1、第 1 页（共 23 页）2016 年甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集 U=R，集合 A=x|x2，B=x|lg（x 1）0，则 A（ uB）=（ ）Ax|1x2 Bx|1 x2 Cx|x2 Dx|x12在复平面内，复数 z 满足 z（1 i）=（1+2i ） （i 是虚数单位） ，则 z 对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知 ， 为两个非零向量，设命题 p：| |=| | |，命题 q： 与 共线，则命题p 是命题 q 成立的（
2、）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，若bsinA=3csinB，a=3， ，则 b=（ ）A14 B6 C D5已知 MOD 函数是一个求余函数，其格式为 MOD（n，m） ，其结果为 n 除以 m 的余数，例如 MOD（8，3）=2 ，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为 4，则输入 n 的值为（ ）A16 B14 C12 D106某单位员工按年龄分为 A，B，C 三组，其人数之比为 5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，若 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率
3、是 ，则该单位员工总数为（ ）A110 B100 C90 D807一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）第 2 页（共 23 页）A B C3 D38已知直线 ax+y1=0 与圆 C：（x1） 2+（y+a） 2=1 相交于 A，B 两点，且ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为（ ）A B 1 C1 或 1 D19 ， ，则 的值为（ ）A B C D10已知命题：函数 y=2x（ 1x1）的值域是 ，2；为了得到函数 y=sin（2x ）的图象，只需把函数 y=sin2x 图象上的所有点向右平移个单位长度；当
4、 n=0 或 n=1 时，幂函数 y=xn 的图象都是一条直线；已知函数 f（x）= ，若 a，b，c 互不相等，且 f（a）=f（b）=f（c） ，则 abc 的取值范围是（2，4） 其中正确的命题是（ ）A B C D11已知 O 为坐标原点，双曲线 上有一点 P，过点 P 作双曲线 C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 OAPB 的面积为1，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C2 D第 3 页（共 23 页）12已知函数 f（x）=aln（x+1）x 2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数 p，q，若不等式 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是（
5、）A15，+） B6，+ ） C （ ，15 D （，6二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13若函数 f（x）=x alnx 在点（1，1）处的切线方程为 y=1，则实数 a= 14已知变量 x，y，满足： ，则 z=2x+y 的最大值为 15若 f（x）+ f（x）dx=x，则 f（x）dx= 16， 是两平面， AB，CD 是两条线段，已知 =EF，AB 于 B，CD 于 D，若增加一个条件，就能得出 BDEF，现有下列条件：AC；AC 与 ， 所成的角相等；AC 与 CD 在 内的射影在同一条直线上； ACEF其中能成为增加条件的序号是 三、解答题（本大题共
6、5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17等差数列a n中，已知 an0，a 1+a2+a3=15，且 a1+2，a 2+5，a 3+13 构成等比数列b n的前三项（1）求数列a n，b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和 Tn18为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表分数（分数段） 频数（人数） 频率60，70） 9 x70，80） y 0.3880
7、，90） 16 0.3290，100） z s合计 p 1（1）求出上表中的 x，y，z，s，p 的值；（2）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望19如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAB底面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，PA=PB，O 为 AB 的中点，ODPC第 4 页（共 23 页）（1）求证：OCPD ；（2）若 PD 与平面 PAB 所成的角为 300，求二面角 DPCB 的余弦值20已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，两个焦点分别为 F1，F
