1、圆锥曲线综合题目分类类型一：三角形面积例 1：已知椭圆 （ ）的一个焦点坐标为 ，且长轴长是短2:1xyCab0ba(1,0)轴长的 倍.（）求椭圆 的方程；（）设 为坐标原点，椭圆 与直线 相交于两个不同的点 ，OC1ykx,AB线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，求 的面积.ABP1OAB练习 1：已知 为平面直角坐标系的原点，过点 的直线 与圆 交于 ，O(20)M， l21xyP两点Q（I）若 ，求直线 的方程；12Pl（）若 与 的面积相等，求直线 的斜率MQl圆锥曲线综合题目分类类型二：与圆的知识结合例 2：已知椭圆 的长轴为 4，且点 在该椭圆上。21(0)xyab3(1,)2
2、（I）求椭圆的方程；（II）过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆径的圆经过原点，求直线 l 的方程。练习 2：已知椭圆 C 中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，短轴长为 x23（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 ： 与椭圆交于不同的两点 （ 不是l0ykxmMN、 、椭圆的左、右顶点） ，且以 为直径的圆经过椭圆的右顶点 MNA求证：直线 过定点，并求出定点的坐标l圆锥曲线综合题目分类类型三：中点问题例 3：若椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，短轴的一个端点与左右焦点 、Cx 1F组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为 .2F 3()求椭圆 的方程
3、；() 过点 作直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ,求直线 的斜2lABAM1F率 的取值范围.k练习 3：在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的距离比点 到 轴的距xOyP1(0,)4FPx离大 ，设动点 的轨迹为曲线 ，直线 交曲线 于 两点， 是线段14PC:lkxC,ABM的中点，过点 作 轴的垂线交曲线 于点 ABMxN（）求曲线 的方程；C（）证明：曲线 在点 处的切线与 平行；NAB（）若曲线 上存在关于直线 对称的两点，求 的取值范围lk圆锥曲线综合题目分类类型四：与向量知识结合例 4：已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为（ ，0） ，右顶点为（2，0）.3（1）
4、求椭圆 C 的方程；（2） 若直线 与椭圆 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 (其2:kxyl 2O中 O 为原点)，求 k 的取值范围.练习 4：在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1： 的左、右焦点分别为2(0)xyabF1、F 2.其中 F2也是抛物线 C2： 的焦点，点 M 为 C1与 C2在第一象限的交点，且4y.5|3M（1）求 C1 的方程；（2）平面上的点 N 满足 ，直线 lMN，且与 C1 交于 A、B 两点，若12F =0，求直线 l 的方程.OAB圆锥曲线综合题目分类类型五：最值问题例 5：已知椭圆 C 的中心在坐标原点，离心率 32e，一个焦点的坐标为 3,0 （
5、I）求椭圆 C 方程；（II）设直线 1:2lyxm与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x轴于点T当 变化时，求 TAB面积的最大值练习 5：（东城一模）已知椭圆 的离心率为 ，且两个焦点和短21(0)yxab2轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点斜率为 的直线 过椭圆的上焦点且与椭kl圆相交于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 PQPy(,)Mm（）求椭圆的方程；（）求 的取值范围；（）试用 表示 的面积，并求面积的最大值M圆锥曲线综合题目分类例 1：解：（）由题意 ， 又 ，所以 ， . 31,2cab21a2b2a分所以椭圆的方程为 . 4 分2xy（）设
6、 ， ， ，(0,1)A1(,)B0(,)P联立 消去 得 （*） ， 6 分2xyky240kx解得 或 ，所以 ，0241k12所以 ， ， 8 分22(,)B22(,)kP由直线 斜率为 ，则 ，解得 （满足（*）式判别式大于零）10OP11k分到直线 的距离为 ，所以 ， :2lyx25221()ABxy53练习 1：解：（）依题意，直线 的斜率存在，l因为 直线 过点 ，可设直线 ： l(,0)Ml()yk因为 两点在圆 上，所以 ，PQ、 21xy1OPQ因为 ，所以 O cos2所以 所以 到直线 的距离等于 120l所以 ， 得 2|k5k圆锥曲线综合题目分类所以 直线 的方程
7、为 或 6 分l1520xy1520xy（）因为 与 的面积相等，所以 ， OMPQMQP设 ， ，所以 ， 1(,)xy2(,)2(,)xy1(,)xy所以 即 （*） ； 2121y因为 ， 两点在圆上，所以 PQ21x把（*）代入，得 ，所以 21214()xy 1785xy， 所以 直线 的斜率 ， 即 .13 分l 59MPk59k所以 的面积为 . 13 分OAB123例 2：解：（）由题意： ， 所求椭圆方程为 4a214xyb又点 在椭圆上，可得 所求椭圆方程为 5 分3(1,)1b2（）由（）知 ，所以 ，椭圆右焦点为 24,a3c(3,0)因为以 为直径的圆过原点，所以 A
8、BOAB若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 x直线 交椭圆于 两点， ，不合题1(3,),)21304意若直线 的斜率存在，设斜率为 ，则直线 的方程ABkAB为 (3)ykx由 可得 2(3),40ykx222(14)83140kxk由于直线 过椭圆右焦点，可知 AB0圆锥曲线综合题目分类设 ，则 ，12(,)(,)AxyB22121834,4kkxx2121212123()3k k所以 1 44kkOxy由 ，即 ，可得 0AB20k2,1所以直线 方程为 14 分l1(3)yx练习 2：解: （）设椭圆的长半轴为 ，短半轴长为 ，半焦距为 ，则abc解得 椭圆 C 的标准方程为 4
