1、第一章 命题逻辑,1.1 命题符号化及联结词主要内容:,(1)命题的基本概念及符号化;(2)联结词 .,重点:,理解命题、联接词的概念；掌握命题的符号化.,第一篇 数理逻辑（前言）,逻辑学是一门研究思维形式及思维规律的学科,可分为: ：以辨证法认识论的世界观为基础的逻辑学,它 研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维形态 的逻辑学。 ：研究思维形式结构和规律的学科是一门工具性 学科。,用数学的方法研究形式逻辑中推理规则的理论称为数理逻辑，即以量的形式来研究思维规律。它引入一套符号体系来表示逻辑关系，故此也称符号逻辑。,辨证逻辑,形式逻辑,辩证逻辑 传统演绎逻辑逻辑学传统形式逻辑传统归纳逻辑简单逻
2、辑方法形式逻辑现代演绎逻辑（数理逻辑）现代归纳逻辑现代形式逻辑（概率逻辑等）非标准逻辑（模态逻辑等）,第一篇 数理逻辑（前言）,在数理逻辑中，它撇开研究对象的实质含义，把直观的内容抽象为形式化，而且仅仅研究其形式关系，这些形式关系是数理逻辑研究的关键。 数理逻辑在计算机科学中的作用: （1）在程序设计中的应用； （2）在逻辑电路设计中的应用； （3）在程序正确性证明中的应用。,第一篇 数理逻辑（前言）,1.1命题符号化及联结词,1.1.1 命题与真值 人们的思维活动是靠自然语言来表达的。 然而, 由于自然语言易产生二义性, 用它来表示严格的推理就不合适了。 为了解决这个问题, 在数理逻辑中引进
3、了一种形式化的语言。 自然语言的基本单位是句子。 句子分为陈述句、 祈使句、 疑问句和感叹句等, 其中能判断对错的只有陈述句 。,第一章 命题逻辑,因为只有陈述句才能够表达对事物有“肯定”或“否定”的思维方式，我们把这种“肯定”和“否定”称为真值（Truth）。 例如，陈述句“今天下雨”，这是一个判断。如果今天真的下雨，则这个判断的值为真(true)；如果今天没有下雨，则这个判断的值为假（false）。 我们把具有这种特点的句子叫命题，它是形式语言中的基本单位。 定义1-1 在数理逻辑中，把能惟一判断真假的陈述句称为命题(proposition)，以命题作为研究对象的逻辑称为命题逻辑(prop
4、osition logic)。,命题可能为真，也可能为假。命题的真(ture)、假(false)统称为命题的真值。 真值为真的命题称为真命题，记作“1”（也可记作“T”） 真值为假的命题称为假命题，记作“0”（也可记作“F”） 判断命题的两个步骤： 首先判断它是否为陈述句， 其次判断它是否有确定的、惟一的真值.,例1-1判断下列句子哪些是命题：,(1) 广州是广东省的省会。 (2) 雪是黑色的。 (3) 2100年人类将在月亮上生活。 (4) 11+1=100 (5) 如果天气炎热，小梅就去游泳。 (6) 我正在撒谎。 (7) 请把门关好。 (8) 这里可以坐吗？ (9) 这幅画真好看。,解：
5、这9个句子中，（7）（9）都不是陈述句，因而都不是命题。（1）是真命题，（2）是假命题。（3）的真值虽然现在还不能判断，到2100年就能判断了，因而是命题。（4）在十进制中为假，在二进制中为真，当确定了进位制时其真值就确定了，因而是命题。（5）是命题，真值视具体情况惟一确定（不是真就是假）。（6）是陈述句，但无法给出真假值。这种自相矛盾的判断称为悖论，以后再讲。,从以上分析解答可以看出： 命题一定是陈述句，但并非所有陈述句都是命题。如例1-1（6）命题必须有惟一确定的真值，但其真值可能受到环境、判断的标准及认识程度的限制，一时无法确定，只要能分辨真假值的判断均为命题。,1.1.2 命题的分类,