8、2（1）求椭圆 C 的方程；（2）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若AF 2B 的内切圆半径为 ，求以F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程21已知函数 f（x）= +ax，x1（）若 f（x）在（1，+）上单调递减，求实数 a 的取值范围；（）若 a=2，求函数 f（x）的极小值；（）若方程（2xm）lnx+x=0 在（1，e上有两个不等实根，求实数 m 的取值范围请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-1：几何证明选讲22如图，AB 切O 于点 B，直线 AO 交O 于 D，E 两点，BCDE，垂足为 C（）证明：
9、CBD=DBA ；（）若 AD=3DC，BC= ，求O 的直径选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 x Oy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 （）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；第 5 页（共 23 页）（）若点 P 坐标为 ，圆 C 与直线 l 交于 A， B 两点，求|PA|+|PB|的值选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|x 1|+|xa|（a R）（1）当 a=4 时，求不等式 f（ x）5 的解集；（2）若 f（x）4 对 xR 恒成立，求 a 的取值范围第
10、 6 页（共 23 页）2016 年甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集 U=R，集合 A=x|x2，B=x|lg（x 1）0，则 A（ uB）=（ ）Ax|1x2 Bx|1 x2 Cx|x2 Dx|x1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】lg（x1）0，可得 x11，可得 B， RB再利用集合的运算性质可得：A（ uB） 【解答】解：lg（x1）0，x11，解得 x2B=x|lg（x1）0=（2，+） ， RB=（ ， 2则 A（ uB）= （，
11、2） 故选：C2在复平面内，复数 z 满足 z（1 i）=（1+2i ） （i 是虚数单位） ，则 z 对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案【解答】解：由足 z（1i）=（1+2i） ，得，z 对应的点的坐标为（ ） ，位于第二象限故选：B3已知 ， 为两个非零向量，设命题 p：| |=| | |，命题 q： 与 共线，则命题p 是命题 q 成立的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的
12、判断第 7 页（共 23 页）【分析】设 与 的夹角为 若 与 共线，则 cos=1再利用数量积运算性质即可判断出结论【解答】解：设 与 的夹角为 若 与 共线，则 cos=1| |=| | |cos|=| | |，反之也成立命题 p 是命题 q 成立的充要条件故选：C4在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，若bsinA=3csinB，a=3， ，则 b=（ ）A14 B6 C D【考点】正弦定理；余弦定理【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得 ab=3cb，化简解得 c，再利用余弦定理即可得出【解答】解：在ABC 中，bsinA=3csinB，ab=3cb，可
13、得 a=3c，a=3，c=1 = = ，解得 b= 故选：D5已知 MOD 函数是一个求余函数，其格式为 MOD（n，m） ，其结果为 n 除以 m 的余数，例如 MOD（8，3）=2 ，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为 4，则输入 n 的值为（ ）第 8 页（共 23 页）A16 B14 C12 D10【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算 MOD（n，i）的值，验证输出的结果是否为 4，即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得：若 n=16，i=3，MOD（16 ，3）=1 ，不满足条件 MOD（16，3）=0，i=4 ，MOD（16，4）=
14、0 ，满足条件 MOD（16，4）=0 ，退出循环，输出 i 的值为 4，满足题意；若 n=14，i=3，MOD（14 ，3）=2 ，不满足条件 MOD（14，3）=0，i=4 ，MOD（14，4）=2 ，不满足条件 MOD（14，4）=0 ，i=5，MOD（14，5）=4 ，不满足条件 MOD（14，5）=0 ，i=6，MOD（14，6）=2 ，不满足条件 MOD（14，6）=0 ，i=7，MOD（14，7）=0 ，满足条件 MOD（14，7）=0 ，退出循环，输出 i 的值为 7，不满足题意；若 n=12，i=3，MOD（12 ，3）=0 ，满足条件 MOD（ 12，3）=0，退出循环，输
