1、12018 年淅川二高二年级数学竞赛试题一、选择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若 0；a b ；ln ln .其中1a1b 1a b 1ab 1a 1b 12 12正确的不等式的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c。已知 ，sin(sico)0ACa=2，c= ，则 ( ) 2A B C D16433当 时，函数 的最小值为 （ ）42xxxf2sin8co1)(A2 B C4 D354.若 是等差数列，首项 则使前 n 项和 成na10718
2、1078,aa0nS立的最 大自然 数 是( )A2 012 B2 013 C2 014 D2 0155. 设集合 则A. 对任意实数 a， B. 对任意实数 a， （2，1）C. 当且仅当 a(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万部）的函数解析式；W(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.11.（本小题满分 15 分）的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos(cos).CaB+bA（I）求 C；（II）若 的面积为 ，求 的周长7,c32AB12（本小题满分 15 分）已知数列 的前 项和为 ，且 ， nanS1na(2)
3、1a（1）求数列 的通项公式；（2）设 ， ，是否存在最大的正整数 k，使得对nnab2log1nnbbT221于任意的正整数 ，有 恒成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理k由四、附加题，每题 10 分，计入总分。13.解下列不等式：ax2(a 1)x 10( a0)14.（本小题 13 分）设 n和 b是两个等差数列，3记 12max,n ncbnab(1,23)，其中 sx表示 12,sx这 个数中最大的数（）若 n， n，求 3c的值，并证明 nc是等差数列；（）证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 时，nM；或者存在正整数 m，使得 12,mc是等差数列2018 年淅
4、川二高二年级数学竞赛试题答一、1.C 2. A 3. D 4.C 5.D 6.A1.解析：选 C 法一：因为 0，所以错误，综上所述，可排除 A、B、D，故选 C.法二：由 0 ，所以 a0，故b|a| ，即|a|b 0，所以 a b ，故正确；1a1b 1a 1b 1a 1b中，因为 ba20，而 yln x 在定义域(0，)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确。5.【答案】D【解析】分析：求出 及 所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若 ，则 且 ，即若 ，则 ，此命题的逆否命题为：若 ，则有 ，故选 D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性
5、规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设 ，若 ，则 ；若 ，则 ，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.6.【答案】A【解析】分析：首先利用正方体的棱是 3 组每组有互相平行的 4 条棱，所以与 12 条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体 中，平面 与线 所成的角是相等的，所以平面 与正方体的每条棱所在的直线所成角都
6、是相等的，4同理平面 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 与 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为 ，所以其面积为 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、7解析：当 q1 时， 3， 5，所以 .S3a3 S5a5 S3a3 S5a5当 q0 且 q1 时， S3a3 S5a5 a11 q3a1q21 q a11 q5a1q41 q 0，q2
7、1 q3 1 q5q41 q q 1q4所以 .S3a3 S5a5综上可知 .S3a3 S5a5答案： S3a3 S5a58 ( 2014)三、9. 详解：（1）由条件可得 an+1= 将 n=1 代入得， a2=4a1，而 a1=1，所以， a2=4将 n=2 代入得， a3=3a2，所以， a3=12从而 b1=1， b2=2， b3=45 分（2） bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列由条件可得 ，即 bn+1=2bn，又 b1=1，所以 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列5 分（3）由（2）可得 ，所以 an=n2n-15 分10.（本小题满分 15 分)解：（ 1 ）当 时
8、， 2 分04x167+所以 7 分26380,41764x-+-（2）当 0x时， 7WR-+， 5由于 ，4040162160xx+=当且仅当 ，即 时，等号成立 13 分=5(4,)+所以 取最大值为 5760 14 分W综合知，当 时， 取得最大值 6104 万元 15 分32x11.试题解析：（I）由已知及正弦定理得， ，cosCincsicosinCAcosCiniA故 可得 ，所以 12312 （本小题满分 15 分）解：（1）由已知 an=Sn1 +2， an+1=Sn+2，得 an+1a n=SnS n1 （n2） ，a n+1=2an （n2） 又 a1=2，a 2=a1+
9、2=4=2a1，a n+1=2an （n=1，2，3，）数列a n是一个以 2 为首项，2 为公比的等比数列，a n=22n1 =2n6 分（2）b n= = = ，T n=bn+1+bn+2+b2n= + + ，Tn+1=bn+2+bn+3+b2（n+1）= + + + + T n+1T n= + = n 是正整数，T n+1T n0，即 Tn+1T n6数列T n是一个单调递增数列，又 T1=b2= ，T nT 1= ，要使 Tn 恒成立，则有 ，即 k615 分四、附加题，每题 10 分13. 原不等式变为(ax1)( x1) 0，因为 a0，所以 a (x1) 0.(x 1a)所以当
10、a1，即 1 时，解为 1x .1a 1a综上，当 0a1 时，不等式的解集为Error!；当 a1 时，不等式的解集为；当 a1 时，不等式的解集为Error!.14.【解析】（）设数列 na和 b的公差分别为 12,d，则12121()()()(kbkaknbadnk.所以 121,nc 当 时 ，当 时 ， 10d时，取正整数 dm，则当 时， 12，因此 1ncba.此时， 12,mc 是等差数列. 1时，对任意 n， 2121()ax,0()max,0).nbadbnd此时， 23,n 是等差数列.7 10d时，当 2n时，有 12nd.所以 11 12112()()cbandbdd