6、命题可分为原子命题和复合命题。定义1-2 凡不能再分解的命题称为原子命题(简单命题) 由原子命题和联结词联结而成的命题称为复合命题.,例1-1中，（1）（4）是原子命题。例1-1中，（5）是复合命题。,在数理逻辑中，通常用小写英文字母或带下标的英文字母p，q，r，pi，qj，来表示简单命题。用来表示命题的符号称为命题标识符。 将表示命题的符号放在命题的前面，称为命题的符号化. 例如: P：广州是广东省的省会。 Q:今天天下雨。,1.1.3 命题的表示方法,定义1-3 如果一个命题标识符代表任意未知命题，则称该命题标识符为命题变元（命题变项）.如果一个命题标识符代表一个确定的命题，则称之为命题常
7、元。 命题变元类似代数中的变量，命题常元类似 常量，但两者有着本质的区别。命题变元或常元 代表的是命题元素，而变量和常量代表的是一个 数值。,例如，x+y 5 这是一个代数表达式，其中x和y是变量，不是命题变元，但该表达式也可以作为一个命题变元。假设代表该表达式的命题变元为z，当变量x和y的值确定后，表达式成为一个命题常元，命题变元z被该命题常元所取代成为命题，且命题的真值随变量x和y不同取值而变化。 当用确定的命题代入命题变元时称为对命题变元的代入。,1.2 命题联结词,在命题逻辑中,主要研究的是复合命题,而复合命题是由原子命题与逻辑联结词组合而成，联结词是复合命题的重要组成部分.,1.2.
8、1 否定联结词(Negation) 1.2.2 合取联结词(Conjunction)1.2.3 析取联结词(Disjunction)1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional) ,定义1.2.1 设P为一命题， P的否定是一个新的复合 命题, 称为P的否定式，记作 “P”读作“非P”. 符号“ ” 称为否定联结词。 P为真当且仅当P为假.,1.2.1 否定联结词 ,例，P: 天津是一个城市.于是 P: 天津不是一个城市.,说明： 1、“”属于一元(unary)运算符. 2、联结词“”的定义真值表如下：,定义1.2.2
9、设P,Q为二命题，复合命题“P并且Q”（或“P与Q”）称为P与Q的合取式，记作PQ，符号“” 称为合取联结词. PQ为真当且仅当P和Q同时为真.,1.2.2 合取联结词,说明：1、“” 属于二元(binary)运算符.,2、联结词“”的定义真值表如下：,日常语言中与合取相似的联结词有：“和”、“与”、“并且”、“既又” 、“不但而且”、“尽管仍然”。,例3. 将下列命题符号化. (1) 李平既聪明又用功. (2) 李平虽然聪明, 但不用功.解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.则 (1) PQ (2) PQ,注意：不要见到“与”或“和”就使用联结词 ！例如: (1)李敏和李华是姐妹。 (2)
10、李敏和张华是朋友。,定义1.2.3 设P,Q为二命题，复合命题“P或Q” 称为P与Q的析取式，记作PQ ，符号称为析取联结词. PQ为真当且仅当 P与Q中至少有一个为真.,1.2.3 析取联结词,2、联结词“”的定义真值表如下：,说明：1、“” 属于二元(binary)运算符.,日常语言中的“（或者）或者”、“可能可能”等词均可符号化为“ ”。,说明:析取又称为逻辑“或”。它可分为可兼或和不可兼或。联结词 “”代表的是可兼或，还有不可兼或。例如：命题“小李在看书或听音乐”， 这里的“或”显然是“可兼或”； 而命题“小李正在教室看书或正在图书馆上网” 的“或”是“不可兼或”，因为同一个人不可能同
11、时出现在两个不同的地方。不可兼或指的是二者不能同时存在。,例1-3将下列命题符号化： （1）小李在看书或听音乐。 （2）小李正在教室看书或正在图书馆上网。 解（1）设p ：小李在看书， Q ：小李在听音乐； 则该命题符号化为：P Q 。 （2）设R ：小李正在教室看书， S ：小李正在图书馆上网；此命题必须使用多个联结词，命题符号化为：,（可兼或）,（不可兼或）,1.2.4 条件联结词（蕴涵联结词） ,定义1.2.4 设P,Q为二命题，复合命题“如果P，则Q(若P，则Q)” 称为P与Q的条件命题,记作P Q。称符号“”为条件联结词，并称P为前件，Q为后件. PQ为假当且仅当P为真且Q为假.,联