15、出 i 的值为 3，不满足题意；若 n=10，i=3，MOD（10 ，3）=1 ，不满足条件 MOD（10，3）=0，i=4 ，MOD（10，4）=2 ，不满足条件 MOD（10，4）=0 ，i=5，MOD（10，5）=0 ，满足条件 MOD（14，5）=0 ，退出循环，输出 i 的值为 5，不满足题意；故选：A6某单位员工按年龄分为 A，B，C 三组，其人数之比为 5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，若 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ，则该单位员工总数为（ ）A110 B100 C90 D80【考点】极差、方差与标准差【分析】根据分层抽样的定义求出 C
16、抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是 ，直接进行计算即可【解答】解：按年龄分为 A，B，C 三组，其人数之比为 5：4：1，从中抽取一个容量为 20 的样本，则抽取的 C 组数为 20=2，设 C 组总数为 m，则甲、乙二人均被抽到的概率为 = = ，即 m（m1）=90，解得 m=10设总体中员工总数为 x，则由 = = ，第 9 页（共 23 页）可得 x=100，故选：B7一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）A B C3 D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方
17、形的边长其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球设其四棱锥的外接球的半径为 r，则 312=（2r） 2，解得 r= 该几何体外接球的体积= = 故选：A8已知直线 ax+y1=0 与圆 C：（x1） 2+（y+a） 2=1 相交于 A，B 两点，且ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为（ ）A B 1 C1 或 1 D1【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意可得ABC 是等腰直角三角形，可得圆心 C（1， a）到直线 ax+y1=0 的距离等于 rsin45，再利用点到直线的距离公式
18、求得 a 的值【解答】解：由题意可得ABC 是等腰直角三角形，圆心 C（1， a）到直线 ax+y1=0的距离等于 rsin45= ，再利用点到直线的距离公式可得 = ，第 10 页（共 23 页）a=1，故选：C9 ， ，则 的值为（ ）A B C D【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】由二倍角公式化简 sin2，由同角的三角函数恒等式得到（sin+cos） 2，结合 的范围，得到开平方的值【解答】解： ， ，sincos= ，sin 2+cos2=1（sin+cos） 2=1+2sincos= ，= （ cos+ sin）=cos +sin= 故选：D10已知命题：函数 y=2x（ 1
19、x1）的值域是 ，2；为了得到函数 y=sin（2x ）的图象，只需把函数 y=sin2x 图象上的所有点向右平移个单位长度；当 n=0 或 n=1 时，幂函数 y=xn 的图象都是一条直线；已知函数 f（x）= ，若 a，b，c 互不相等，且 f（a）=f（b）=f（c） ，则 abc 的取值范围是（2，4） 其中正确的命题是（ ）A B C D【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据指数函数的单调性进行判断根据三角函数的图象关系进行判断根据幂函数的定义和性质进行判断根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断【解答】解：y=2 x 是增函数，当 1x1 时，函数的值域是 ，2；故正确，第 1
20、1 页（共 23 页）函数 y=sin2x 图象上的所有点向右平移 个单位长度，则 y=sin2（x ）=sin（2x，则无法得到函数 y=sin（2x ）的图象，故 错误，当 n=0 时， y=x0=1， （x0）是两条射线，当 n=1 时，幂函数 y=x 的图象都是一条直线；故错误，作出函数 f（x）的图象如图，f（x）在（0，1上递减，在（ 1，2）上递增，在（2，+）单调递减，又a，b，c 互不相等，a，b，c 在（0，2上有两个，在（2，+ ）上有一个，不妨设 a（0， 1，b（1，2） ，c （2，+） ，则 log2a+log2b=0，即 ab=1，则 abc 的取值范围是 c
21、的取值范围，由 x+2=0，得 x=4，则 2c4，则 2abc4，即 abc 的取值范围是（2，4） 故 正确，故选：B11已知 O 为坐标原点，双曲线 上有一点 P，过点 P 作双曲线 C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 OAPB 的面积为1，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C2 D【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程，设 P（m ，n）是双曲线上任一点，设过 P 平行于x+ay=0 的直线为 l，求得 l 的方程，联立另一条渐近线可得交点 A，|OA |，求得 P 到 OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得 a=
