1、 1初中数学七年级上册 第一章 有理数 1.1 正数与负数 在以前学过的 0 以外的数前面加上负号“”的数叫负数. 与负数具有相反意义，即以前学过的 0 以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+” ）.【说明】1.有理数由“符号”和“数值”两部分组成.（符号问题是我们在今后的学习中经常忘记的问题.）2.正数前面的符号可以省略，负数前面的符号不能省略.3.正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数.4.0 既不是正数，也不是负数.5.正、负数通常表示相反意义的量，这些量包括：向东与向西；收入与支出；盈利与亏损；（温度）零上与零下；（水位）上升与下降；高于与低于（水平面） ；（出口）增长
2、与减少例如：向东走 2 米，记作：+2 米；那么向西走 3 米，记作3 米.6.用正负数表示加工允许误差 例如：图纸上注明一个零件的直径是mm，表示零件的直径标准是 30mm，但是，在生产的过程中，由于生产工艺2.03存在的误差，因此直径可以比 30mm 大 0.2mm，也可以比 30mm 小 0.3mm.即零件的直径在 29.7mm30.2mm 之间都合格.但在这个范围以外的就不合格了.1.2 有理数1.2.1 有理数有理数的概念：整数和分数统称有理数.分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：（掌握分类方负 分 数正 分 数分 数 负 整 数正 整 数整 数有 理 数 0负 分 数负
3、 整 数负 有 理 数 正 分 数正 整 数正 有 理 数有 理 数 02法应注意两点：不重复：即同一事物不能归纳到两个类别中；不疏漏：即某一事物不能在所有类别中找不到.）【说明】1.整数分为正整数、0、负整数.2.分数分为正分数、负分数.3.无限循环小数是有理数，它可以化成分数.如 0.333= 31阅读材料：教材 95 页无限循环小数化分数.4.无限不循环小数是无理数，如：.5.没有最大的有理数，也没有最小的有理数. 6.最大的负整数是-1，最小的正整数是 1。7.几个常见的概念：非负数：指正数和零； 非正数：负数和零； 1.2.2 数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；【说明】
4、1.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。2.数轴的画法：先画一条水平的直线；在直线的右边画箭头，表示正方向； 在直线上任取一点，作为原点，表示数 0；以适当的长度作为单位长度，在原点的左右两边分别标出刻度.3.数轴的性质： 数轴上的点与有理数一一对应关系；正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；数轴上的点表示的数从左往右依次增大，从右往左依次减小。数轴上到原点的距离相等的点有 2 个，一个在原点左边，一个在原点右边，他们互为相反数.34.利用数轴比较数的大小：数轴上的点表示的数，右边的总比左边大.5.数轴上点的移动用数形结合的思维方法，通过画图分析，解决问题.6.数轴是非常重要的数学工
5、具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法，同时也为下学期学习平面直角坐标系打下了坚实的基础.1.2.3 相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。或者说：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数；【说明】1.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0 的相反数是 0.2.相反数的代数意义：互为相反数的两个数相加，和为 0.3.相反数的几何意义：互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等.4.相反数的读法：-(-2)读作负 2 的相反数.从数轴上看-2 的相反数是 2，因此-(-2)=2.5.一般地，数
6、 a 的相反数是-a.6.有关相反数的化简，遵循符号法则：同号得正，异号得负.1.2.4 绝对值在数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值.【说明】1.几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.2.代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0 的绝对值是 0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母 a 表示如下：)0(即： 如果 a0，那么 =a；如果 a0，那么 =-a；如果 a=0，那么 =0.a43.绝对值等于 a（a0）的数有两个，一个在原点左边，一个在原点右边，它们互为相反数.例如：|a|=2，则 （ ）.2a或 4.|a|是重要的非负数，即|a|0；5.理
7、解： ； ；0a10a16.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.7.理解几个特殊的绝对值所表示的意义：若 ，则 ab0；（表示 a、b 同号或至少其中一个为|ba|0）.若 ，则 ab0；（表示 a、b 异号或至少其中一个为|0）.若 ，则 ab=0；（表示 a、b 至少其中一个为 0）.|ba|1.3 有理数的加减法1.3.1 有理数的加法加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。【说明】1.进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，
