1、电话：400-810-2680,第1讲专题一：奇数与偶数 专题二：数的整除 专题三：余数问题,授课时间：2011年10月19日 周三,数论综合,专题一：奇数与偶数,一 、专题知识点概述,奇数和偶数的定义：,整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。,奇数和偶数运算性质：,性质1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数 性质2：偶数奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，偶数偶数
2、=偶数性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶性质8：奇数的平方可以写作 4k+1 ，偶数的平方可以写作 4k,专题一：奇数与偶数,二 、重点难点解析,奇数与偶数的定义和运算性质,分类讨论的思想和代数的思想,三 、竞赛考点挖掘,奇数偶数的操作性问题,奇数偶数的性质与其他知识点的结合,专题一：奇数与偶数,四 、习题讲解,【例1】（难度等级 ）,能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.,【分析与解】可以把题目中的数都除以2.本题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数
3、，使这5个数的和等于22.因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.,【例2】（难度等级 ）,是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？,【分析与解】可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。比较繁琐，可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b、b-c、a-c都为奇数，再根据奇偶性进行判断。,专题一：奇数与偶数,四 、习题讲解,【例3】（难度等级 ）,任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？,【分析与解】不能。2个三位数的和为999，说明
4、在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么999的数字之和是27，而原来的2个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以a记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为a，则会有2a=27的矛盾式子出现。说明原式不成立。,专题一：奇数与偶数,四 、习题讲解,【例4】（难度等级 ）,在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?,【分析与解】此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少
5、然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜我们应该从整体上去比较奇偶数的多少易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多1个所以前8行中奇偶数一样，余下第9行奇数行，答案可脱口而出偶数多,专题一：奇数与偶数,五 、课后思考,一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？,用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：abcd-a=1991abcd-b=1993abcd-c=1995abcd-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在.,
6、专题一：奇数与偶数,六 、挑战自己（难度等级 ）,圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家”证明：k为偶数,专题二：数的整除,一 、专题知识点概述,常见数字的整除判定方法：,1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；,2. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比3整除； 一个数各位数数字和能被9整除
7、，这个数就能被9整除；,3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除， 那么这个数能被11整除.,4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除， 那么这个数能被7、11或13整除.,专题二：数的整除,一 、专题知识点概述,整除性质：,性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(ab),性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca,性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除即如果bca，那么ba，ca,性质4 如果数a
8、能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca 例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(34) 12,专题二：数的整除,一 、专题知识点概述,整除性质：,性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除 如果 ba，那么bmam（m为非0整数）；,性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除 如果 ba ，且dc ，那么acbd；,专题二：数的整除,二 、重点难点解析,1.常见数字的整除判定性质,2将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性,三 、竞赛考点挖掘,1.与数字
9、谜或算式迷结合的整除判断特性题目,2.代数式之间的整除性问题,3代数式之间整除性的判断，代数思想的应用,4试除法的理解和应用,专题二：数的整除,四 、习题讲解,【例1】（难度等级 ）,173是个四位数字。数学老师说：“我在这个中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？,【分析与解】方法一：利用整除判定特征，逐个分析易知这三种情况下填入方格的数字和为7+8+4=19,方法二：采用试除法 （本讲的重点方法）用1730试除，17309=1922，173011=1573，17306=2882所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8
10、、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19,专题二：数的整除,四 、习题讲解,【例2】（难度等级 ）,某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？,【分析与解】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7位数能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要让七位数是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍数的倍数即可。【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用1993000试除，19930002520=790220
11、0，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可,专题二：数的整除,四 、习题讲解,【例3】（难度等级 ）,由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？,【分析与解】根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11的倍数，我们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上的数和为b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0或a-b=11或a-b=22等情况，根据奇偶性分析自然数a与b的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是a-b不可能为22，所以a-b=0，解得a=b=14，则容易排列
