1、发现我,影响你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 1题根 已知 都是正数，求证,abcd4abcdabcd题根已知 都是正数，求证思路1) 平均值不等式 （当且仅当 ，a=b 时取“=”号）2ab,R2）需两次利用平均值不等式，要使得此不等式等号成立，需两次取等号的条件一致或同时成立。即 即 时成立。abcd且 同 时 成 立 .abcd破解：由 都是正数，得：, 0, 0. .2244cabcdcabdabcdabd即 有收获1）多次运用平均值不等式，要使得不等式等号成立，需这几次取等号
2、的条件一致、相同或同时成立。2）利用不等式的同向相乘性质时，需保证不等式两边同时为正。第 1 变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件证不等式。变题 1设 x,y,zR +且 x+y+z=1 求证: + + 36.1x 4y 9z思路从左到右事实上是求和式 + + 的最小值，需变式出现积为定值的情况，而1x 4y 9z条件中是和为定值 x+y+z=1，所以对待证式的左边需变形出现积为定值的情况。破解证法一:巧用 1 代换+ + = + +1x4y9z x+y+zx 4(x+y+z)y 9(x+y+z)z=14+( + )+( + )+( + )yx4xy zx9xz 4zy
3、9yz14+4+6+12=36当且仅当 = , = , = ,x+y+z=1 取等号.yx4xyzx9xz 4zy 9yz证法二:分式代换法发现我,影响你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 2令 x= ,y= , z= a1a1+a2+a3 a2a1+a2+a3 a3a1+a2+a3则 + +1x4y9z= + +a1+a2+a3a1 4(a1+a2+a3)a2 9(a1+a2+a3)a3=14+( + )+( + )+ ( + )a2a1a1a2 a3a19a1a3 4a3a2 9a2a
4、314+4+6+12=36当且仅当取等号.解法三:x+y+z=1mx+my+mz=m, (m0) + + = + + + mx+my+mz-m1x4y9z 1x4y9z=( + mx)+( + my)+( + mz)-m1x 4y 9z2 +4 +6 -mm m m当且仅当 = mx, = my, = mz1x 4y 9z即 x= ,y= ,z= 时取等号代入 x+y+z=1 解得 m=362 +4 +6 m=36.m m m收获由于不等式是分式形式,上述三种证明方法都是巧用 1 作代换,构造倒数关系,使乘积为定值,从而取得最值.请你试试 211: 设 a0，b0，求证： 。abb发现我,影响
5、你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 3解题思路分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右= ab)()a1b)(abaab 0)(2 左右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。 baa2a 两式相加得： abb2已知 a，b，c 为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a 2+b2+c2 31(2) 623解：.(1)证法一：a 2+b2+c2 = (3a2+3b2+3c21)3
6、1= 3a 2+3b2+3c2(a+b+c )21= 3a 2+3b2+3c2a 2b 2c 22ab2ac 2bc= ( ab) 2+(bc )2+(ca) 20 a 2+b2+c21 31证法二：(a+b+ c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca 2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a 2+b2+c2)(a+b+c )2=1 a 2+b2+c2证法三： a 2+b2+c2333caa 2+b2+c2 1发现我,影响你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 4证
7、法四：设 a= + ，b= + ，c= + .3131a+b+c=1 ， + + =0a 2+b2+c2=( + )2+( + )2+( + )2= + ( + + )+ 2+ 2+ 231= + 2+ 2+ 2 31a 2+b2+c2 629)(323, ,213)(3:)( cbacbaaa同 理 证 法 一 原不等式成立.证法二： 3)2()()(3 cb6)(3cba 622c3原不等式成立.3甲乙两人在每个月里,总是相约到一家小铺里买两次白糖,假设白糖的价格是变化的,而他们购买的方式不一样,甲每次买 1 千克,乙每次买 1 元钱的白糖, 试问两种买糖的方式哪一种更合算?解:设甲乙二人
8、两次买每千克白糖的价格分别为 m,n 元则甲花去 m+n 元,买了 2 千克糖,平均每千克价格为 元;m+n2乙花去 2 元买了 + 千克糖,1m1n平均每千克价格为 元. mnm+n2发现我,影响你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 5乙的购糖方式合算.第 2 变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件求最值。变题 2 （1）求函数 的最小值。)0(32xy思路1）本题是求目标和式的最小值，需创造积为定值的条件，要使积为定值，需将 拆成两项的和。3x2）由“ 相等”知应均
9、分为相等的两项的和。解题 ，所以仅 xxy232 时 取 等 号 ）xx23(6232 当 。3min3626，收获目标求和的最值，凑定积是关键，因此均分 为相同的两项，同时使得x3含变量的因子 的次数和为零。思路不熟练，功底不扎实是无法完成变形目标的。x（2）已知 的 最 大 值求 yxRyx2,12思路1）本题是求目标积式的最大值，需创造利用和为定值的条件，变形时需扣紧题中的已知条件，目标 要明确。2）题中条件 中 的次数相同，故需将 拆成 ，再由 来配, 2x21xy前的系数。y解题 ，7)3(41)3(4141,2 yyxyxRyx所以仅 当 。2,6,2,4 2最 大 值 为时 取