22、2，求得 c，进而得到所求双曲线的离心率【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程 xay=0，第 12 页（共 23 页）设 P（m，n）是双曲线上任一点，设过 P 平行于 x+ay=0 的直线为 l，则 l 的方程为：x+ay man=0，l 与渐近线 xay=0 交点为 A，则 A（ ， ） ，|OA|= | | ，P 点到 OA 的距离是： ，|OA|d=1，| | . =1， ，a=2， ， 故选：D12已知函数 f（x）=aln（x+1）x 2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数 p，q，若不等式 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A15，+） B6，+ ） C （ ，15
23、 D （，6【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法 进行求解即可【解答】解：因为 pq，不妨设 pq，由于 ，所以 f（p+1）f（q+1）pq，得f （p+1） （p+1）f（q+1）（q+1）0，因为 pq，所以 p+1q+1，所以 g（x）=f（x+1）（x+1 ）在（0，1）内是增函数，所以 g（x）0 在（0，1）内恒成立，即 恒成立，所以 a（2x+3） （x+2）的最大值，因为 x（0，1）时（2x+3） （ x+2）15，所以实数 a 的取值范围为15，+） 故选：A二、填空题（
24、每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）第 13 页（共 23 页）13若函数 f（x）=x alnx 在点（1，1）处的切线方程为 y=1，则实数 a= 1 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得 a 的方程，即可得到所求值【解答】解：函数 f（x）=xalnx 的导数为 f（x）=1 ，由在点（1，1）处的切线方程为 y=1，可得在点（1，1）处的切线斜率为 1a=0，解得 a=1故答案为：114已知变量 x，y，满足： ，则 z=2x+y 的最大值为 4 【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的
25、截距得出最优解【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由 z=2x+y 得 y=2x+z由图形可知当直线 y=2x+z 经过 B 点时，直线的截距最大，即 z 最大解方程组 ，得 B（1，2） z 的最大值为 z=21+2=4故答案为：415若 f（x）+ f（x）dx=x，则 f（x）dx= 【考点】定积分【分析】对已知等式两边求导，得到 f（x）=1，所以设 f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求第 14 页（共 23 页）【解答】解：对 f（x）+ 01f（x）dx=x 两边求导，得到 f（x）=1，所以设 f（x）=x+c，由已知 x+c+（ x2+cx）| =x，解得 c=
26、 ，所以 =（ ）| = ；故答案为： 16， 是两平面， AB，CD 是两条线段，已知 =EF，AB 于 B，CD 于 D，若增加一个条件，就能得出 BDEF，现有下列条件：AC；AC 与 ， 所成的角相等；AC 与 CD 在 内的射影在同一条直线上； ACEF其中能成为增加条件的序号是 或 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论【解答】解：因为 AC，且 EF，所以 ACEF 又 AB 且 EF，所以 EFAB因为 ACAB=A，AC平面 ACBD，AB 平面 ACBD，所以 EF平面 ACBD，因为 BD平面 ACBD，所以 BDEF
27、 所以可以成为增加的条件AC 与 ， 所成的角相等，AC 与 EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以 EF 与平面 ACDB 不垂直，所以就推不出 EF 与 BD 垂直所以不可以成为增加的条件AC 与 CD 在 内的射影在同一条直线上因为 CD 且 EF 所以 EFCD所以 EF 与 CD 在 内的射影垂直，AC 与 CD 在 内的射影在同一条直线上所以 EFAC ，因为 ACCD=C，AC 平面 ACBD，CD 平面 ACBD，所以 EF平面 ACBD，因为 BD平面 ACBD 所以 BDEF 所以可以成为增加的条件若 ACEF，则 AC平面 ，所以 BDAC，所以 BDEF
28、所以不可以成为增加的条件故答案为：三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17等差数列a n中，已知 an0，a 1+a2+a3=15，且 a1+2，a 2+5，a 3+13 构成等比数列b n的前三项（1）求数列a n，b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）利用等差数列的通项公式及其性质可得 an再利用等比数列的通项公式即可得出 bn（2）利用“错位相减法” 与等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：（1）设设等差数列的公差为 d，则由已知得：a 1+a2+a3=3a2=