9、分22,3,cba2,3b2143xy）由方程组 消去 ，得 6 分214xykm22480kxm由题意 ，整理得： 722830234k分设 ，则 ， 8 分12,MxyNy、 122834kx122x由已知 ， 且椭圆右顶点为 10 分AA(,0)1210y即 ，2 2112kxmx也即 ，2 22484033kmk整理得 解得 或 ，均满足 11 分27160k7k当 时，直线 的方程为 ，过定点 ，不符合题意舍去；ml2ykx(,0)当 时，直线 的方程为 ，过定点 ， 27kl72,故直线 过定点，且定点的坐标为 13 分l 2(,0)例 3：解：()设椭圆 的方程为 1 分C)01
10、2bayx圆锥曲线综合题目分类由 4 分223cba.3,bca所以，椭圆 的方程为 5 分C.192yx 1() 、 ，)0,3(1F),(2当直线 的斜率不存在时， 的中点为 ，直线 的斜率 ；6 分lAB2F1M0k当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，直线 的方程为 7 mAB)3(xmy 2分由 联立消去 并整理得： 1 2 y 061238)43(2 x设 ，则 10 分),(0xM2020 4)(, mym当 时， 的中点为坐标原点，直线 的斜率 ； 11 分mAB1MF0k当 时， ，03820xyk 86|1|3|1|38|2 mmk且 13 分86k.0综上所述，直线 的斜率
11、 的取值范围是 . 14 分1MFk86,:练习 3：（）解：由已知，动点 到定点 的距离与 P 到直线 的距离相P1(0,)4F14y等由抛物线定义可知，动点 的轨迹为以 为焦点，直线 为准(,)y线的抛物线 所以曲线 的方程为 3 分C2yx（）证明：设 ， 1(,)Axy2(,)B圆锥曲线综合题目分类由 得 所以 ， 2,1yxk20kx12xk12x设 ，则 因为 轴， 所以 点的横坐标为0(,)M0MNN2k由 ，可得 所以当 时， 2yxyx2kxy所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，与直线 平行8CNAB分（）解：由已知， 设直线 的垂线为 ： 0kll1yxbk代入 ，可得 （*
12、）2yx210xbk若存在两点 关于直线 对称，34(,)(,)DyEl则 ，342k2k又 在 上，所以 ， 3434(,)xyl211()bk21bk由方程（*）有两个不等实根所以 ，即21()0bk220k所以 ，解得 或 13 分2例 4：解：（1）由题意可得： 3,2ca=1 所求的椭圆方程为：342cab 142yx（2）设 ),(),(21yxBA由 得：42kxy 012)41(2kxk圆锥曲线综合题目分类（*） 22121 4,4kxkx 0)41()2(2kk解得： 或由 可得： ，即2OBA212yx 2)(2(121 kxx整理得： 0)()1(1kk把（*）代入得：
13、即：041)(2422 k0412k解得： 3k综上： 321-kk或的 取 值 范 围 是 ：练习 4：解：（）由 ： 知 12C4yx(0)F，分设 ， 在 上，因为 ，所以 ，得 ，1()Mxy， 2253M153x12x163y在 上，且椭圆 的半焦距 ，于是 5 分1C11c24891.ab，消去 并整理得 ， 解得 （ 不合题意，舍去） 2b429370a3故椭圆 的方程为 7 分1C21xy（）由 知四边形 是平行四边形，其中心为坐标原点 ，12MFN12MFO因为 ，所以 与 的斜率相同，故 的斜率 l lOl632k设 的方程为 8 分l6()yxm圆锥曲线综合题目分类9分1
14、0分由 消去 并化简得 10 分23416()xym， y22916840xm设 ， ， ， .11 分1Axy， 2Bx， 12219因为 ，所以 O120y12126()xyxmx212176()6xmx 12 分84794809所以 此时 ，2m22(16)(8)故所求直线 的方程为 ，或 14 分l 3yx63yx例 5：解法一：（I）依题意，设椭圆 C 的方程为21yab)0(3,2cea:3 分 4 分,22c椭圆 C 的方程是 14xy5 分（II）21yxm由 2222()4, 00,80.7xm 令设 12,AB，AB 中点为 ,Mxy221212122005 454,2xx
15、ymxmyxM则圆锥曲线综合题目分类,0102,3,4MTABt mktt设解 得11 分|45)2(1|21.|456| 2 mMTABSmT13 分.)(85，m当 21，即 时， TABS取得最大值为 14 分.85解法二：（I）同解法一（II）241xym由 222214()4, 00,80.7xxm 令设 12,AxyB，AB 中点为 0,Mxy221x 8 分01201,xmymM10 分TAB的方程为 32yx令 0y，得 4m， ,04T9 分设 AB 交 x轴与点 R,则 2,R 11 分.|5|mR圆锥曲线综合题目分类 2121 214)(|4 |xxTRxTRySAB13
16、 分852m,85)(852m当 21，即 时， TABS取得最大值为 14 分.练习 5：（东城）解：（）依题意可得， ， ，又 ，2accb22cba可得 所以椭圆方程为 1,2ba1yx（）设直线 的方程为 ，l1ykx由 可得 设 ，2,ykx2()0kx12(,)(,)PxyQ则 ， 可得 12kx12xk121224()kk设线段 中点为 ，则点 的坐标为 ，由题意有 ，PQN2(,)1MN可得 可得 ，又 ， 所以 21mk21mk02m（）设椭圆上焦点为 ，则 .F12MPQSFx，2212118()()4kxx由 ，可得 所以 2mk2km1228(1)()mx又 ，所以 .1FM3()MPQS所以 的面积为 （ ） 12210设 ，则 3)1()mf )4()( mf圆锥曲线综合题目分类可知 在区间 单调递增，在区间 单调递减)(mf)41,0( )21,4(所以，当 时， 有最大值 f67f所以，当 时， 的面积有最大值 41MPQ83