8、有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值.加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.用字母表示： .ab加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 用字母表示： ( a+b ) +c = a + (b +c).用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.51.3.2 有理数的减法减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.【说明】1. “两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反
9、数2.有理数减法常见的错误：没有注意结果的符号；尤其是当结果为负时，往往会忘记“” ；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成它的相反数.几个正数或负数的和称为代数和加减混合运算可以统一为加法运算，写成代数和的形式.例如： . 可以读作：a 加 b 减 c，也可)(cbacb以读作：a，b，-c 的代数和.有理数加减混合运算：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算.1.4 有理数的乘除法1.4.1 有理数的乘法乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0相乘都得 0.倒数的定义：乘积是 1 的两个有理数互为倒数.若 ab
10、=1，则 a 和 b 互为倒数.几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.乘法运算律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.用字母表示为：ab=ba.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(ab)c=a(bc).乘法交换律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b+c) =ab+ac.【说明】1.常见错误仍是符号问题，做题时，先定符号，再定值.2.求一个数的倒数的方法：求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置. 求一个整数的倒数：可
11、以把整数看成是分母为 1 的分6数，再把分子、分母颠倒位置. 带分数要先画成假分数，再将分子、分母颠倒位置.1.4.2 有理数的除法除法法则：除以一个数不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0 除以任何一个不等于0 的数，都得 0.【说明】1.除法法则可以把除法转化为乘法.2.有理数除法的一般步骤：确定商的符号；把除数化为它的倒数；利用乘法计算结果有理数的加减乘除混合运算：先乘除，后加减.1.5 有理数的乘方1.5.1 乘方求几个相同因数 a 的运算叫做乘方，记做“ ”.其中 a 叫做底数，表示相同的因数，n 叫做指n数，表示相同因数的个数， 表示
12、的意义是 n 个 a 相n乘的积，不是 n 乘以 a，乘方的结果叫做幂.【说明】1.负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数.用字母表示：若 a0，则 a2n0；a 2n-10（n 是正整数）.2.正数的任何次方都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0.用字母表示：若 a0，则 an0；0 n=0（n 是正整数）.3.互为相反数的两个数，偶次幂相等，奇次幂仍互为相反数. 用字母表示为：a 2n=(-a)2n(n 是正整数)；a 2n-1=-(-a)2n-1(n 是正整数).有理数的混合运算的运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小
13、括号，中括号，大括号依次7进行.【说明】1.初学时，可以先画出运算顺序框图，理清运算顺序.2.进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序.比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.3.进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.1.5.2 科学记数法把一个大于 10 的数表示成 a10n次方的形式（其中 a 是整数数位只有一位的
14、数，n 是正整数） ，使用的就是科学记数法. 【说明】1.a 的取值范围是： 1a10.2.n 比整数位数小 1.3.采用移动小数点儿的方法来确定 a 和 n 的值比较好,具体方法是：将小数点儿向左移动，小数点的位置移到它的前面只有 1 位整数为止，小数点儿移动了几位，n 就等于几.将小数点儿后面的 0 去掉，剩下的部分就等于 a.1.5.3 近似数近似数：与实际数据接近的数.从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的8有效数字.【说明】1.测量工具（如千分尺、螺旋测微器等）测量出来的数值都是近似数.2.北京时间是确数.3.合格率、市场占有率等是近似数.4.考查近似
15、数与有效数字同时考是一个难点.例如：159620000 保留三位有效数字是:1.6010 8. 1.2104精确到千位.【补充知识】幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一行、一列以及对角线的几个数的和相等，具有这种性质的图表叫做幻方.我国古代称为“河图” 、“洛书” ，又叫“纵横图”.将 1-9 这九个数填入 的方格中，使每一行，每一列以及两条对角线上的3数的和都是 15.填写技巧（如图所示）： 将要填写的九个数字从小到大依次排列，将中间数 5 填在方格正中间.将中间数两边的两个数 4 和 6 填在其中一条对角线上，并求出这三个数的和.观察 的方格的四个角，如果填的四个角上
