1、 12020 年高考理科数学不等式题型归纳与训练【题型归纳】题型一 截距型线性规划问题例 1若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_.xy201xy32zxy【答案】 6.【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点 (2,0)时取得最大值， max3206z.例 2若变量 x，y 满足 则 2xy 的取值范围为_1,0【答案】2,2【解析】作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线 2xy 0，经过点 A(1,0)时，2x y 取得最大值 2102，经过点 B(1,0)时，2x y 取得最小值 2(1) 02，所以 2xy 的取值范围为2,2例 3.一个小型加工厂用一台机器生产甲
2、、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖 4 千克，果汁 18 千克，用时 3 小时；生产一桶乙饮料需要白糖 1 千克，果汁 15 千克，用时 1 小时.现库存白糖 10 千克，果汁66 千克，生产一桶甲饮料利润为 200 元，生产一桶乙饮料利润为 100 元，在使用该机器用时不超过 9 小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为_.【答案】 6002【解析】 设生产甲、乙两种饮料分别为 x 桶、y 桶，利润为 z 元，则得 即4x y10，18x 15y66，3x y9，x0，y0. ) 4x y10，6x 5y22，3x y9，x0，y0. )目标函数 z200x100y .作出可
3、行域(如图阴影部分所示)，当直线z200x 100y 经过可行域上点 B 时，z 取得最大值，解方程组 得点 B 的坐标(2，2)，故4x y 10，6x 5y 22，)20021002 600.ma题型二 斜率型线性规划问题例 1若实数 x，y 满足约束条件 则 的最小值为_240,1,xy1yx【答案】32【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为 表示平面区域内的点与定点 P(0,1)连线的斜率y 1x由图知，点 P 与点 A 连线的斜率最小，21，所以 min .xy1PAk 12 11 0 32例 2已知实数 x， y满足约束条件20xy，则5xzy的取值范围为（ ）
4、A43,B423,3C324U,D342U,【答案】 C【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示，由题意得 2A,， 4B,由5xzy得10zx，所以 可看作点 y,和 5P,连线的斜率，记为 k，由图形可得 PABk，又2053PA，40253P，所以243k，因此z或z，所以xzy的取值范围为U,故选 C例 3.已知实数 x，y 满足 ，则 z 的取值范围为_.yln x，x 2y 30y 10，) y 1x【答案】0，1.【解析】 作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z 表示区域内的点(x，y )与 A(0，1) 连线的y 1x斜率 k，由图可知， 0， ，P 为切点，设
5、 ， ，minkAkax )ln,0APk1x04 ，x 01， 1，ln x0 1x0 1x0 APk即 z 的取值范围为0 ，1.y 1x题型三 距离型线性规划问题例 1已知实数 x，y 满足约束条件 则 zx 2y 2 的取值范围为( )30,24,xyA1,13 B1,4C. D. 13,54 ,5【答案】 C【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得 zx 2y 2 的最小值为点 O 到直线BC：2xy20 的距离的平方， ，最大值为点 O 与点 A(2,3)的距离的平方， |OA| 213.minz45 maxz例 2若实数 x，y 满足：|x|y 1，则 x2y
6、22x 的最小值为( )A. B12 125C. D. 122【答案】B【解析】 作出不等式|x |y1 表示的可行域如图中阴影部分所示x2y 22x(x1) 2y 21，(x1) 2y 2 表示可行域内的点(x，y )到点(1,0) 距离的平方，由图可知，(x1)2y 2 的最小值为点( 1,0)到直线 yx 的距离的平方，即为 ，212所以 x2y 22x 的最小值为 1 .12 12题型四 线性规划中的含参问题例 1当实数 x，y 满足 时，1 axy4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_40,1y【答案】 23，【解析】作出不等式组240,1xy表示的平面区域如图中阴影部分所示，由 1