11、an122()|.b对任意正数 M，取正整数 12121|max,Md，故当时， nc.20. 设 n 为正整数，集合 A= 对于集合 A 中的任意元素 和 ，记M（ ）= （）当 n=3 时，若 ， ，求 M（ ）和 M（ ）的值；（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 ，当 相同时， M（）是奇数；当 不同时， M（ ）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值； （）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 ，M（ ）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由详解：解：（）因为 =（1，1，0） ， =
12、（0，1，1） ，所以M( ， )= (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，8M( ， ）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）设 =（ x1， x 2， x3， x4） B，则 M( ， ）= x1+x2+x3+x4由题意知 x1， x 2， x3， x40，1，且 M( ， )为奇数，所以 x1， x 2， x3， x4中 1 的个数为 1 或 3所以 B (1，0，0，0） ， （0，1，0，0)， （0，0，1，0)， （0，0，0，1)， （0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).将上述集
13、合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)， （0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素 ， ，均有 M( ， ）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以集合 B 中元素的个数不超过 4.又集合（1，0，0，0） ， （0，1，0，0） ， （0，0，1，0） ， （0，0，0，1)满足条件，所以集合 B 中元素个数的最大值为 4.（）设 Sk=( x1， x 2， xn）|( x1， x 2， xn） A， xk =1， x1=x2=xk1=0）（
14、k=1，2， n)，Sn+1=( x1， x 2， xn）| x1=x2=xn=0，则 A=S1 S1 Sn+1对于 Sk（ k=1，2， n1）中的不同元素 ， ，经验证， M( ， )1.所以 Sk（ k=1，2 ， n1）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以 B 中元素的个数不超过 n+1.取 ek=( x1， x 2， xn） Sk且 xk+1=xn=0（ k=1，2， n1）.令 B=（e 1，e 2，e n1） Sn Sn+1，则集合 B 的元素个数为 n+1，且满足条件.故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合点睛：解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义耐心阅读
15、，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用15(12 分)(2016 山东)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 2(tan Atan B) .tan Acos B tan Bcos A(1)证明：a b2c ；(2)求 cos C 的最小值解析：(1)证明：由题意知 2( ) ，sin Acos A sin Bcos B sin Acos A
16、cos B sin Bcos Acos B化简得 2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即 2sin(AB) sin Asin B.因为 AB C，所以 sin(AB) sin(C)sin C .从而 sin Asin B2sin C.由正弦定理得 ab2c .9(2)由(1)知 c ，a b2所以 cos C a2 b2 c22ab a2 b2 a b2 22ab ( ) ，38ab ba 14 12当且仅当 ab 时，等号成立故 cos C 的最小值为 .12答案：(1)见解析 (2)1217.（本小题满分 12 分）已知数列 满足 =1， .na113na（
17、）证明 是等比数列，并求 的通项公式；n（）证明： .12n+17.（本小题满分 12 分）（）证明：由 得13na113()2nna又 ，所以 是首项为 ，公比为 3 的等比数列12，因此 的通项公式为nnnn（）由（）知 31na因为当 时， ，所以12n132nn于是 12-1123 3-2nnnaa （ ）所以 123n5(2018河南百校联盟模拟)已知正实数 a，b 满足 ab4，则 的最小值1a 1 1b 3为_10解析：ab4，a1b38， (a1) (b3)1a 1 1b 3 18 (22) ，当且仅当 a1b3，即 a3，b1(1a 1 1b 3) 18(2 b 3a 1 a
18、 1b 3) 18 12时取等号， 的最小值为 .1a 1 1b 3 12答案：124.数列a n满足 ，则 an=（ B ）A B C D14、若数列 的前 n 项和为 Sn ，则数列 的通项公式是 =_.a213anana【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系，是容易题.【解析】当 =1 时， = = ，解得 =1，111当 2 时， = = ( )= ，即 = ，nnanS23a3n12nana12 是首项为 1，公比为2 的等比数列， = .()16.在等比数列a n中 anR，且 a3，a 11 是方程 3x225x+27=0 的两根，a
19、 7= 16.31.设等 差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S6S 7S 5，则满足 Sn0 的 n 的最大值（ C ）A10 B11 C12 D132.若 = = ，则ABC 是（ A ）A等腰直角三角形B有一个内角是 30的直角三角形C等边三角形D有一个内角是 30的等腰三角形 D有一个内角是 30的等腰三角形3.数列a n满足 ，则 an=（ B ）11A B C D4.在ABC 中，已知 a=2，b=2 ，A=3 0，则 B=（ A ）A60或 120 B30 或 150 C60 D3016. 若 的内角 满足 .则当 取最大值时，角 大小为 ,Asin2cos()BBC 16.
20、 2315.已知 , ,且 ,若 恒成,则 m 的取值范围是0xy412yx 62myx_.15. ;24m21、 （本小题满分 12 分）在 中， 是三内角， 分别是 的对边，已知 ABC、 、 abc、 、 ABC、 、， 的外接圆的 半径为 22(sini)()sinabABC2(1)求角 ；(2)求 面积的最大值21.解：(1)由已知，由正弦定理得： ，22()()acbaRR因为 ，所以 ， 即： ，由余弦定理得：=2R22acbb，cosabC所以 又 ，所以 6 分10=3C(2)由正弦定理得： ，由余弦定理得：2sin2si6cR 26ab所以 ，即： ，所以 ，26abab13sin62SabC当且仅当 时， 取到最大值 12 分S312