16、的数是偶数，则将剩下的两3个偶数填在另外两个角上，如果填的是奇数，则将剩下的奇数填在另外两个角上.9最后在根据每一行三个数的和，填上其余几个方格.数列：将数字按照某种规律排列在一起组成的数的队列叫做数列.数列中的每一个数叫做项，排在第几个数位上的数就叫做第几项.例如：数列1，4，7，10，13，16，19，22中，4 排在第 2 个数位上，是第 2 项；13 排在第5 个数位上，是第 5 项. 常见的数列有： 0，1，2，3，4，5，6，7，8 （自然数列） 1，3，5，7，9，11，13，15 （奇数列） 2，4，6，8，10，12，14，16 （偶数列） 1，2，3，5，8，13，21，3
17、4 （后一项是它前面两项的和） 1， ， 3， ，5， ，7， 41618 2，6，12，20，30，42，56 （相邻两个数的乘积）2，4，8，16，32，64，128 （后一项是前一项的 2 倍）等差数列像上面的自然数列、奇数列、偶数列等，后一个数与前一个数之差相等，按照这样的规律排列的数列叫做等差数列.后一个数与前一个数的差叫做公差，用字母 d 表示.排在第一个的数叫做首项，用 表示；排在第 n 个数的数叫做第 n1a项，用 表示.na10前 n 项的和： 2)1(1dnan 2)(11nna等比数列：后一个数与前一个数的比值相等，按照这样的规律排列的数列叫做等比数列.第二章 整式2.1
18、 整式单项式：由数字或字母的乘积表示的式子叫做单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.单项式的次数：单项式中所以字母的指数之和叫做单项式的次数.例如：单项式 x2y3次数是(x 的指数)2+(y 的指数)3 的和，次数为 5.多项式：几个单项式的和叫做多项式.其中的每一个单项式叫做项，不含字母的项叫做常数项.多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.【补充知识】1.代数式的书写：.代数式中出现的乘号，通常写作“.”或省略不写.数字与字母相乘时，数字写在字母前面.除法运算写成分数形式.带分数要化成假分数.2.把一个多项式的各项的位置按照其中某一字母的指数大小顺序
19、由高到低进行排列，就叫做这个多项式按这个字母的降幂排列.例如：5x 2+3x-2x3-1 按 x 的降幂排列，可以写成：-2x 3+5x2+3x-1.按照其中某一字母的指数大小顺序11由低到高进行排列，就叫做这个多项式按这个字母的升降幂排列.若 x2+3x-2x3-1按 x 的升降幂排列，则可以写成：-1+3x+5x 2-2x3.2.2 整式的加减同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.去括号：如果括号外的因数是正数，去括号时，括号里的每一项都不变符
20、号；如果括号外的因数是负数，去括号时，括号里的每一项都要变符号.添括号：如果括号外是“+” ，所添括号里的每一项都不变符号；如果括号外是“”，所添括号里的每一项都要改变符号.顺口溜：去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“-”号，全变号.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.【说明】1.去括号是错误比较多的，常见的有：括号前面是“-” ，括号内有两项或多项时，去括号时，第一项知道变号，但后面的一项往往就忘记变号了.而最后的一项常出现的是常数项.2.括号前面的数字不为 1，去括号时，要将括号外的数字先乘到括号里面去，然后再去括号.括号外的数字要同括号
21、里的每一个数字都相乘 .【补充知识】一、用分离系数法进行整式的加减运算整式的加减可以归结为合并同类项。而合并同类项实际上就是合并各同类项的12系数。因此，进行整式的加减，关键就是各同类项的系数。如果把两个整式的各同类项对齐，我们就可以像小学时列竖式进行加减法一样，来进行整式的加减运算了。怎样把各同类项对齐呢？其实，只要将参加运算的整式按同一字母进行降幂排列，凡缺项则留出空位或添零，然后让常数项对齐即可。例如，计算：（x 3-2x2-5）+（x-2x 2-1） （x 3+2x-5）-（x-x 2-1） 我们可以用下列竖式计算：x3 -2x2 -5 x3 +2x -5+） -2x 2 +x -1
22、-） -x 2 +x -1 x3 -4x2 +x -6 x 3 -x2 +x -1只需要将对应项的系数相加减再把字母和相应的指数补充上去，从而使演算过程简化，这种方法叫做分离系数法.第三章 一元一次方程 3.1 从算式到方程 3.1.1 一元一次方程含有未知数的等式叫做方程.方程都只含有一个未知数（元）x，未知数 x 的指数都是 1（次） ，这样的方程叫做一元一次方程.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.解方程是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程.3.1.2 等式的性质等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等. 等式的性质 2.等式两边
23、乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.3.2 解一元一次方程（一）合并同类项与移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.【说明】1.一般情况，将含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的13右边.2.从左边移到右边，或从右边移到左边，移动的那一项的符号要改变.3.合并同类项同整式合并同类项一样，将未知数 x 的系数相加，作为合并后的项的系数，x 照写不变.常数项的合并，按照有理数的基本运算进行合并.3.3 解一元一次方程（二）去括号与去分母去括号：（同整式中的去括号）去分母：分子分母同时乘以分母的最小公倍数，通过约分，将含有分母的方程转化成为不含分母的方程.【说明】1.