7、axy4 恒成立，结合图可知， a0 且在 A(1,0)处取得最小值，在 B(2,1)处取得最大值，所以 a1，且 2a14，故 a 的取值范围为 .231，例 2.(2018郑州质检)已知 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z3xy 的最大值为 10，则 z024myx的最小值为_【答案】 56【解析】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线 l：3xy0，平移 l，从而可知经过 C点时 z 取到最大值，由Error! 解得Error!231m 0，m5.由图知，平移 l 经过 B 点时，z 最小，当 x2，y22 51 时，z 最小， 3215.minz例 3若不等式组 解为坐
8、标的点所表示的平面区域为三角形，且其面积为 ，则实数 的20 yxa 43a值为（ ）A. B. 1 C. 或 1 D. 3 或331【答案】B【解析】做出不等式组对应的平面区域如图所示，若不等式组表示的平面区域为三角形，由 可得： ，即 .20xy2 0xy,A满足题意时，点 位于直线 下方，,A0m即： ，解得： ，据此可排除 ACD 选项.20m1本题选择 B 选项. 题型五 利用基本不等式求最值7例 1若实数 x 满足 x4，则函数 f(x)x 的最小值为_9x 4【答案】2【解析】x4，x 40，f(x)x x 4 42 42，9x 4 9x 4 x 4 9x 4当且仅当 x4 ，即
9、 x 1 时取等号9x 4故 f(x)x 的最小值为 2.9x 4例 2正数 a，b 满足 1，若不等式 abx 24x 18m 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范1a 9b围是( )A3，) B(，3C(，6 D6 ，)【答案】D【解析】 因为 a0，b0， 1，1a 9b所以 ab(ab) 10 102 16，ba 9ab 9当且仅当 ，即 a4，b12 时，等号成立ba 9ab由题意，得 16x 24x 18 m ，即 x24x2m 对任意实数 x 恒成立，令 f(x)x 24x2，则 f(x)x 24x2(x 2) 26，所以 f(x)的最小值为6，所以6m，即 m6.【巩固
10、训练】题型一 截距型线性规划问题1.若实数 满足约束条件 ,则 的最小值为 .yx,301524yxyxz68【答案】-28【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示,由图知,当目标函数 z=x+6y 经过点 A(-10,-3)时取得最小值,即 z =-10+6(-3)=-28.min2. 设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为( )01425yxyxZ53A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，9联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ，15yx3,2据此可知
11、目标函数的最大值为： .153max yZ本题选择 C 选项.3.某企业拟生产甲、乙两种产品,已知每件甲产品的利润为 3 万元,每件乙产品的利润为 2 万元,且甲、乙两种产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台设备 A,每台设备 B 上加工 1 件甲产品所需工时分别为 1 h 和 2 h,加工 1 件乙产品所需工时分别为 2 h 和 1 h,A 设备每天使用时间不超过 4 h,B 设备每天使用时间不超过 5 h,则通过合理安排生产计划,该企业在一天内的最大利润是 ( )A.18 万元 B.12 万元C.10 万元 D.8 万元【答案】D【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 件,y 件
12、,企业获得的利润为 z 万元,则 x,y 满足约束条件 且 z=3x+2y.+24,2+5,y ,作出不等式组 表示的可行域,+24,2+5,0,0如图所示.由 xN, yN 可知最优解为(2,1), 即生产甲产品 2 件,乙产品 1 件,可使企业获得最大利润,最大利润为 8 万元.题型二 斜率型线性规划问题101.若实数 x，y 满足约束条件 则当 取最大值时，xy 的值为( )30,xy13A1 B1C D.3 3【答案】D【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是过定点 M(3，1)与可行域内的点(x，y) 的直13yx线的斜率，由图可知，当直线过点 A(0， )时，斜率取得最
13、大值，此时 x，y 的值分别为 0， ，所以 xy .32.设变量 x， y满足约束条件201xy，则1ysx的取值范围是（ ）A31,2B,12C 1,2D1,2【答案】D【解析】所求1ysx可视为点 ,xy与定点 1,连线的斜率从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在 1,0处的斜率最小，即min012k，在 ,处的斜率最大，为 ax0，11结合图像可得1ysx的范围为1,2故选 D3若 x，y 满足约束条件Error!则 z 的最小值为( )y 2x 3A2 B C D.23 125 2 47【答案】C【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数 z 表示区域