29、15，即 a2=5，第 15 页（共 23 页）又（5d +2） （5 +d+13）=100，解得 d=2 或 d=13（舍） ，a1=a2d=3，a n=a1+（n1）d=2n +1，又 b1=a1+2=5，b 2=a2+5=10，q=2 （2） ，两式相减得 ，则 18为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表分数（分数段） 频数（人数） 频率60，70） 9 x70，80） y 0.3880，9
30、0） 16 0.3290，100） z s合计 p 1（1）求出上表中的 x，y，z，s，p 的值；（2）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】 （1）由题意知，参赛选手共有 50 人，由此能求出表中的 x，y，x，s，p 的值（）由题意随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和随机变量 X 的数学期望【解答】解：（1）由题意知，参赛选手共有 p= =
31、50 人，x= =0.18，y=500.38=19，z=50919 16=6第 16 页（共 23 页）s= （）由（）知，参加决赛的选手共 6 人，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2P因为 ，所以随机变量 X 的数学期望为 l19如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAB底面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，PA=PB，O 为 AB 的中点，ODPC（1）求证：OCPD ；（2）若 PD 与平面 PAB 所成的角为 300，求二面角 DPCB 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （1）连结 OP，推导
32、出 OPAB，从而 OP平面 ABCD，由OPOD，OP OC，得 ODOC ，再由 OPOC，能证明 OCPD （2）设 AD=1，则 AB=2，推导出DPA 为直线 PD 与平面 PAB 所成的角，设 PC 的中点为 M，连接 DM，则 DMPC 在 RtCBP 中，过 M 作 NMPC，交 PB 于点 N，则DMN 为二面角 DPCB 的一个平面角，由此能求出二面角 DPCB 的余弦值【解答】证明：（1）连结 OP，PA=PB，O 为 AB 的中点，OPAB侧面 PAB 底面 ABCD， OP平面 ABCD，OPOD，OPOC，第 17 页（共 23 页）ODPC ，OD平面 OPC，O
33、DOC，又OPOC ， OC平面 OPD，OCPD 解：（2）在矩形 ABCD 中，由（1）得 ODOC，AB=2AD，不妨设 AD=1，则AB=2侧面 PAB 底面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，DA平面 PAB，CB平面 PAB，DPADPA，DPA 为直线 PD 与平面 PAB 所成的角DPA=30 ，CPB=30 ， ，DP=CP=2，PDC 为等边三角形，设 PC 的中点为 M，连接 DM，则 DMPC在 Rt CBP 中，过 M 作 NMPC，交 PB 于点 N，则 DMN 为二面角 DPCB 的一个平面角由于CPB=30 ，PM=1，在 RtPMN 中， ， ， ， ，ND
34、2=3+1=4， ，即二面角 DPCB 的余弦值 20已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，两个焦点分别为 F1，F 2第 18 页（共 23 页）（1）求椭圆 C 的方程；（2）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若AF 2B 的内切圆半径为 ，求以F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】 （）由椭圆的离心率为 ，且经过点 ，求出 a，b，c，由此能求出椭圆方程（）设直线 l 的方程为 x=ty1，代入椭圆方程得（4+3t 2）y 26ty9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程【解答】解：（）椭
35、圆 的离心率为 ，且经过点，两个焦点分别为 F1，F 2 ，a=2c ，a 2=4c2， b2=3c2，将点 的坐标代入椭圆方程得 c2=1，故所求椭圆方程为 （）设直线 l 的方程为 x=ty1，代入椭圆方程得（4+3t 2）y 26ty9=0，判别式大于 0 恒成立，设 A（ x1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，AF 2B 的内切圆半径为 r0，则有 ， ，= ，而= ， ，解得 t2=1，第 19 页（共 23 页）所求圆与直线 l 相切，半径 = ，所求圆的方程为（x1） 2+y2=221已知函数 f（x）= +ax，x1（）若 f（x）在（1，+）上单调递减，求实数 a 的取值