24、所选的乘数是所有的分母的最小公倍数.（用短除法找最小公分母）2.用最小公倍数去乘方程两边时，不要漏掉等号两边不含字母的“项”.3.去掉分母时，分数线也同时去掉，分子上的多项式要用括号括起来4.解方程的类型：简易方程；有括号的方程；有分母的括号；含参方程；含绝对值的方程；比例式方程.3.4 实际问题与一元一次方程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.列方程解应用题的一般步骤：14认真审题，弄清题意（注意单位是否统一）.根据问题设出未知数.(一般是问什么，设什么，也可以间接设未知数)找出题中的等量关系，列方程.解方程.检验：一是检验是否是方程的解；二
25、是检验是否符合实际问题.写答语.常见问题的等量关系：行程问题： 距离=速度时间 ；时 间距 离速 度 速 度距 离时 间 工程问题： 工作量 =工作效率工作时间 工 时工 作 量工 效 ；工 效工 作 量工 时 工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成总量顺水逆水问题： 顺流速度 =静水速度+水流速度，逆流速度 =静水速度-水流速度；水流速度=（顺水速度-逆水速度）2顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程=逆水路程商品利润问题：售价=定价 ， ；10几 折 %10成 本 成 本售 价利 润 率利润问题常用等量关系： 售价-进价=利润配套问题：两个量之间满足某种倍数关系分配问题：分配总量保持不
26、变第四章 图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及三角形、四边形等都是从实物中抽象出来的图形，统称几何图形.各部分不都在同一平面内的几何图形（如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体等）叫做立体图形. 各部分都在同一平面内的几何图形叫做平面图形.15多面体：围成立体图形的每一个面都是平面的立体图形（如长方体、正方体、棱柱、棱锥等） ，叫做多面体.视图：从正面、上面和侧面三个不同的方向看一个物体，然后描绘出所看到的图形，即视图.从正面看到的图形叫做主视图.从上面看到的图形叫做俯视图.从侧面看到的图形叫做左视图或右视图.常见的立体图形的三视图有：展开图
27、：沿着立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.正方体的平面展开图有以下几种：16几何体也简称体.包围着体的是面.面有平面和曲面两种.点动成线，线动成面，面动成体.常见的立体图形是有什么平面图形如何旋转得到的呢？截面：用一个平面去截立体图形，得到的平面图形叫做截面.正方体的截面：4.2 直线、射线、线段 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.两点确定一条直线.当两条不同的直线有一个公共点时，叫做这两条直线相交，这个公共点叫做这17两条直线的交点.点和线的位置关系有两种：点在直线上；点在直线外（如图所示）线段的中点：如图，点 M 把线段 AB 分成相等的
28、两条线段 AM、BM，点 M 就叫做线段 AB 的中点.线段的中点有这样的等量关系：AM=BM= AB.21线段公理：两点的所有连线中，线段做短（两点之间，线段最短） 。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 4.3 角4.3.1 角角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫做角.角度的换算：1 度=60 分 1 分=60 秒 1 周角=360 度 1 平角=180 度 钟表时针与分针所成的角的关系：（注意分针转动的同时，时针也跟着转动这是大家在思考问题时容易忽视的）4.3.2 角的运算与比较角的平分线：如图，射线 OB 把 分成相等的两个角
29、 和 ，OBAOCAOBC就叫做这个角的平分线.角平分线有这样的等量关系： = = .21184.3.3 余角和补角如果两个角的和等于 (直角)，那么这两个角互为 余角.90如果两个角的和等于 （平角） ，那么这两个角互为补角.18求一个角的余角，就用 减去这个角.在计算时，往往需要将 化为90再进行计算.例如：已知 = ，它的余角是 _.“60598 a“24183同样，求一个角的补角，就用 减去这个角.在计算时，往往需要将0化为 再进行计算 .例如：如果 ，那么它的补角是1“7 “1537_.方位角：以正北、正东方向为基准，表示方向的角叫做方位角.方位角的确定，需要画出十字坐标（如图）.理解从哪一个方向向哪一个方向偏转.等角的余角相等；等角的补角相等.将一副直角三角板的直角定点重合在一起，如图所示.（1）图中互余的角有哪些？（2）指出 与 的关系.12（3）如果 ，求 的度数，并说说 与 是什么关系？643AOD3AOD19对顶角：如图，两条直线相交，形成的 4 个小于平角的角中， 与 互12为对顶角， 与 互为对顶角.对顶角相等.344.4 课题学习 设计制作长方体形状的包装盒