12、结词“”的定义真值表如下：,在真值表中，除了前件为真，后件为假时为假，其余都为真。对前件为真我们不难理解，因为前件为真,是前提,是达到结论的先决条件。如果前件为真，后件也为真，正符合我们的要求；若前件为真，后件为假，则不符合我们的要求，所以为假。至于前件为假不是我们考虑的对象，所以不管后件是真还是假，都有为真。这种情况逻辑学上称为“善意推定”。,正是因为这个“善意推定”，阿基米德才会说：“给我一个支点，我能把地球撬起来。”，这句话永远是对的，因为没有谁能给他这样一个支点，前件总为假，不管他能否把地球撬起来，他都是对的。与此类似的有：“如果太阳从西边出，那末。”，“若公鸡也能下蛋， . 。”,说
13、明：1、“” 属于二元(binary)运算符； 2、PQ表示的基本逻辑关系是,Q是P的必要条件或P是Q的充分条件. 因此复合命题“只要P就Q”、“因为P，所以Q”、“P仅当Q”、“只有Q才P”等都 可以符号化为 PQ 的形式。,例1-4 将下列命题符号化 (1)如果明天是晴天，那么明天举行学校运动会。 (2)如果明天举行学校运动会，明天必定是晴天。 (3)如果明天不是晴天，明天不举行学校运动会。 (4)如果明天不举行学校运动会，则明天不是晴天。 解 设P ：明天是晴天。 Q ：明天举行学校运动会。 （1） 原命题 （2） 逆命题 （3） 否命题 （4） 逆否命题,从上述例子可以看出，原命题与逆
14、否命题意思相同,即等价： 逆命题与反命题意思相同。 这一点非常重要，在推理过程中，有时按原命题进行推导比较困难，而用逆否命题却可收到事半功倍的效果。,定义1.2.5 设P,Q为二命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作P iff Q或PQ，符号称为双条件（等价）联结词。PQ为真当且仅当P，Q真值相同。,1.2.5 双条件联结词（等价联结词） ,联结词“”的定义真值表如下：,说明：(1)“”属于二元(binary)运算符; (2) 双条件命题PQ所表达的逻辑关系是, P与 Q互为充分必要条件,相当于(PQ)(QP). 只要P与 Q的真值同为1或同为0, PQ的真值就为1, 否
15、则PQ 的真值为0. 双条件联结词连接的两个命题之间可以没 有因果关系; (3) P仅当Q 可译为PQ; P当Q 可译为QP; P当且仅当Q 译为PQ.,例6.分析下列命题的真值. (1) 2+2=4 当且仅当3是奇数 . (PQ) P： 2+2=4. Q：3是奇数 . (2) 2+2=4 当且仅当3不是奇数 . (PQ)(3) 2+24 当且仅当3是奇数 . (PQ)(4) 2+24 当且仅当3不是奇数 . (PQ),为了使命题的符号化变得清晰而简洁，需要给命题联结词规定优先级次序，5种联结词也称为逻辑运算符，其优先级次序规定为：“ ”、“”、“”、“ ”、“ ”。其中 “ ”的优先级最高，“”的优先级最低。 如果有括号，括号最优先。在同一括号层并列两个以上相同的联结词，则按从左到右的顺序运算。 例如： pqr的含义与(p (q) r 相同， 而与p(q) r)或p ( (qr)的含义不同。,1.1.3 逻辑联结词的优先级,复合命题符号化步骤：第一步：分析出各简单命题，并将它们符号化第二步：使用合适的联接词，把简单命题逐个联结起来,练习：设P表示命题“天下雪.” Q表示命题“我将去镇上.” R表示命题“我有时间.” 以符号形式写出下列命题。 a)如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。 b)我将去镇上，仅当我有时间时。 c)天不下雪。 d)天下雪，那么我不去镇上。,