36、范围；（）若 a=2，求函数 f（x）的极小值；（）若方程（2xm）lnx+x=0 在（1，e上有两个不等实根，求实数 m 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】 （）求出函数的导数，通过 f（x）0 在 x（ 1，+）上恒成立，得到 a 的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到 a 的范围（）利用 a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值（）化简方程（2xm）lnx+x=0，得 ，利用函数 f（x）与函数 y=m 在（1，e上有两个不同的交点，结合由（）可知，f（x）的单调性，推出实数 m 的取值范围【解答】 （本小题满分 13 分）解
37、：（）函数 f（x）= +ax，x1，由题意可得 f（x）0 在 x（1， +）上恒成立； ，x（1，+） ，lnx（0， +） ， 时函数 t= 的最小值为 ， （） 当 a=2 时， 令 f（x）=0 得 2ln2x+lnx1=0，解得 或 lnx=1（舍） ，即 当 时，f（x）0，当 时，f（x）0第 20 页（共 23 页）f（x）的极小值为 （）将方程（2xm）lnx+x=0 两边同除 lnx 得整理得 即函数 f（x）与函数 y=m 在（1，e上有两个不同的交点；由（）可知，f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，当 x1 时， ， ，实数 m 的取值范围为 请考生在 22、23
38、、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-1：几何证明选讲22如图，AB 切O 于点 B，直线 AO 交O 于 D，E 两点，BCDE，垂足为 C（）证明：CBD=DBA ；（）若 AD=3DC，BC= ，求O 的直径【考点】直线与圆的位置关系【分析】 （）根据直径的性质即可证明：CBD=DBA；（）结合割线定理进行求解即可求O 的直径【解答】证明：（）DE 是O 的直径，则BED+EDB=90 ，BCDE ，CBD+EDB=90，即CBD= BED，AB 切O 于点 B，DBA=BED，即CBD=DBA ；（）由（）知 BD 平分CBA，则 =3，BC= ，AB=
39、3 ，AC= ，则 AD=3，第 21 页（共 23 页）由切割线定理得 AB2=ADAE，即 AE= ，故 DE=AEAD=3，即可O 的直径为 3选修 4-4：坐标系与参数方程 23在平面直角坐标系 x Oy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 （）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；（）若点 P 坐标为 ，圆 C 与直线 l 交于 A， B 两点，求|PA|+|PB|的值【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】 （）先利用两方程相加，消去参数 t 即可得到 l 的普通方程，再利用直角坐
40、标与极坐标间的关系，即利用 cos=x， sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程（）把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值【解答】解：（）由 得直线 l 的普通方程为 x+y3 =02 分又由 得 2=2 sin，化为直角坐标方程为 x2+（y ） 2=5；5 分（）把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得（3 t） 2+（ t） 2=5，即 t23 t+4=0设 t1，t 2 是上述方程的两实数根，所以 t1+t2=3又直线 l 过点 P ，A、B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，所以|PA|+
41、|PB|=|t 1|+|t2|=t1+t2=3 10 分选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|x 1|+|xa|（a R）第 22 页（共 23 页）（1）当 a=4 时，求不等式 f（ x）5 的解集；（2）若 f（x）4 对 xR 恒成立，求 a 的取值范围【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式【分析】 （）不等式即|x1 |+|x4|5，等价于 ，或 ，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（）因为 f（x）=|x 1|+|xa|a 1|，由题意可得|a1|4，与偶此解得 a 的值【解答】解：（）当 a=4 时，不等式 f（x）5，即|x 1|+|x4|5，等价于， ，或 ，或 解得：x0 或 x5故不等式 f（x）5 的解集为 x|x0，或 x5 （）因为 f（x）=|x 1|+|xa|（x 1）（xa ）|= |a1| （当 x=1 时等号成立）所以：f（x） min=|a1|由题意得：|a1|4，解得 a3，或 a5 第 23 页（共 23 页）2016 年 9 月 4 日