10、等 号所 以而 x收获目标求积的最大值，凑定和是关键，因此由题中条件 中 的y,x次数相同，故需将 拆成 ，再由 来配 前的系数。2x1xy在运用均值不等式求解函数的最值时，防错关键是：观察结构，合理变形，充分重视运用过程中的三个条件：“一正二定三相等” 。请你试试 221 的 最 大 值求且 有设 byaxyxbaRyxba ,6,3, 2错解： )1(29)(212 2x所以 的最大值为 。9剖析：这里（1）取等号的条件是仅当 ；由条件知这是不可能的，所以byax,不可能取到上述的最大值。发现我,影响你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍
11、洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 6正解： 仅当 时取等，22222 )()(, byaxyxbayxbya bxa所以 。如取时 取 等仅 当 63362x)(,2maxbyyba2求函数 的最大值。1012x解析：（932)312(4)(24)( 2242 xxxxxy仅当 时取等号） ，即当 。2193,36maxy另解：（2783)()2(1)()( 3222242 xxxxy仅当 时取等号） ，即当 。2x93,36maxy评析：目标求积的最值，把变量都放在同一条件下的根号里或者将原式两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键之所在。3求函数 的值域
12、 。xy4误解： （仅当 时取等号） ，所以值域为 。22x,4这里错误在于使用均值定理 时忽略了条件：abRba,正确解法： ；)2(424,0)( 时 取 等 号当时当 xxxa 4)(,)( xxb 时 取 等 号当而时当所以函数的值域是 4y或4已知 ，求 的最小值。13,xRyx2解： ，因此仅当时 取 等 ）yxyyyx 32(41)3(212发现我,影响你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 7324)(,961342max2yxyx评析：已知变量出现在分母，所求为变量积且出现
13、在分子，取倒数法不失是一种有效的变形的技巧，值得欣赏。5一段长 L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少？解法一:设长为 x,由题意知宽为L-x2S=xL-x2 = L28当 x=L-x 时即 x= 取等号.L2【注】构建相反变量 x 与 -x.解法二：设宽为 x,依题意知长为 L-2xS=x (L-2x)= 2x(L-2x)12 ( )2=12 2x+L-2x2 L28当 2x=L-2x 时即 x= 取等号.L4【注】构建相反变量 2x 与-2x.解法三:设长为 x,宽为 y,依题意知 x+2y=LS=xy= x2y ( )212 1
14、2 x+2y2xxxy发现我,影响你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 8当 即 x= ,y= 时取等号.2xyLL2 L4【注】构建已知条件 x+2y=L,产生定值 L.解法四:(利用二次函数 )在解法一与解法二中,均可利用二次函数求最值(略).6设 、 ,且 201sinisin222求函数 的最小值。siisin333y解:令 t 0 由基本不等式有 : 23 sinsini tt23 sinsinsi tt 23 iisi tt三式相加有: tt )sinsini(isii333
15、当且仅当 insin3tsisi3tii3t亦 t=1 时取等号 从而有 :)sinsinsi(2sinisin333 1)sini(i2iii2 222 所以,y min=1第 3 变 均值不等式“一正、 二定、 三相等”的条件中“相等”条件不成立，补充基本函数 的单调性。(0)ayx变题 3求函数 y= 的最小值.思路1）发现分子分母有相似之处，可将 改写成 后，y= = 23x21x发现我,影响你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 9= + 出现了均值不等式的结构特征。x2+22）需
16、要认真探求均值不等式的“一正、 二定、 三相等”的条件是否具备。错解:y= = = + x2+2 2 = 时, 得 x2=-1x2+2等号不能成立.正解:单调性法y= = = +x2+2令 z= x2+2 2y=z+ (z )1z 2设 z 10, z1z2-1 1022y 1-y20)若 c这时 x= c,+ )当 x= 时 ymin=2 ab若 cc,+)是单调区间 ,+)的一个子区间,故可先证单调性再求最值 f(c).第 4 变 高考应用，重在建模变题 4 （1998 全国文 24、理 22）如图 61，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流
17、入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积ab 成反比 .现有制箱材料 60 平方米.问当 a、b 各为多少米 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、 B 孔的面 积忽略不计）?思路1）认真阅读弄清题意建立目标函数是解决应 用性问题的关键。2）目标函数建立后利用均值不等式求最值解题解法一：设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y= ，其中 k0 为ab比例系数，依题意，即所求的 a、b 值使 y 值最小 .根据题设，有 4b+2ab+2a=60（a 0，b0）得 b= （0a30 23)于是 )264(34
18、262 akakaky发现我,影响你学客教育 您身边最负责的教育专家 0536 5077077；5077078 地址：潍坊潍洲路北宫街十字路口南 100 米路西 E-mail: 1118264)(234kak当 a+2= 时取等号，y 达到最小值.这时 a=6，a=10（舍去） 将 a=6 代入式得 b=3故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的 a、b 值使 ab 最大.由题设知 4b+2ab+2a=60（a 0，b0）即 a+2b+ab=30（a0，b0）a+2b2 2 ab30当且仅当 a=2b 时，上式取等号.由 a0 ，b0，解得 0ab18即当 a=2b 时，ab 取得最大值，其最大值为 18.2b 218解得 b=3，a=6.故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.收获本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.
