1、ACM数论问题,工大ACM团队,数论基本知识,信息学竞赛和程序设计竞赛中常考的数论知识关于素数和整除，关键在于灵活应用整除:如果a和b是整数，a0，若有整数c使bac，就说a整除b。在a整除b时，记a是b的一个因子，b是a的倍数。用符号ab表示a整除b，a不能整除b记为a b。整除基本性质有：（1）若ab， ac，则a（bc）（2）若ab，则对所有整数c， abc（3）若ab， bc，则ac （传递性）,工大ACM团队,数论基本知识,素数（prime）和合数（compound），如果一个整数p只有1和p两个因子，则p为素数，不为素数的其它数为合数。如果n为合数，则n必有一个小于或等于n的平方根
2、的数因子。给出一个数n，如何判断它是不是素数？朴素的判别法 从2开始试除小于n的所有自然数，时间复杂度为O(n).如果a是n的因子，那么n/a也是n的因子，所以如果n有一个大于1的真因子，则它必有一个不大于n1/2的因子，时间复杂度O(n1/2)。算术基本定理：每个正整数都可以唯一地表示成素数的乘积。其中素数因子从小到大依次出现。最大公约数gcd(a, b)最小公倍数lcm(a, b)abgcd(a, b)lcm(a, b)如果gcd(a, b)=1，则a与b互素。,工大ACM团队,素数算法,最一般的求解n以内素数的算法。复杂度是o(n*sqrt(n)，适合n很小num = 0; for(i=
3、2; isqrt(i) ) primenum+ = i; ,工大ACM团队,素数,当n很大的时候，比如n=10,000,000时，n*sqrt(n)30,000,000,000,数量级相当大思考如何改进？,工大ACM团队,素数筛法,最简单的素数筛法开一个大的bool型数组prime，大小就是n+1就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,下标为偶数的标为false.把奇数的倍数设为false. 见代码-prime_choice.c改进的素数筛法bool型数组里面只存奇数不存偶数。如定义primeN,则0表示3，1表示5，2表示7，3表示9.。如果prime0为true,则表示3时素数。pr
4、ime3为false意味着9是合数，每个单元代表的数是2*i+3。欲求n以内的素数，就先把sqrt(n)内的素数求出来，用已经求得的素数来筛出后面的合数。,工大ACM团队,数论基本知识,如何求出1n中的所有素数？ Eraosthenes（爱拉托斯尼筛法）筛法：每次求出一个新的素数，就把n以内的它的所有倍数都筛去。,经典的Eraosthenes筛法：for (int i = 2; i * i N; i+)if (tagi) continue;for (int j = i; i * j N; j+) tagi*j = 1;for (int i = 2; i N; i+)if (!tagi) pri
5、metol+ = i;,一种线性筛素数的方法（复杂度是O(n)）：void get_prime() int cnt = 0;for (int i = 2; i N; i+) if (!tagi) pcnt+ = i;for (int j = 0; j b。 1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0； 2，ab0 时 设 ax1+by1=gcd(a,b); bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); 根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); 则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2; 即:ax1+by1=bx2
6、+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; 根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; 这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.,工大ACM团队,扩展的欧几里德算法,int exGcd(int a, int b, int ,工大ACM团队,扩展的欧几里德算法的应用,POJ 1061-青蛙的约会 两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位
7、置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。,工大ACM团队,POJ 1061,输入
8、只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中xy 2000000000，0 m、n 2000000000，0 L 2100000000。输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行Impossible,工大ACM团队,POJ 1061,Input 输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中xy 2000000000，0 m、n 2000000000，0 L 2100000000。Output 输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行ImpossibleSample Input 1 2 3 4 5 Sample Output 4,工大ACM团队,解题思路,此题其实就是扩
9、展欧几里德算法求解不定方程，线性同余方程。设过s步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2.)稍微变一下形得：(n-m)*s+k*l=x-y 令n-m=a,k=b,x-y=c,即a*s+b*l=c只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值，看是否存在s,l的整数解，若存在则输入最小的s，但显然这种方法是不可取的，谁也不知道最小的s是多大，如果最小的s很大的话，超时是明显的。,工大ACM团队,解题思路,求a * x + b * y = n的整数解。1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a
10、,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a * x + b * y = n，此时Gcd(a,b)=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a * x + b * y = 1的一组整数解x0,y0，则n * x0,n * y0是方程a * x + b * y = n的一组整数解；3、根据数论中的相关定理，可得方程a * x + b * y = n的所有整数解为： x = n * x0 + b * t y = n * y0 - a * t (t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。,工大ACM团队,解题思路,此时方程
11、的所有解为：x=c*k1-b*t。x的最小的可能值是0令x=0，可求出当x最小时的t的取值，但由于x=0是可能的最小取值，实际上可能x根本取不到0，那么由计算机的取整除法可知：由 t=c*k1/b算出的t，代回x=c*k1-b*t中。求出的x可能会小于0，此时令t=t+1，求出的x必大于0；如果代回后x仍是大于等于0的，那么不需要再做修正。,工大ACM团队,核心代码分析,while(scanf(%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d, ,工大ACM团队,练习题,pku:1006, 1014, 1023, 1061, 1152, 1183, 1730, 2262, 2356, 1811,加 油!,湖南工业大学,
