1、理科数学试题 第 1 页（共 5 页） 2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1A 2D 3C 4A 5C 6D 7B 8B 9C 10A 11C 12D二、填空题13 144 15 16118.83 (3,15)三、解答题17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15 ，故a=0.35 b=1 0.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.0
2、018解：（1）由题设及正弦定理得 sinsin2ACBA因为sin A 0，所以 sini2ACB由 ，可得 ，故 18Bicos2s2incosB因为 ，故 ，因此B=60 cos021sin2（2）由题设及（1）知ABC的面积 34ABCSa由正弦定理得 sin120i 1tan2cAaC由于ABC为锐角三角形， 故00，则当 时， ；当 时，(,),3()0fx,3a理科数学试题 第 3 页（共 5 页） 故 在 单调递增，在 单调递减；()0fx()fx,0),3a0,3a若 a=0， 在 单调递增；f,若 a0，则当 时， ；当 时，,(0,)3ax()0fx,03a故 在 单调递
3、增，在 单调递减.()0f()f,(,),（2）满足题设条件的 a，b 存在.（i）当 a0 时，由（1）知， 在0，1单调递增，所以 在区间0，l()fx()fx的最小值为 ，最大值为 .此时 a，b 满足题设条件当且仅当()=f 12， ，即 a=0， b2bb（ii）当 a3 时，由（1）知， 在0，1单调递减，所以 在区间0，1()fx()fx的最大值为 ，最小值为 此时 a，b 满足题设条件当且仅(0)f 12a当 ，b=1，即 a=4，b=12（iii ）当 0a3 时，由（1）知， 在0，1的最小值为 ，最()fx327afb大值为 b 或 2若 ，b=1，则 ，与 0a3 矛盾
4、.31732a若 ， ，则 或 或 a=0，与 0a3 矛盾32a213综上，当且仅当 a=0， 或 a=4，b=1 时， 在0，1的最小值为1，最b()fx大值为 121解：（1）设 ，则 .由于 ，1,2DtAxy21yx所以切线DA 的斜率为 ，故 .整理得 1x11xt12 +=0.txy设 ，同理可得 .2,Bxy2 +=0ty理科数学试题 第 4 页（共 5 页） 故直线AB的方程为 .所以直线AB 过定点 .210txy1(0,)2（2）由（1）得直线AB的方程为 .由 ，可得 .2tx2ytx210xt于是 ，212121212,xtxytxt.| 41ABt设 分别为点D，E
5、到直线AB的距离，则 .12,d 212,dtdt因此，四边形ADBE的面积 .21| 312SABt设M为线段 AB的中点，则 .,Mt由于 ，而 ， 与向量 平行，EAB2,t(1, )t所以 .解得t=0 或 ； 当 =0时，S=3；当 时，20t11t.4S因此，四边形ADBE的面积为3或 .4222.解：（1）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为A,BCD， ， .2cos2sincos所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为1M042M， 的极坐标方程为 .32sin43M3cos4（2）设 ，由题设及（1）知若 ，则 ，解得 ；(,)P0426若 ，则 ，解得 或 ；342sin33若 ，则 ，解得 .co56理科数学试题 第 5 页（共 5 页） 综上，P的极坐标为 或 或 或 .3,6,32,53,623解：（1）由于 2(1)(1)xyz222()()(1)(1)xyzyzx，3()故由已知得 ，22241(1)3xyz当且仅当x= ，y= ， 时等号成立53所以 的最小值为 .222(1)()(1)z43（2）由于 2()()xyza21()1()()2xyzax，223()()()xyz故由已知 ，2222()13a当且仅当 ， ， 时等号成立43axyz因此 的最小值为 222()(1)()z2()3a由题设知 ，解得 或 3aa1