12、出最大数875413.,专题二：数的整除,四 、习题讲解,【例4】（难度等级 ）,从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？,【分析与解】本题采用试除法。因为3，5，7，13的最小公倍数为1365，在100000之内最大的1365的倍数为99645(1000001365=73355，100000-355=99645)，但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减1365依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可。有99645-1365=98280，98280-1365=9691596915-1365=955
13、5095550-1365=94185所以，满足题意的5位数最大为94185,专题二：数的整除,四 、习题讲解,【例5】（难度等级 ）,在下面的方框中各填一个数字，使六位数1111能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？,【分析与解】本题采用试除法。如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除110011323=340191，余191也可以看成不足(323-191=)132所以当132+323n是100的倍数时，才能保证在只改动110011的千位、百位数字，而得到323的倍数所以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6，16，26，验证有n=16时，132+32316
14、=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意,专题二：数的整除,四 、习题讲解,【例6】（难度等级 ）,某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？,【分析与解】本题采用试除法。本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。证明方法很简单，以连续9个奇数为例子：我们可以令连续9个奇数为：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4则他们的
15、和为9a，即为9的倍数。对于连续10个自然数，可以为a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5则它们的和为10a+5=5（2a+1），即是5的倍数且除以5后商是奇数。所以本题中要求的数是5，9，11的最小公倍数的倍数即495的倍数，最小值即495.,专题二：数的整除,四 、习题讲解,【例7】（难度等级 ）,将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？,【分析与解】本题采用试除法。本题考察对数字667的特殊认识，即6673=2001。本题要求用4，5，6，7，8，9组成一个667的倍数，其实发现4，
16、5，6，7，8，9组合出的数一定是3的倍数，那么只要考虑组成一个2001的倍数即可，而2001的六位数倍数具有明显的特征，即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是900多的数字，后三位是400多，很容易得到956478。那么956478667=1434。,专题二：数的整除,五 、课后思考,1.六位数2008能被49整除，中的数是多少？,2. 如果六位数1992能被105整除，那么它的最后两位数是多少？,3. 有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。请找出700到1000之间，所有满足上述条件的自然数。,4.请求出最大的七位数，
17、使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多少？,专题二：数的整除,六 、挑战自己（难度等级 ）,有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对那么：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数,专题三：余数问题,一 、专题知识点概述,带余除法的定义及性质：,一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=q
18、r，也就是abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当 时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当 时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商,一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。,专题三：余数问题,一 、专题知识点概述,三大余数定理,1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a
19、,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.,2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以 除以5的余数等于 3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所
20、以 除以5的余数等于 除以5的余数，即2.,专题三：余数问题,一 、专题知识点概述,三大余数定理,3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab),专题三：余数问题,二 、重点难点解析,1.带余除法的定义式，4个基本量的相互关系,2.三大余数定理的应用,三 、竞赛考点挖
21、掘,1. 三大余数定理的灵活运用,2. 求某些复杂数的个位数字,专题三：余数问题,四 、习题讲解,【例1】（难度等级 ）,一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。,【分析与解】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3713，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.,专题三：余数问题,四 、习题讲解,【例2】（难度等级 ）,有一个
22、两位整数，除39，51，147所得的余数都相同，求这个数。,【分析与解】本题考查知识点为同余定理。发现未知的两位整数除39，51，147的余数都相同，但是都不知道是多少，所以无法按照例1的方法去求，那么根据同余定理，这三个被除数两两作差后都可以得到这个未知两位数的倍数，即108，96，12均为所求数的倍数，即所求的数是108，96，12的公约数，在这三个数的公约数中两位数的约束仅有12，所以所求两位数是12.,专题三：余数问题,四 、习题讲解,【例3】（难度等级 ）,求 的余数,【分析与解】本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由644319余2，求原式的余数只要求
23、 的余数即可。但是如果用219发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整， ，6419余数为7，那么求 的余数就转化为求 的余数，即4919的余数。4919余数为11，所以原式 的余数为11.,专题三：余数问题,四 、习题讲解,【例4】（难度等级 ）,号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?,【分析与解】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。,专题三：余数问题,五 、课后思考,1.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?,2.用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？,3. 除以13所得余数是_.,4.有五个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数为了使这五个数的和尽可能地小，那么这五个数的和是_.,专题三：余数问题,六 、挑战自己（难度等级 ）,数111（2007个1），被13除余多少？,