14、内的点与点 P(3,2) 连线的斜率y 2x 3由图知当区域内的点与点 P 的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为 y2k (x3)，即 ，023ky则有 2 ，|3k 2|k2 1解得 k 或 k0(舍去)，所以 ，故选 C.125 minz125题型三 距离型线性规划问题1.若变量 x，y 满足约束条件 则(x2) 2y 2 的最小值为( )x y 10，y1，x 1， )A. B. C. D.5322 5 92【答案】D【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.12设 z(x2) 2 y2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2，0) 的距离的平方，由图知 C，D 间的
15、距离最小，此时 z 最小.由 得 即 C(0，1)，y 1，x y 1 0) x 0，y 1，)此时 zmin( x 2)2y 241 5，故选 D.2已知圆 C：(xa) 2(y b) 21，平面区域 ：Error!若圆心 ，且圆 C 与 轴相切，则 a2b 2x的最大值为 ( )A5 B29 C37 D49【答案】C【解析】平面区域 为如图所示的阴影部分，因为圆心 C(a，b) ，且圆 C 与 x 轴相切，所以点 C 在如图所示的线段 MN 上，线段 MN 的方程为 y1(2x6)，由图形得，当点 C 在点 N(6,1)处时，a 2b 2 取得最大值 621 237，故选 C.3.若 x,
16、y 满足约束条件 则(x+2) 2+(y+3)2 的最小值为 ( )-+20,+20,+20,A. 1 B. C. 5 D. 99【答案】B【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,由题意可知点 P(-2,-3)到直线 x+y+2=0 的距离为= ,所以 (x+2)2+(y+3)2 的最小值为 = .|-2-3+2|2 32 (32)29213题型四 线性规划中的含参问题1当实数 x，y 满足 时，ax y4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_om2401 y【答案】 3,2【解析】由约束条件作可行域如图，联立 ，解得 ，1 240xy31,2C联立 ，解得 ， 在 中取 得 10 24
17、xy,B0y,A由 得 ，要使 恒成立，则平面区域在直线 的下方，若 ，aax4xy4yax0a则不等式等价于 ，此时满足条件，若 ，即 ，平面区域满足条件，若 ，即y0a时，014要使平面区域在直线 的下方，则只要 在直线上或直线下方即可，即 ，得4yaxB214a，综上 ，所以实数 的取值范围是 .302a 3,22已知实数 ， 满足条件 若存在实数 使得函数 取到最大值 的xy1,4 20,xya(0)zaxyza解有无数个，则 _， =_aza【答案】 1【解析】由约束条件画出可行域如下图， ，目标函数可化为84A1.5,2,2,13BC，取最大值即截距最大，且有无数个解，所以目标函数
18、与边界,0,yaxzk,2BCk重合，当 ，截距为最小值，不符，当 时，符合。 ，填(1). (2). 11kamax1,z11。3已知直线 yk (x1)与不等式组Error!表示的平面区域有公共点，则 k 的取值范围为( )A0，) B. 230，C. D.230， ，【答案】C 【解析】 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含 x 轴) 部分所示，直线 yk (x1)过定点 M(1，0)，15由Error! 解得Error!过点 M(1，0) 与 A(1,3)的直线的斜率是 ，根据题意可知 00，n0)过点(1 ，2)，则 的最小值为( )1m 2nA2 B6C12 D32 2【答案】
19、D【解析】 因为直线 2mxny20(m0，n0)过点(1 ，2) ，所以 2m2n20，即 mn1，所以 (mn)3 32 ，1m 2n nm 2mn 2当且仅当“ ，即 n m”时取等号，nm 2mn 2所以 的最小值为 32 ，故选 D.1m 2n 22已知正实数 a，b 满足 ab4，则 的最小值为_1a 1 1b 3【答案】12【解析】ab4，a1b38， (a1) (b3) 1a 1 1b 3 18 31ba18 (22) ，当且仅当 a1b3 ，即 a3，b1 时取等号， 的最小218 12 1a 1 1b 3值为 .123设正项等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S2 0174 034 ，则 的最小值为_1a9 9a2 009【答案】416【解析】由等差数列的前 n 项和公式，得 S2 017 4 034，则 a1a 2 0174.由等差数列的)(0172017a性质得 a9a 2 0094，所以 9 1a9 9a2 009 14 209a14 209a20914 2 104，当且仅当 a2 0093a 9 时等号成立，故所求最小值为 4.10299014 a2 009a9 9a9a2 009
