件的 ,是惟一的.否则，设112)5(mr数学教育网-数学试题- 数学教案- 数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 http:/数学教育网 http:/,),10(,*, 21221212 mmN则 ),0(,1 Z而 矛盾.所以满足条件的 m 和是惟一的. 下面求 及 .因为 12212
9、21201212 )5()5()5()5()( rrrrrrrrr CC 1212012 rrrrC*55)()( 1212313212 N rrrr 又因为 ),0()(),0(r从 而所以 )22112313212 rrrrr CCm)5(r故 .)(12r .)45()(1212rr评述：猜想 5, rrr与 进行运算是关键.7. 分析：利用 n 取 1，2 ，3，猜想 na及 的末位数字 .解：当 n=1 时，a 1=3， 3642731a27)81()()(3 66436427 ，因此 32,a的末位数字都是 7，猜想， .*,Nmn 现假设 n=k 时， .*4Nmak当 n=k+
10、1 时， 34341)(makk340342123412340340 )1()()( mmmm CCCC,T 从而 *(Nan于是 .27)81(3341mann 故 201的末位数字是 7.评述：猜想 是关键.8. 分析：寻求 N 中含 2 和 3 的最高幂次数，为此将 19 变为 201 和 18+1，然后用二项式定理展开.解：因为 N=19881=(201) 881=(14 5)881= 8878733822818 54545554 CCC数学教育网-数学试题- 数学教案- 数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 http:/数学教育网 http:/)52(5256M其中 M 是整
11、数.上式表明，N 的素因数中 2 的最高次幂是 5. 又因为 N=(1+29)881882818 99CC=32288+34P=32（2 88+9P）其中 P 为整数.上式表明，N 的素因数中 3 的最高次幂是 2. 综上所述，可知 Q5，其中 Q 是正整数，不含因数 2 和 3.因此，N 中所有形如 ba2的因数的和为(2+2 2+23+24+25)(3+32)=744.9. 分析：直接求 x 的个位数字很困难，需将与 x 相关数联系，转化成研究其相关数.解：令 )201()01(,)015()015( 89829 yy则2，由二项式定理知，对任意正整数 n.)25(2)()( 2nnn C
12、为整数，且个位数字为零.因此，x+y 是个位数字为零的整数.再对 y 估值，因为 .01520， 且 198)205()01(，所以 .42.)(199y 故 x 的个位数字为 9.评述：转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.10. 分析：先求出 na，再将 n表示成与 15 有关的表达式，便知是否有无穷多项能被 15 整除.证明：在数列 n中有无穷多个能被 15 整除的项，下面证明之 .数列 na的特征方程为 ,0182x它的两个根为 154,15421xx，所以 nnBA)54()1( （n=0，1 ，2，）由 ,2,0得 则 ,)()(5nnna取 ),(2kn，由二项式定理得 )15(42)1(41541533 nnnnn CCa 数学教育网-数学试题- 数学教案- 数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 http:/数学教育网 http:/),(1542 )15442232132 2为 整 数其 中 TkCCkkkk nnn 由上式知当 15|k，即 30|n 时，15|a n，因此数列 na中有无穷多个能被 15 整除的项.评述：在二项式定理中， nb)()(与 经常在一起结合使用.
